Литература и лекции / Т.В. Родина. Комплексные числа

Упражнения.

5. Можно ли вычислять (a +bi)2 и (a +bi)3 по формулам квадрата и куба суммы двух вещественных чисел? Почему?

	Вычислить a) (1 −2i)	2	; b) (1 +i)		6	; c) (2	+i)	3			1		3	3
6.									; d)	−		+		i .
											2		2
7.	Вычислить i17 −3i12 +5i11 −i6 .
8.	Вычислить (2 +i 2 )3 +(2 −i			2 )3 .

9. При каких натуральных n выполняется равенство (1 +i)n =(1−i)n ?

§4 Комплексно-сопряженные числа. Практический способ деления

Определение.

Числа a +bi и a −bi называются комплексно-сопряженными. Если обозначить число a +bi = z , то сопряженное ему число a −bi будем обозначать z .

Таким образом, z и z - сопряженные тогда и только тогда, когда выпол-

Re z = Re z

.

няются два условия

Im z = −Im

z

Свойства комплексно-сопряженных чисел:

1.

= z

z

z = a +bi .

z = a −bi ,

Доказательство.

Пусть

Тогда

следовательно,

= a −(−b)i = a +bi .

z

2.

=

+

z1 + z2

z1

z2

z1 = a1 +b1i

z2 = a2 +b2i .

Тогдаz1 + z2 =

Доказательство.

Пусть

и

=(a1 + a2 )+(b1 +b2 )i и

=(a1 + a2 )−(b1 +b2 )i . Такой же будет и сумма

z1 + z2

z1 + z2 =(a1 −b1i)+(a2 −b2i)=(a1 + a2 )−(b1 +b2 )i . Следовательно, z1 + z2 = z1 + z2 .

3.z1 z2 = z1 z2 . (Доказать самостоятельно)

4.z1 = z1 . (Доказать самостоятельно)

z2 z2

5. z + z = 2Re z

Доказательство. z + z =(a +bi)+(a −bi)= 2a = 2Re z .

6. z z = a2 +b2

Доказательство. z z =(a +bi)(a −bi)= a2 +b2 +0i .

Последнее свойство используется для практического деления комплексных чисел.

11

Найдем частное	z1		=	a1 +b1i		.
	z	2		a	+b i
			2		2

Используем основное свойство дроби: величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и тоже число, отличное от нуля.

Умножим числитель и знаменатель

	a	+b i	=	(a1 +b1i)(a2 −b2i)				=	(a1a2 +b1b2 )+(a2b1 −
	1	1
	a	+b i		(a	+b i)(a	2	−b i)		a2	+b2
	2	2		2	2		2		2	2

данной			дроби		на			z2 :
a1b2 )i	=	a a	+b b	+	a b	−a b			i .
		1 2	1 2		2 1	1	2
					a2	+b2
		a2	+b2
		2	2		2	2

Полученный результат совпадает с формулой, которая была приведена выше.

Пример. Вычислить

7 −2i

.

2 +7i

Решение. Умножим числитель и знаменатель данной дроби на число, со-

пряженное знаменателю. Получим

7 −2i

(7 −2i)(2 −7i)

(14 −14)+(−49

−4)i

−53i

= −i .

2 +7i

= (2 +7i)(2 −7i)

=

4 + 49

=

53

Рассмотрим теперь квадратное уравнение с вещественными коэффициен-

тами и дискриминантом, меньшим нуля: ax2 +bx +c = 0, D =b2 −4ac < 0 .

Корнями такого уравнения будут комплексные числа x = −b ±

D

. Так

D = (−1)

2a

как

D

=

−1

D

=i

D

,

то корни

можно переписать

в

виде

x = −2ba ± 2Da i , т.е. корнями такого уравнения будут комплексно сопряжен-

ные числа.

Замечание.

В дальнейшем мы узнаем, что всегда существует два значения квадратно-

го корня, в частности −1 = ±i , но второе значение не даст новых корней нашего уравнения.

Упражнения.

10. Вычислить 31−+2ii .

11. Вычислить a)	(1 +i)(3 −i)		(8 +i)2
	(1 −i)	; b)		.
			(2 −3i)2

2i −1 5 −2i 34

12.Вычислить + .

1 + 4i 4 −i 1 −i

13.Найти вещественные числа x и y такие, чтобы было верным равенст-

во x1−−i2 + y1 +−i3 =1 −3i .

12

14. При каких вещественных значениях x и y числа 4 + xyi и x + y +5i будут сопряженными?

15.Доказать, что кубы сопряженных чисел представляют собой сопряженные числа.

16.Упростить (a +1 +i)(a −1+i)(a −1−i)(a +1−i).

17.Упростить (x + 2 −3i)(x −2 +3i)(x +i)(x −i).

18.Составьте квадратное уравнение, одним из корней которого является число 2 −i .

19.Найти комплексное число, равное квадрату числа, сопряженного с

ним.

	20. Найти все комплексные			числа, которые удовлетворяют условию
	(1 −i)z =(1 +i)z .
	21. Доказать равенство	6 −i	=	13 + 41i	.
		3 + 4i		−25 + 25i

§5 Геометрическая интерпретация комплексного числа

Как известно из школьного курса математики, вещественное число изображается точкой на числовой прямой. Комплексное число a +bi определяется двумя вещественными числами, поэтому ему можно сопоставить точку M (a,b)

координатной плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости M (a,b) можно

сопоставить комплексное число a +bi . Поэтому можно рассматривать комплексные числа как точки плоскости, которую мы будем называть комплексной плоскостью. Ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Примеры:

Изобразить на комплексной плоскости числа

z =3 −2i

z = −3 −2i

z = −3

z = 2i

13

Часто комплексное число интерпретируют как вектор, направленный из начала координат в точку M (a,b) Точке O(0,0) соответствует нулевой вектор

или число 0 +0i .

z =3 + 2i

z =0 +0i

Интересно отметить, что сложение комплексных чисел, введенное в их определении, полностью согласуется со сложением векторов по правилу параллелограмма.

Аналогично можно дать геометрическую иллюстрацию разности двух комплексных чисел, но нужно помнить, что вектор, изображающий комплексное число, должен начинаться в начале координат.

Используя интерпретацию комплексного числа в виде вектора, можно задать два параметра, полностью определяющие комплексное число.

Определение 1.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу.

14

Для модуля z используют обозначение z . Используя формулу для длины

вектора, получим | z |= a2 +b2 . Очевидно, для всякого z справедливо | z |≥0 , причем равенство z =0 будет выполнено тогда и только тогда, когда z =0 +0i .

Из геометрической интерпретации суммы двух комплексных чисел видно, что для комплексных чисел выполнено неравенство треугольника z1 + z2 ≤ z1 + z2 .

Определение 2.

Аргументом комплексного числа z ≠ 0 называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором z, причем, в правой системе координат угол считается положительным, если он измеряется против часовой стрелки, и отрицательным, если измерение угла производится по часовой стрелке. Для числа z = 0 +0i аргумент не определяется.

Аргумент числа z будем обозначать Argz или ϕ . Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. На рисунке углы ϕ1, ϕ2 , ϕ3 – возможные значения Argz .

Ясно, что, если ϕ0 – какое-нибудь значение Argz ,

то Argz =ϕ0 + 2πk, k .

Значения аргументов комплексного числа a +bi можно найти из любого из уравнений:

tgϕ = ba или sinϕ = | bz | или cosϕ = | az | .

Замечание.

Каждое из этих уравнений имеет больше решений, чем требуется. Нужные решения отбирают, определяя квадрант комплексной плоскости, где расположено данное комплексное число.

Примеры. Найти модуль и аргумент для чисел

a)		2 −2 3i ; b) −			3	− 1 i ; c) −5 ; d) 3i .
		2				2
		Решение.
		a) По условию, a = Re(2 −2 3i)= 2, b = Im(2 −2 3i)= −2 3 . Поэтому
	2 − 3i			= 4 +12 = 4 и tgϕ = −2 3 = −			3 .
						2

Точка на плоскости, соответствующая числу 2 −2 3i , лежит в четвертой четверти, поэтому мы должны указать угол, тангенс которого равен − 3 , и ко-

торый лежит в четвертой четверти. Это будет, например, угол −π3 . Общая формула для такого угла ϕ = −π3 + 2πk, k Z .

15

b) a = −

3

, b = −1 . Тогда

−

3

− 1 i

=

3

+ 1

=1 и tgϕ =

1

.

2

2

4

3

2

2

4

В этом случае точка лежит в третьей четверти, поэтому ϕ =

7π + 2πk,

k Z .

6

c)

Здесь

a = −5, b =0 .

Поэтому

−5

=

25 +0 =5

и

tgϕ = 0 .

Используя

геометрическую

интерпретацию

числа

-5,

получим

ϕ =π + 2πk, k Z .

Отметим, что, используя геометрическую интерпретацию числа, в этом примере легко найти и модуль.

d)

Число 3i изображается точкой, лежащей на мнимой оси, на верхней ее части. Модуль этого числа, равный длине вектора, проведенного из начала ко-

ординат в эту точку, равен 3, а аргумент ϕ = π2 + 2πk, k Z .

Вещественную и мнимую части комплексного числа можно выразить через его модуль z = r и аргумент ϕ следующим образом: a = r cosϕ, b = r sinϕ.

Таким образом, каждое комплексное число полностью определяется заданием его модуля и одного из значений аргумента. Значение аргумента, лежащее в промежутке (−π,π] будем называть главным значением аргумента и обо-

значать arg z .

Заметим, что для комплексно-сопряженных чисел выполняются соотно-

шения z = z , argz = −argz .

Упражнения.

22. Построить на комплексной плоскости векторы, соответствующие комплексным числам: 2 −5i ; −3 + 4i ; 5; −3i .

23. Найти модуль и главное значение аргумента чисел: a) 3 +3 3i ;

b)−2 3 + 2i ; c) −2 −2i ; d) −2 .

24.Докажите, что если z =1, то z = 1z .

16

25.

Вычислите

модули

комплексных

чисел a) z =(1 +i)4 −3i ;

b) z =

a2 +b2 +i 2ab

.

(a −b)+ 2i ab

26. Докажите, что для любых двух комплексных чисел выполняется ра-

венство

z1 + z2

2 +

z1 − z2

2 = 2(

z1

2 +

z2

2 ). Дайте

геометрическую интерпрета-

цию этого равенства.

27.Докажите, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию меду точками, соответствующими этим числам.

28.Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы квадрат комплексного числа равнялся квадрату его модуля.

§6 Тригонометрическая форма комплексного числа.

Используя выражения для вещественной и мнимой частей комплексного числа через его модуль и аргумент, получим z = r(cosϕ +i sinϕ) .

Это представление называется тригонометрической формой комплексного числа. Запись z = a +bi называется его алгебраической формой.

Два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули и взятые значения аргументов отличаются на 2πk, k .

r1(cosϕ1 +isinϕ1 ) = r2 (cosϕ2	r	= r
	+i sinϕ2 ) 1	2
	ϕ1 =ϕ2 + 2πk, k .

В тригонометрической форме удобно производить действия с комплексными числами, связанные с умножением.

1. Умножение

z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 ) +isin(ϕ1 +ϕ2 ))

Произведение комплексных чисел есть число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме их аргументов.

Доказательство.

z1 z2 =(r1(cosϕ1 +i sinϕ1)) (r2 (cosϕ2 +isinϕ2 ))=

= r1 r2 ((cosϕ1 cosϕ2 −sinϕ1 sinϕ2 )+i(cosϕ1 sinϕ2 +sinϕ1 cosϕ2 ))=

= r1 r2 (cos(ϕ1 +ϕ2 ) +isin(ϕ1 +ϕ2 )).

Следствие. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произ-

ведению модулей этих чисел.

z1 z2

Пример. Найти

произведение

двух

комплексных чисел, если

z1

π

+isin

π

4π

+isin

4π

=3 cos

5

и

z2 = 2 cos

3

3

.

5

Решение. Модуль произведения равен

z1

z2

=3 2 =6 и аргумент произ-

ведения -

π

+

4π

=

23π

. Поэтому z1 z2

= 6

23π

+isin

23π

5

3

15

cos

15

15

.

2. Деление

17

z1 = r1 (cos(ϕ1 −ϕ2 ) +isin(ϕ1 −ϕ2 )). z2 r2

Частное двух комплексных чисел есть число, модуль которого равен частному модулей этих чисел, а аргумент – разности их аргументов.

Доказательство. Обозначим через ρ(cosψ +isinψ ) тригонометрическую

форму числа, которое получится в результате деления

z

=

r1

(cosϕ1 +isinϕ1 )

1

z

r

(cosϕ

2

+isinϕ

2

)

2

2

Тогда

(r2 (cosϕ2 +i sinϕ2 ))(ρ(cosψ +i sinψ))= r1 (cosϕ1 +i sinϕ1 )

или

r2 ρ(cos(ϕ2 +ψ) +isin(ϕ2 +ψ))= r1 (cosϕ1 +isinϕ1 ).

Отсюда

r ρ = r ρ =

r1

и ϕ

2

+ψ =ϕ + 2πk, k ψ =ϕ −ϕ

2

+ 2πk ,

2

1

r2

1

1

z1

т.е. ϕ −ϕ

2

- одно из значений аргумента числа

.

1

z2

Следствие. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному

модулей этих чисел.

z1

Пример.

Найти

частное

двух

комплексных чисел,

если

z2

z1

=

π

+isin

π

и z2

4π

+isin

4π

3 cos

5

5

= 2 cos

3

3

.

Решение. Модуль

частного

равен

z1

=

3

и

аргумент

частного -

z2

2

π

−

4π

= −

17π

. Очевидно, что это значение аргумента эквивалентно

13π

. По-

5

3

z

15

13π

13π

15

3

+isin

этому

1

=

cos

.

z2

15

15

2

3. Возведение в степень с натуральным показателем zn = rn (cos nϕ +isin nϕ)

При возведении числа в степень с натуральным показателем, его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Эта формула называется формулой Муавра. (Муавр (1667 – 1754) – английский математик.)

Доказательство. Из формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим

z2 = r2 (cos 2ϕ +isin 2ϕ),

z3 = r3 (cos(2ϕ +ϕ) +isin(2ϕ +ϕ))= r3 (cos3ϕ +isin 3ϕ)

и т.д.

Строгое доказательство получится, если применить метод математической индукции.

18

			1		3	15
	Пример. Вычислить	−		+		i .
			2		2

Решение. Переведем основание степени в тригонометрическую форму:

		1		3	i = cos	2	π +isin	2			1		3	15		30			30
	−		+						π . Тогда	−		+		i	=cos		π	+isin		π =1.
		2		2		3		3			2		2			3			3
				4. Извлечение корня.
				Определение. Число w называется корнем степени														n из числа z , если

wn = z .

Обозначать корень n-ой степени из z будем n z .

Каждое решение уравнения wn = z является корнем n -ой степени из z . Все корни n -ой степени из числа z можно найти по формуле

	ϕ + 2πk	+isin	ϕ + 2πk		, k = 0,1,Kn −1,	где	n r - арифметический
n z = n r cos	n		n

корень из модуля числа z, а ϕ – одно из значений Argz .

Доказательство.

Обозначим

w = ρ(cosψ +isinψ ).

Тогда

wn = ρn (cos nψ +isin nψ )=

= r (cosϕ +isinϕ)= z .

Отсюда

ρn = r ρ = n r -

арифметический корень, и

nψ =ϕ

+ 2πk ψ = ϕ + 2πk , k .

n

Множество значений аргумента ψ содержит n различных элементов, ко-

торые получаются,

когда k принимает любые последовательные n

целых зна-

чений, например, от 0 до n −1.

Так как модуль каждого значения n z

равен

n r ,

то все корни лежат на одной окружности радиуса

n r ,

так как разность между соседними значениями аргу-

мента корня равна

ϕ + 2π(k +1) −ϕ + 2πk =

2π , то точ-

n

n

n

ки, изображающие n z , делят эту окружность на n рав-

ных частей.

Примеры.

1. Вычислить

8 +8

3i .

Решение. Переведем число, стоящее под корнем в тригонометрическую

форму: 8 +8

3i =16

π

+isin

π

. Тогда

8 +8

3i =

cos

3

3

π

3

+ 2πk

π

3

+ 2πk

π

π

= 16 cos

+isin

= 4 cos

+πk +isin

+πk

, где k

2

2

6

6

19

принимает значения 0 или 1. При этих значениях k получим

π

π

3

1

и, аналогично, z2 = −2 3 −2i .

z1 = 4

cos

+isin

= 4

+

i

= 2

3 + 2i

6

6

2

2

2. Вычислить 3 −8 .

Решение. Тригонометрическая форма числа, стоящего под корнем имеет

вид

−8 =8

(cosπ +isinπ ).

Тогда

π + 2πk

+isin

π + 2πk

,

где

3 −8 = 2 cos

3

3

k =0,1,2 .

Выписывая каждое значение корня, получим

z1 =1 +i

3 ,

z2 = −2

и

z3 =1−i

3 .

3. Вычислить

(2 + 2 3i)5 (−2 + 2i)6

3

(

3 +i)10

.

Решение. Сначала каждое число представим в тригонометрической фор-

ме:

2 +

2

π

+isin

π

,

−2 +

2i = 2

3π

+isin

3π

и

3i = 4 cos

3

3

2 cos

4

4

3 +i = 2

π

+isin

π

Модуль

подкоренного

выражения

будет

равен

cos

6

6

.

45 (2 2 )6

π

π

π

π

π

= 29 , а аргумент 5

+6

3

−10

= 9

, что эквивалентно

.

210

3

4

6

2

2

π

π

Таким образом, число,

стоящее под корнем равно 2

9

+isin

,

и,

cos

2

2

извлекая корень, получим

π

+

2πk

π

+

2πk

, где k = 0,1,2 .

8 cos

+isin

6

3

Упражнения.

6

3

29.

Вычислить в

тригонометрической

форме

a)

3 +i

;

b)

−1 +i

3

;

1 −i

−

3 +i

(1 +i)5 (

3 +i)10

(1 −i)7 (−

3 −i)12

1 +cosϕ +isinϕ

c)

;

d)

;

e)

1 +cosϕ −isinϕ

;

(1 −i)4 (1 −i 3)11

(1 +i)15

f) (1 +cosϕ +isinϕ)8 .

30. Вычислите a)

3 −1 +i ; b)

4 16 ; c) 4 −81 ; d)

4 −8 −i8

3 .

31. Вычислите 4

(−1 +i)3 ( 3 −i)5

.

(2 + 2

3i)7

32. Доказать, что если z = cosϕ +isinϕ, то 1

= cosϕ −isinϕ.

z

20