Литература и лекции / DiffEqITMO

найденное в Примере 7, позволяет выписать общее решение неоднородного уравнения,

y(x) = c1(x) ¢ z1(x) + c2(x) ¢ z2(x) ;

и построить систему уравнений относительно его непостоянных коэффициентов
½z10	(x)c10	(x) + z20	(x)c20	(x) = 18 cos(3x)	¯	;
z1	(x)c10	(x) + z2	(x)c20	(x) = 0	¯
					¯
					¯

½ cos(3x)c01(x) + sin(3x)c02(x) ¡3 sin(3x)c01(x) + 3 cos(3x)c02(x)

½cos(3x)c01(x) + sin(3x)c02(x)

¡sin(3x)c01(x) + cos(3x)c02(x)

=	0	¯
=	0	¯
		¯
=	18 cos(3x)	¯;

	¯
= 6 cos(3x)	¯	:	(48)
	¯
	¯

Решим систему (48) методом Крамера.

¯¡

¯

=

¯

cos(3x)

sin(3x)

¯

= cos2(3x) + sin2(3x) = 1 ;

¯

sin(3x)

cos(3x)

¯

¯

¯

0

sin(3x)

¯

¯

¯

¯

1

=

¯6 cos(3x)

cos(3x)

¯ = ¡6 sin(3x) cos(3x) = ¡3 sin(6x) ;

¯

cos(3x)

0

¯

¯

¯¡

= 6 cos2(3x) = 3 cos(6x) + 3 ;

2

¯

sin(3x)

6 cos(3x)

¯

= ¯

¯

¯

1

¯

2

c10 (x) =

= ¡3 sin(6x) ;

c20 (x) =

= 3 cos(6x) + 3 ;

c0 (x)dx =

¡

¡3

cos(6x)

+

c

(x) =

(

3) sin(6x))dx =

cos(6x) + C

=

C

;

6

2

1

Z

1

Z

¡

1

1

c2(x) =Z c20 (x)dx =Z (3 cos(6x) + 3)dx = µ

3

sin(6x) + 3x¶ + C2

=

sin(6x)

+ 3x + C2 ;

6

2

y(x) = c1(x) ¢ z1(x) + c2(x) ¢ z2(x) =

31

cos(6x)

sin(6x)

= µ

+ C1¶cos(3x) + µ

+ 3x + C2¶sin(3x) =

2

2

1

= C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + 3 x sin(3x) +

¢ (cos(6x) cos(3x) + sin(6x) sin(3x)) =

2

1

¢ cos(6x ¡ 3x) =

= C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + 3 x sin(3x) +

2

=

cos(3x) + C2 sin(3x) + 3 x sin(3x) +

cos(3x)

=

C1

2

1

= µC1 +

¶cos(3x) + C2 sin(3x) + 3 x sin(3x) = C1 cos(3x) + C2 sin(3x) + 3 x sin(3x) :

2

|

{z

}

=

1

C

После замены константы C1 результат совпал с результатом Примера 15.

Теорема о частном решении модифицированного уравнения Бесселя Одно из частных решений уравнения

xy00 + y0 ¡ xy = 0 ;

(49)

для которого применяется обозначение I0(x) ; имеет вид

X+1 ¡x¢2n

I0(x) = 1 + 2 2 : (50) n=1 (n!)

Степенной ряд в (50) сходится 8x 2 R:

Доказательство

Искомое решение y = y(x) будет разыскиваться в виде степенного ряда

y(x) = 1 + a1x2 + a2x4 + a3x6 + a4x8 + a5x10 + : : : ;

тогда

y0(x) = 2a1x + 4a2x3 + 6a3x5 + 8a4x7 + 10a5x9 + : : : ;

y00(x) = 2 ¢ 1 ¢ a1 + 4 ¢ 3a2x2 + 6 ¢ 5a3x4 + 8 ¢ 7a4x6 + 10 ¢ 9a5x8 + : : : :

32

Предложенные выражения для искомой функции и е¼ производных следует подставить в уравнение (46),

2¢ 1 ¢ a1x2 + 4 ¢ 3a2x4 + 6 ¢ 5a3x6 + 8 ¢ 7a4x8 + 10 ¢ 9a5x10 + : : : + + 2a1x2 + 4a2x4 + 6a3x6 + 8a4x8 + 10a5x10 ¡ : : : ¡

¡¡x2 + a1x4 + a2x5 + a3x6 + a4x10 + a5x12¢ + : : : = 0 ;

x2 ¢ (2 ¢ 1 ¢ a1 + 2a1 ¡ 1) + x4 ¢ (4 ¢ 3 ¢ a2 + 4a2 ¡ a1) + x6 ¢ (6 ¢ 5 ¢ a3 + 6a3 ¡ a2) + + x8 ¢ (8 ¢ 7 ¢ a4 + 7a4 ¡ a3) + x10 ¢ (10 ¢ 9 ¢ a5 + 10a5 ¡ a4) + : : : = 0 ;

x2 ¢ ¡22 ¢ a1 ¡ 1¢ + x4 ¢ ¡42 ¢ a2 ¡ a1¢ + x6 ¢ ¡62 ¢ a3 ¡ a2¢ +

+ x8 ¢ ¡82 ¢ a4 ¡ a3¢ + x10 ¢ ¡102 ¢ a5 ¡ a4¢ + : : : = 0 :

Теория метода неопредел¼нных коэффициентов гласит, что полином (как и степенной ряд) тождественно равен нулю тогда и только тогда, когда равен нулю каждый

из постоянных коэффициентов полинома (ряда):

a1 = 22142

¯

8

42

¢ a2

¡ a1

= 0

¯

8a2 = 412

¢

22

¢

a1

¡

1 = 0

¯

a1 =

¢

¯

>

>

>

¯

>

¯

2

1

1

>

6 a3

a2

= 0

¯

>a3 =

a2 =

¯

6

2

2

2

4

2

6

2

>

¢

¡

=

>

¢

:

>

¯

>

¢

¢

¯

>

2

>

1

>

¯

)

>

1

¯

>

>

<

¯

<

¯

8

2

4

6

8

>

102

¢

a5

¡

a4 = 0

¯

>

a5 =

1

a4 =

¯

2

2

2

4

2

6

2

8

2

10

2

>8

¢

a4

¡

a3

= 0

¯

>a4 =

2

¢

a3 =

2

¢

2

¢

2

2

¯

>

¯

>

¯

>

: : :

¯

>

: : :

¯

>

>

>

¯

>

¯

>

>

¢

¢

¢

¢

¢

>

>

>

>

Явную

общую>

формулу для¯

коэффициента>

a

¯

:

¯

:

n

можно с помощью проделанных

¯

выкладок угадать, а затем, при необходимости, доказать методом математической индукции (но мы от этого доказательства воздержимся). Итак,

an =			1		=				1			=
	2 2	2	2	2			2	2	2	2	2
2 ¢ 4 ¢ 6			¢ 8 ¢ : : : ¢ (2n)			(2 ¢ 1) ¢ (2 ¢ 2) ¢ (2 ¢ 3) ¢ (2 ¢ 4) ¢ : : : ¢ (2 ¢ n)

33

=

1

=

1

=

2

n

2

¢ (1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 4 ¢

2

((2 ¢ 1) ¢ (2 ¢ 2) ¢ (2 ¢ 3) ¢ (2 ¢ 4) ¢ : : : ¢ (2 ¢ n))

(2 )

: : : ¢ n)

=

1

=

1

:

Далее,

(2n)2 ¢ (n!)2

22n ¢ (n!)2

+1

X

y(x) = 1 + a1x2 + a2x4 + a3x6 + a4x8 + a5x10 + : : : = 1 + anx2n =

= 1 + n=1 22n

1(n!)2 ¢ x2n

= 1 + n=1 (n1!)2 ¢

= 1 + n=1

(n1!)2

¢ µ

n=1

22n

2

¶

= I0(x) :

(51)

+1

+1

x2n

+1

x

2n

X

¢

X

X

Найд¼м область сходимости ряда (51). Пусть z = (x=2)2 ; тогда

+1

x 2n

+1

x 2 n

+1

X

1

¢ µ

¶

X

¢ õ

¶ ! =

X

1

n=1

(n!)2

2

=

n=1

(n!)2

2

n=1

(n!)2

¢ zn:

(52)

В степенном ряде (52) коэффициентом при zn служит bn =

1

; отсюда следует

(n!)

2

1

bn+1 =

: Теперь можно найти радиус сходимости:

((n+1)!)2

n!+1 µ

¢

¶

n!+1 bn+1

= n!+1

(n!)2

n!+1 µ

n!

¶

n!

bn

((n + 1)!)2

(n + 1)! 2

n!

(n + 1)

2

r =

lim

lim

= lim

= lim

=

= n

lim (n + 1)2 = +

1

:

+

! 1

Полученный результат означает, что ряд (52) сходится

8z 2 (¡1; +1) : Ïî-

скольку 8x 2 (¡1; +1)

можно утверждать, что

(x=2)2

2 (¡1; +1) ;

è äàæå

(x=2)2 2 [0; +1) ; получается, что при любом вещественном

x

обсуждаемый ряд

(51) сходится.

Более того, ряд (51) сходится и для любого комплексного x:

34

Замечание Дифференциальное уравнение

xy00 + y0 + xy = 0 ;

(53)

называется уравнением Бесселя нулевого индекса. Общее решение его есть сумма

C1J0(x) + C2Y0(x) :

Дифференциальное уравнение (49)

xy00 + y0 ¡ xy = 0

называется модифицированным уравнением Бесселя нулевого индекса. Общее решение его есть сумма

C1I0(x) + C2K0(x) :

Различие двух уравнений Бесселя состоит лишь в знаке последнего слагаемого. Ряд для функции J0(x) строится тем же методом, что и построенный уже ряд

äëÿ I0(x) :		n=1	(n!)2	¢	³2		´
0	(x) = 1 +							2n :	(54)
J		+1	(¡1)n			x
		X

Ðÿä (54) сходится для любого вещественного и даже для любого комплексного x. Существует взаимосвязь между функциями:

I0(x ¢ {) = J0(x) ; J0(x ¢ {) = I0(x) :

Выражения для функций Y0(x) è K0(x) ; построение которых несколько слож-

нее, не являются предметом нашего обсуждения.

При работе с сайтом wolframalpha.com следует использовать имена BesselJ[0; x] ;

BesselY[0; x] ; BesselI[0; x] ; BesselK[0; x] ; соответственно для функций J0(x) ; Y0(x) ; I0(x) ; K0(x) :

35

На Рис. 4 показан график одной из функций Бесселя.

Ðèñ. 4

36