Типовик / 1076

b) (x2 + y2)dx + 2xydy = 0;

c)

(x

2

2 1)y0

xy = x

3

p

;

y

x; y( 2) = 1

x3)dx = ydy.

d*) (

x

25. a)

p

p

cos ydx = 2

2

dy + cos y

2

dy;

1 + x

1 + x

b) (y2 2xy)dx x2dy = 0;

c) (1 x2)y0

+ xy = 1;

y(0) = 1;

d*) y0 + 2xy = 2x3y3.

26. a) y0p

cos2 y = 0;

1

x2

b) (x + 2y)dx + xdy = 0;

c) y0 ctg x

y = 2 cos2 x ctg x; y(0) = 0;

d*) y0

x

+ y =

y2 .

27. a) ex tg ydx = (1 ex) sec2 ydy; b) (2x y)dx + (x + y)dy = 0;

c) x2y0 = 2xy + 3; y(1) = 1; d*) y0 y tg x + y2 cos x = 0.

28. a) y xy0 = 2(1 + x2y0); b) 2x3y0 = y(2x2 y2);

c) y0 + 2xy = xe x2 ;						y(0) = 0;
d*) y0 + 4xy = 2xe x2 p								.
							y
				x2
0	p
29. a) y0	1 + y2 =				y	;
b) x2y = y(x + y);
c) y0 3x2y x2ex3					= 0; y(0) = 0;

d*) y0 y + y2 cos x = 0.

30

30. a) 3y2 x2 =

yy0

;

b) y0 =

x

+

y

;

x

y

x

c) xy0

+ y = ln x + 1;

y(1) = 0;

d*) y0

= xp

+

xy

.

y

x2

1

Задание 4.

a) Найдите общее решение дифференциального уравнения методом понижения порядка;

b) Найдите решение задачи Коши методом неопредел¼нных коэффициентов; с) Найдите общее решение методом Лагранжа.

1. a) x3y00 + x2y0 = 1;

b) y00

2y0

+ y = 12 cos 2x 9 sin 2x;

y(0) =

2;

y0(0) = 0;

ex

c) y00 y =

.

ex + 1

2.a) 2yy00 = y02;

b) y00

6y0

+ 9y = 9x2 39x + 65;

y(0) = 1; y0(0) = 1;

c) y00

+ 4y =

1

.

cos 2x

3. a) y00 + y0 tg x = sin 2x;

b) y00

+ 2y0

+ 2y = 2x2 + 8x + 6;

y(0) = 1; y0(0) = 4;

c) y00

4y0

+ 5y =

e2x

.

cos x

4. a)y00 tg y = 2y02;

b) y00

6y0

+ 25y = 9 sin 4x 24 cos 4x;

y(0) = 2;

y0(0) =

2;

c) y00

+ 9y =

1

.

sin 3x

31

5. a) xy00 y0 = x2ex;

b) y00 14y0 + 53y = 53x3 42x2 + 59x 14;

y(0) = 0;

y0(0) = 7;

c) y00 + 2y0 + 2y =

e x

:

cos x

6. a) (y00)2 = y0;

b) y00

+ 16y = ex(cos 4x

8 sin 4x);

y(0) = 0;

y0(0) = 5;

c) y00

2y0 + 2y =

ex

.

sin2 x

7. a) y00x ln x = 2y0;

b) y00

4y0 + 20y = 16xe2x;

y(0) = 1;

y0(0) = 2;

e x

c) y00 + 2y0 + y =

:

x

8. a) y00 = y0 + y02;

b) y00

12y0

+ 36y = 32 cos 2x + 24 sin 2x;

y(0) = 2;

y0(0) = 4;

c) y00

+ 4y = tg 2x:

9. a) xy00 = y0;

b) y00

+ y = x3

4x2 + 7x

10; y(0) = 2; y0(0) = 3;

e2x

c) y00 4y0 + 4y =

x3 .

10. a) yy00 2y02 = 0;

b) y00

y = (14 16x)e x;

y(0) = 0;

y0(0) = 1;

c) y00

+ y =

2

.

sin2 x

11. a) xy00 + y0

= ln x;

b) y00 + 8y0 + 16y = 16x2 16x + 66;

32

y(0) = 3;

y0(0) = 0;

c) y00 y0 = e2x cos(ex).

12. a) y00 +

2

y02 = 0;

1 y

b) y00

5x

;

y(0) = 0; y0(0) = 6;

+ 10y0

+ 34y = 9e

c) y00

+ 9y =

1

:

cos 3x

13. a) xy00 = y0 + x2

b) y00

+ 16y = (34x + 13)e x;

y(0) =

1; y0

(0) = 5;

c) y00

y =

2ex

:

ex

1

14.a) y00(1 + y) = 5y02;

b) y00

+ 25y = ex(cos 5x

10 sin 5x);

y(0) = 3;

y0(0) = 4;

c) y00

+ 2y0 + 2y = e x ctg x.

15. a) y000 + y00 tg x = sec x;

b) y00

10y0

+ 25y = 2e5x;

y(0) = 1;

y0(0) = 0;

ex

c) y00

2y0 + 2y =

.

sin x

16. a) 1 + y02 = yy00;

b) y00

+ y0 12y = (16x + 26)e4x;

y(0) = 3;

y0(0) = 5;

c) y00

+ y = tg x:

17. a) y00 2y0 ctg x = sin3 x;

b) y00

2y0 + 5y = 5x2 + 6x 12;

y(0) = 0;

y0(0) = 2;

c) y00

y0 =

1

1 + ex .

18. a) yy00 y0(1 + y0) = 0;

33

b) y00

3y0

+ 2y = e3x(3

4x);

y(0) = 0; y0(0) = 0;

ex

c) y00 2y0

+ y =

.

x2

19. a) x(y00

+ 1) + y0 = 0;

b) y00 + 8y0 + 16y = 16x3 + 24x2 10x + 8;

y(0) = 1; y0(0) = 3

c) y00

+ 4y = ctg 2x.

y0

20. a) y00 = p

;

y

b) y00

+ y = sin 2x;

y(0) = 0;

y0(0) = 0,

c) y00 + 4y0 + 4y =

e 2x

x3 .

21. a) y00 2y0 ctg x = sin3 x;

b) y00

8y0

= 16 + 48x2 128x3;

y(0) = 1; y0(0) = 14;

c) y00 y0 = e2x sin(ex).

22. a) y00 = 1 + y02;

b) y00

y = 2(1 x);

y(0) = 0;

y0(0) = 1;

c) y00 + y = tg2 x.

23. a) y000x ln x = y00;

b) y00

+ 3y0

= (40x + 58)e2x; y(0) = 0; y0(0) =

2;

c) y00 + 2y0 + y = 3e xp

x + 1

.

24. a) y00 + 2yy03 = 0;

b) y00

9y0

+ 18y = 26 cos x 8 sin x;

y(0) = 0; y0(0) = 2;

c) y00 + 2y0 + 5y =	e x	.
	sin 2x

34

25. a) (1 + x2)y00 = 2xy0;

b) y00

+ 8y0

= 18x + 60x2 32x3; y(0) = 5;

y0(0) = 16

c) y00 y0 = e2xp

.

1 e2x

26. a) yy00 = y2y0 + y02;

b) y00

3y0

+ 2y = sin x 7 cos x;

y(0) = 2; y0(0) = 7;

c) y00

+ y =

ctg2 x:

27. a) y00 ctg x + y0

= 2;

y(0) = 2; y0(0) = 2;

b) y00

+ 2y0

= 6x2 + 2x

2;

c) y00

+ 4y =

1

.

sin 2x

28. a) y00 + yy03 = 0;

b) y00

+ 16y = 32e4x;

y(0) = 2; y0(0) = 0;

c) y00 6y + 9y = 36p

xe3x.

29. a) 2xy00y0 = y02 4;

2; y0

b) y00

+ 5y0

+ 6y = 52 sin 2x;

y(0) =

(0) = 5;

c) y00

3y0

+ 2y = 1 +

1

1 + ex .

30. a) y00 =

1

2y3 ;

y0(0) = 8:;

b) y00

4y = 8e2x;

y(0) = 1;

c) y00 + 4y0 + 4y = e 2x ln x:

35

Задание 5.

Найдите решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:

a)методом исключения;

b)матричным методом;

с*) операционным методом.

1.

8x0 = 2x + y

6.

8x0 = 2x + y

>y0

= 3x + 4y;

>y0

=

3x + 2y;

<

<

>

>

:

y(0) = 2:

:

2;

y(0) =

4:

x(0) = 2;

x(0) =

2.

8x0 = x y

7.

8x0 = 6x y

>y0

=

4x + y;

>y0

= 3x + 2y;

<

<

>

>

:

y(0) =

2:

:

y(0) = 2:

x(0) = 3;

x(0) = 0;

3.

8x0 = x + 8y

8.

8x0 = 2x + y

>y0

= x + y;

>y0

=

6x

3y;

<

<

>

>

:

y(0) = 0:

:

2;

y(0) = 5:

x(0) = 6;

x(0) =

4.

8x0 = 2x 3y

9.

8x0 = y

>y0

=

x;

>y0

= x

<

<

>

>

:

y(0) = 0:

:

1:

x(0) = 4;

x(0) = 3; y(0) =

5.

8x0 = x y

10. 8x0 = x 2y

>y0

=

4x + 4y;

>y0 = 3x + 4y;

<

<

>

>

:

y(0) = 7:

:

x(0) = 2;

x(0) = 3;

y(0) = 4:

36

11.

8x0 = x + 8y

18.

8x0 = x + 2y

>y0

= x + y;

>y0

= 4x + 3y

<

<

x(0)>=

2;

y(0) = 2:

x(0)>= 3;

y(0) = 3:

:

:

12.

8x0 = 4x + 2y

19.

8x0 = x + 4y

>y0

= 4x + 6y;

>y0

= x + y

<

<

x(0)>= 4;

y(0) =

1:

x(0)>= 4;

y(0) = 0:

:

:

13.

8x0 = 8x 3y

20.

8x0 = 3x 2y

>y0

= 2x + y

>y0

= 2x + 8y

<

<

x(0)>= 4;

y(0) = 3:

x(0)>= 3;

y(0) = 0:

:

:

14.

8x0 = 3x + y

21.

8x0 = x + 4y

>y0

= x + 3y

>y0

= 2x + 3y

<

<

x(0)>= 2;

y(0) = 0:

x(0)>= 0;

y(0) = 3:

:

:

15.

8x0 = 2x + 3y

22.

8x0 = 7x + 3y

>y0

= 5x + 4y

>y0

= x + 5y

<

<

x(0)>= 2;

y(0) = 6:

x(0)>=

4; y(0) = 3:

:

:

16.

8x0 = x + 2y

23.

8x0 = 4x y

>y0

= 3x + 6y

>y0

= x + 4y

<

<

y(0) = 2:

x(0)>=

1;

y(0) = 4:

x(0)>= 0;

:

:

17.

8x0 = x y

24.8x0 = 2x + 8y

>y0

= 4x + y

>y0

= x + 4y

<

<

(0)>= 0

(0) = 4

>

x

:

;

y

:

:

2; y(0) = 2:

x(0) =

37

25.

8x0 = 5x + 8y

28.

8x0

= 5x + 2y

>y0

= 3x + 3y

<

>y0

x(0)>= 6; y(0) =

= x

6y

:

x(0) = 3;

y(0) = 0:

>

8x0 = 3x + y

:

26.

29.

8x0

= 6x + 3y

>y0

= 8x + y

<

>y0

=

8x 5y

x(0)>=

2; y(0) = 2:

<

y(0) = 3:

x(0) = 2;

:

>

8x0 = x 5y

:

27.

30.

8x0 = 4x 8y

>y0

= x

3y

>y0

= 8x + 4y

<

<

y(0) = 1:

x(0)>=

3; y(0) = 3:

x(0) = 3;

:

>

:

38

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Кафедра высшей математики (ВМ) была организована в 1931 году. Первым заведующим кафедрой был профессор Г.Д. Гродский. С конца 1936 года кафедрой ВМ заведовал профессор И.П. Натансон, известный специалист по теории функций действительной переменной. В 1944 году заведующим кафедрой ВМ становится профессор В.А. Тартаковский (1901-1973), замечательный математик и педагог. Владимир Абрамович Тартаковский является одним из крупнейших советских алгебраистов. Им получены пользующиеся мировой известностью результаты по проблеме тождества в теории бесконечных групп. Известность получили также его работы по использованию теоретико-числовых методов в теории изгибания поверхностей, теории диофантовых уравнений.

Обладая исключительной энергией, В.А. Тартаковский уделял много внимания научной и общественной работе. Ещё в тридцатые годы он в составе комиссии Hapкoмпроca участвовал в разработке программы по математике для средней школы. В течение долгого времени был членом президиума учебнометодического совета при Министерстве высшего и среднего специального образования СССР, входил в комиссию по реформе математического образования в стране. Был одним из инициаторов проведения среди школьников Ленинграда первой математической олимпиады. В.А. Тартаковский участвовал в организации Ленинградского отделения математического института им. В.А. Стеклова и был первым его директором.

В разное время на кафедре ВМ преподавали академик В.И. Смирнов, член-корреспонпент АН АН СССР Д.К. Фаддеев, проф. И.С. Соминский, проф. Ф.И. Харшиладзе, проф. А.Ф. Андреев, проф. Ю.В. Аленицын, проф. И.А. Молотков. В 1979 году кафедру возглавил доктор технических наук, профессор В.Г. Дегтярёв, специалист по теории устойчивости и теории движения

39