1 курс / Kurs_lektsiy_po_fizike_-_1_semestr1

51

Лоренца в знаменателе стоит 1− v2 / c2 ). Причинно связанные события разделены только времениподобным, или, в крайнем случае, нулевым, интервалом.

§6. Преобразования Лоренца и сложение скоростей.

Рассмотрим движение точки в К-системе: vx = dx / dt . Тогда в K' имеем vx' = dx'/ dt'.

Из преобразований Лоренца следует

dx =

dx'+v dt'

,

dy = dy',

dz = dz',

dt =

dt'+v dx'/ c2

1− β 2

1− β 2 .

0

0

Тогда v

= dx

=

dx'+v0dt'

=

vx '+v0

x

dt'+v dx'/ c

dt

2

1+

v0vx'

0

c2

Закон сложения скоростей

vy '

'+v

1− β

2

'

vx =

v

x

vy =

vz =

v

1− β 2

0

;

;

z

1+

v0v'x

1+

v0v'x

1+

v0v'x

c2

c2

c2

где v0 - это скорость системы K'

вдоль оси х. Если v0 << c , то получим привычные для нас

формулы сложения скоростей: vx

= v'x +v0 , vy = v'y ,

vz

= v'z .

Если тело в системе K' движется вдоль оси x', то

v =

v'+v0

.

v v'

1+

0

c2

v − v0

Если дана скорость в системе К, а нужно найти скорость в K', то

v'=

.

1−

v v

0

c2

Убедимся

в

инвариантности

скорости света.

Пусть

v'= c ,

тогда v =

c + v0

= c -

1+

v c

0

c2

скорость света одинакова в обеих СО.

Теперь попробуем получить скорость больше скорости света путем сложения

скоростей. Пусть

v'= v

= 3c / 4 ,

тогда v =

3c / 4 + 3c / 4

=

24

c -

скорость не превзошла

0

1+ 9/16

25

скорость света.

§7. Релятивистское выражение для импульса.

Уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея, значит, не инвариантны относительно преобразований Лоренца. То же можно сказать и о вытекающем из законов Ньютона законе сохранения импульса. Проверим это. Пусть в системе К две

52

одинаковых частицы летят навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями u0 . Рассмотрим неупругий удар.

В К-системе 2mu = mu0 − mu0 = 0, т.е. частицы остановились.

Теперь рассмотрим ситуацию в системе K', движущейся вместе с первой частицей.

Тогда скорость системы K' равна u0 , скорость 2-й частицы в системе К равна − u0 , имеем

v'

= 0, v'

=

− u0 − u0

= −

2u0

.

1x

2x

1+

u02

1+

u02

c2

c2

До столкновения суммарный

импульс равнялся mv'

+mv'

= −

2mu0

, после

1x

2 x

1+

u02

c2

столкновения частицы летят вместе со скоростью − u0 , т.е. импульс равен − 2mu0 . Закон сохранения импульса не выполняется.

Можно показать, что для инвариантности относительно преобразований Лоренца и для

того, чтобы при малых скоростях получалось привычное выражение для импульса

p = mv ,

r

mv

импульс должен иметь вид p =

.

1−

v2

c2

Можно сказать,

хотя сейчас эту трактовку используют редко, что p = mv ,

но масса

m

= m /

. Тогда массу m называют массой

зависит от скорости:

r

1− v2 c2

покоя и

0

обозначают m0 , а mr

- релятивистская масса.

§8. Второй закон Ньютона в СТО.

Второй закон Ньютона в форме mw = F неверен, даже если учесть зависимость массы от скорости. Правильно записывать закон Ньютона в виде

dp

r

d

r

r

d

r

r

2

2

= F ,

или

(m v) = F ,

или

(m v

1− v

c

) = F .

dt

dt

r

dt

0

Раскрывая производную, получим:

r r dmr

r

w и F могут

mr w + v

dt

= F . Таким образом,

быть даже не параллельны.

Попробуем разогнать ракету до скорости,

превышающей скорость света в вакууме.

Пусть сила тяги постоянна и равна F , тогда закон Ньютона имеет вид

dp

r

dt

= F . Проектируя

53

p

t

m0v

на ось и интегрируя, получим ò dp = ò Fdt Þ

p = Ft

Þ

= Ft .Решая

0

0

1

- v

2

c2

относительно скорости v , получим

v =

Ft

. При малых t

пренебрежем под

m2

+ (Ft / c)2

0

корнем вторым членом, а при больших –

первым. На рисунке изображен график v(t) . За

сколь угодно большое время скорость

не сможет стать

больше скорости света, она только асимптотически к ней приблизится. Причиной этого является увеличение с ростом скорости массы mr , которая при приближении скорости к скорости света становится бесконечно большой.

§9. Релятивистское выражение для энергии.

d

(m vr

r

Умножим закон Ньютона

1- v2 c2 ) =

F на vdt = dS :

dt

0

d

r r

(m vr

c2 ) × vdtr

1- v2

= FdS .

dt

0

Справа dA - элементарная работа, равная приращению кинетической энергии dT , т.е.:

d

(m vr

) × vrdt

dT =

1- v2 c2

dt

0

æ

m0c2

ö

Нетрудно показать, что правую часть можно записать в виде dT = dç

÷.

ç

1- v

2

c

2

÷

è

ø

Тогда, интегрируя, получим выражение для кинетической энергии:

T = m0c2 1- v2 c2 + const

При v → 0 T должна тоже стремиться к нулю, значит, const = -m0c2 .

Тогда T = m0c2 1- v2 c2 - m0c2 = m0c2 (11- v2c2 -1)

При v << c получим T = m c	2	(1+	1	×	v2	-1) =	m v2
							0	, как и должно быть.
0			2		c2		2

Рассмотрим полную энергию. Естественно ожидать закона сохранения энергии. Можно показать, что при столкновениях частиц сумма Т не сохраняется. Для выполнения закона сохранения энергии следует приписать свободной частице кроме кинетической энергии еще

	2	2				m c2
и дополнительную энергию Е0 = m0c		. Тогда Е = T + m0c	=			0
			1			- v2 c2

54

Эта величина удовлетворяет закон сохранения энергии при столкновениях частиц. При

v = 0 Е = m0c2 - это так называемая энергия покоя.

Вычтем m2c2	из Е2				/ c2 :
0
					2		4									2 2	v	2			æ		m0v				ö2
Е2 / c2 - m2c2 =					m0 c						- m2c2	=			m0 c						= ç						÷ = p2 (*)
0		c	2	(1- v		2		c	2	)	0		c	2	(1	- v	2	c	2	)	ç	1- v		2	c	2	÷
																					è						ø

В итоге получаем E = c p2 + m02c2 - это связь между импульсом и энергией.

При v << c E = m c2	1+ ( p / m c)2	» m c2	(1+ p2	/ 2m2c2 ) = m c2		+ p2 / 2m , т.е.
0	0	0		0	0	0

при v << c энергия отличается от привычного нам выражения E = p2 / 2m0 только членом m0c2 - энергией покоя.

Отметим, что из формулы (*) следует Е2 - с2 p2 = const , т.е. это инвариант.

§10. Связь массы и энергии.

Формулу для энергии можно записать в виде Е = mrc2 . Это связь массы тела и его полной энергии. Энергия тела пропорциональна его релятивистской массе. Изменение энергии ведет к изменению массы и наоборот. Например, энергия пружины при сжатии увеличивается, значит, увеличивается и ее масса, т.е. мера инертности. Иными словами, сжатую (и связанную невесомой ниткой) пружину труднее разгонять. Конечно, в данном примере изменение очень мало ( Dm = Eупр / с2 ) , но теоретически оно существует.

В отличие от релятивистской массы mr , масса покоя m0 не сохраняется. При неупругом взаимодействии двух частиц (слипании) масса образовавшейся частицы в системе

	их центра масс равна m = m		+ m	+	T1 + T2	> m	+ m , т.е. кинетическая энергия при
					c2
	0	01	02			01	02

слипании переходит во внутреннюю энергию образующейся частицы, т.е. в ее массу покоя.

В атомных электростанциях используется реакция деления урана 92235U (или плутония)

при захвате медленных нейтронов:

92235U +10 n ®92236 U ®14055 Cs +3794	Rb + 2 10n
Суммарная масса покоя исходных частиц больше, чем получившихся в		итоге, на
4 ×10−28 кг. Это означает, что выделилась энергия	DE = c2Dm » 3,6 ×10−11	Дж. Она

превратилась в кинетическую энергию образовавшихся частиц и в энергию электромагнитного излучения.

	55
		§11. Частицы с нулевой массой покоя.
Из формулы	E = c		p2 + m2c2		следует,	что,	если	m = 0,	то
	0							0
E = cp = с × m v = cv ×	E	. Отсюда следует,			что v = c ,	т.е.	частица с	m = 0	всегда
r	c2							0
движется с v = c . Например, это фотоны (возможно, что это и нейтрино). У фотона
E = hν Þ p = E c = hν / c, m = E / c2 = hν / c2 .
					r

Здесь h - постоянная Планка, ν - частота света.

При поглощении света изменяется импульс тела, т.е. оно испытывает давление со стороны светового пучка. Это давление измерил русский ученый Лебедев в 1900 году.

Глава 7. Механические колебания. §1. Общие положения.

Колебания – это процессы, происходящие с той или иной степенью повторяемости. Они бывают механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.

Различают свободные (собственные), вынужденные, автоколебания, параметрические колебания.

Свободные колебания – колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе, при выведении ее из положения равновесия (маятник).

Вынужденные – колебания, происходящие под действием периодически изменяющихся внешних сил (колебания моста под действием шагающих по нему людей).

Автоколебания, как и вынужденные, сопровождаются воздействиями внешних сил на систему, но моменты, когда эти воздействия происходят, управляются самой системой (часы с маятником).

Параметрические колебания возникают при периодическом изменении каких-либо параметров системы, например длины маятника.

Простейшие колебания – гармонические, т.е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Их изучение очень важно, так как а) они часто встречаются в природе, б) периодические процессы любой формы могут быть представлены как сумма нескольких гармонических (Фурье-разложение).

§2. Малые колебания.

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано одной координатой х, т.е. система имеет одну степень свободы (например, угол или расстояние вдоль кривой). Потенциальная энергия U – функция одной переменной U(x). Пусть система

&x&+ ω02 x = 0

56

имеет положение равновесия. В нем U имеет минимум. Условимся отсчитывать координату

х и энергию U от этой точки. Тогда U(0)=0. Разложим U(x) в степенной ряд

U (x) = U (0) +U '(0)x +U"(0)x2 / 2 + ... =

Учтем, что U (0) = 0, и U '(0) = 0, U ''(0) = k > 0,так как в точке равновесия энергия имеет минимум.

Ограничившись первыми членами, получим: U (x) = kx2 / 2 - аналогичная формула была для упругой энергии. Fx = − dUdx = −kx - проекция силы на ось х. Далее индекс х

можно опускать, так как движение происходит вдоль одной оси. Такие силы называют квазиупругими. Они пропорциональны смещению и всегда направлены к положению равновесия.

Запишем закон Ньютона: m&x&= −kx. Обозначив k / m = ω02 > 0 , получим

- дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний.

Если есть сила сопротивления движению, надо ввести член, пропорциональный скорости

Fсопр = −rx& , где r – коэффициент сопротивления. Получим уравнение затухающих

колебаний
m&x&= −kx − rx&		Þ	&x&+ 2βx& + ω02 x = 0 , где 2β = r / m.
Рассмотрим	вынужденные	колебания,		когда	есть	внешняя периодическая сила
Fвнеш = F0 cosωt .	Обозначив	F0 / m = f0 ,		придем	к	дифференциальному уравнению

вынужденных колебаний

&x&+ 2βx& + ω02 x = f0 cosωt

Дифференциальные уравнения такого типа называются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если в правой части ноль, то уравнение однородное, если не ноль – неоднородное.

§3. Гармонические колебания.

Решение дифференциального уравнения &x&+ ω02 x = 0 имеет вид x = acos(ω0t + α ) ,

где a и α - произвольные постоянные. a - наибольшее отклонение от положения равновесия, называется амплитудой колебания. Величина, стоящая под знаком синуса или косинуса, т.е. (ω0t + α) , называется фазой, α - начальная фаза. Минимальное время, через которое состояние системы повторяется, называется периодом.

ω0 (t + T ) + α = ω0t + α + 2π Þ T = 2π /ω0 .

57

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний: ν = 1/T =

ω0

.

2π

Величина ω0

= 2πν = 2π /T называется циклической или круговой

частотой. Найдем скорость:

vx = x& = −aω0 sin(ω0t + α) = aω0 cos(ω0t + α + π / 2) .

Значит, скорость тоже меняется по гармоническому закону, но она на

π / 2 опережает по фазе смещение.

Ускорение w

= v&

x

= -aω2 cos(ω

t + α) = aω2 cos(ω

t + α + π )

x

0

0

0

0

опережает смещение на π .

Графики на рисунке соответствуют случаю α = 0.

Значение произвольных постоянных

a и α находят из начальных

условий :

x(0) = x0 ; v(0) = v0

Þ acosα = x0 ; − aω0 sinα = v0 .

ì

2

2

ì

ïa =

x

2

+ (v

ω

2

ï(acosα ) = x0 ;

Þ

0

)

í

í

0

0

2

ï

2

(- aω

= v

ïtgα = -v /(ω x )

0

sinα )

î

0

î

0

0 0

Квазиупругая сила является консервативной, т.е. полная энергия должна оставаться постоянной. В процессе колебаний кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно. Проверим закон сохранения энергии. В положении равновесия E1 = Eкин , а в точке максимального отклонения E2 = U .

	E =			mv2					=		m(aω			)2
					max								0
		1			2						2
										kx2			ka2			m(ω a)2
	E = U				max		=				max	=			=	0		= E , что и требовалось доказать.
		2									2			2		2			1
В произвольный момент
E =	mx&	2		kx2		=		mω2a2 sin2 (ω t + α)									+	mω2a2 cos2 (ω t + α)		=	mω2a2	= const
	2	+		2							0			2	0			0	2		2
																			0		0

§4. Маятник.

Математический маятник – это материальная точка на невесомой нерастяжимой нити. Рассмотрим вращательное движение вокруг оси О.

Вращающий момент равен N = mgl sinϕ , момент инерции - I = ml2 .

Уравнение динамики вращательного движения выглядит так:

ml2ϕ&& = -mgl sinα , откуда следует ϕ&&+ gl sinϕ = 0 - уравнение колебаний маятника.

58

Колебания не гармонические, т.к. не ϕ , а sinϕ . При малых углах отклонения, когда

sinϕ ≈ ϕ , получим ϕ&&+ ω2ϕ = 0 , где ω =

; T = 2π /ω

= 2π

.

g l

0

l / g

0

0

Если маятник не математический, а физический (или нить имеет массу, или тело - не

точка), то Iϕ&& = −mgl sinϕ , ω

=

. При малых ϕ

имеем ϕ&&+ ω2ϕ = 0 ,

0

mgl

I

0

T = 2π /ω0 = 2π I / mgl , где l – расстояние от точки подвеса до центра тяжести.

§5. Биения.

Биения возникают, когда складываются два гармонических колебания одинаковой амплитуды и близких частот. Имеем два колебания: x1 = a cosωt и x2 = acos(ω + ω)t ,

причем ω << ω . Суммарное колебание имеет вид

x = x + x = 2acos( ωt 2)cos(ω + ω / 2)t ≈ 2a cos( ωt / 2)cosωt

1 2 1442443

Его можно представить как колебание с частотой ω и меняющейся со временем амплитудой. Отметим, что амплитуда не равна подчеркнутому выражению, поскольку она должна быть больше нуля.

								ωt
	Поэтому амплитуда					A =	2acos			. Период изменения амплитуды
								2
	равен Т =		2π	.
			ω
							§6. Затухающие колебания.
	Дифференциальное уравнение затухающих колебаний выглядит так:
								&x&+ 2βx& + ω02 x = 0
	При не очень сильном затухании, когда β < ω0 , решение имеет вид
							x = a e−βt cos(ωt + α),				(*)
								0
	где ω =				,
		ω02 − β 2				a0 и α - произвольные постоянные, значения которых можно найти из
	начальных условий.

Это колебания частоты ω с амплитудой a0e−βt , где β - это коэффициент затухания.

Найдем время τ , за которое амплитуда убывает в е раз. Тогда

e−βτ = e−1 , т.е. τ =1/ β .

Период T = 2π /ω = 2π / ω02 − β 2 ≈ 2π /ω0 , если β << ω0 .

59

Рассмотрим, во сколько раз убывает амплитуда за один период:

		a(t)		= eβT		-	декремент затухания.
		a(t + T )
	λ = ln			a(t)	= βT	-	логарифмический декремент затухания.
			a(t + T )
	Введем понятие добротности колебательной системы Q = π / λ . Можно показать, что
	добротность Q равна отношению энергии,					запасенной		в системе в данный момент, к убыли
	этой энергии за период.
	Видно, что с ростом		затухания ω убывает,					а Т растет. При β = ω0 период Т

обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. Если β > ω0 , то решение (*) не годится. Движение будет апериодическим. В обоих этих случаях выведенная из положения равновесия система возвращается в него за бесконечное время.

§7. Вынужденные колебания.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний выглядит так:

&x&+ 2βx& + ω2 x = f

0

cosωt

(*)

0

Решение представляет собой сумму свободного затухающего колебания и

вынужденного незатухающего с частотой ω :

x = a e−βt cos(

t + α) +

f0 cos(ωt − ϕ)

ω2 − β 2

0

0

(ω02 − ω2 )2 + 4β 2ω2

Здесь a0

и α -

произвольные постоянные, значения которых можно найти из начальных

условий.

Обозначим величину

f0

буквой a . Угол ϕ удовлетворяет

(ω02 − ω2 )2 + 4β 2ω2

условию

tgϕ =

2βω

.

ω02 − ω2

Видно, что с течением времени первый член затухает, и остается только второй, с

частотой вынуждающей силы. Найдем частоту,

при которой амплитуда a вынужденного

колебания максимальна. Она соответствует минимуму подкоренного выражения в
знаменателе: (ω2 − ω2 )2 + 4β 2ω2 = min , т.е. производная равна нулю:
0
2(ω2 − ω2 )(−2ω) + 8β 2ω = 0	Þ ω2 − ω2 = 2β 2	Þ ω		=
			рез		ω2	− 2β 2
0	0			0
При β << ω0 имеем ωрез ≈ ω0 .	ωрез ≈ ω0

60

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при некоторой частоте вынуждающей силы. Амплитуда в резонансе равна:

aрез	=		f0
		2β ω02		− β 2

При малом затухании ( β << ω0 ) резонанс проявляется наиболее ярко. Он возникает при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы (ωрез = ω0 ), а его

амплитуда равна aрез =

f0

и стремится к бесконечности при β → 0.

2βω0

Нарисуем резонансную кривую, т.е. зависимость амплитуды установившегося

вынужденного колебания от частоты вынуждающей силы

a(ω)( β1

< β2 < β3 ).

Найдем отношение амплитуды aрез

к смещению

x0 при постоянной

силе той же величины, что и

амплитуда вынуждающей. Его мы найдем из

уравнения (*), положив в нем ω = 0, т.е. ω2 x = f

0

:

0

0

aрез

=

f ω

2

=

ω

0

=

2π

=

π

= Q ,

0

0

x

2βω

2β

2βT

λ

0

f

0

0

т.е. добротность имеет еще один смысл.

§8. Параметрический резонанс.

Рассмотренный в предыдущем параграфе резонанс возникал из-за периодичности вынуждающей силы. Есть и другой вид воздействия, позволяющий сильно раскачать систему (качели). Это изменение в такт с колебаниями какого-либо параметра системы, например длины маятника. Если увеличивать ее в крайних положениях (приседать) и уменьшать (вставать) в среднем, то маятник (качели) раскачается.

Увеличение энергии происходит за счет работы силы натяжения нити (в случае качелей сила реакции пола). Эта сила меньше в крайних положениях, где скорость равна нулю, и больше внизу, где скорость максимальна. Поэтому отрицательная работа при удлинении меньше положительной при уменьшении длины. Конечно, на качелях эта работа совершается за счет мускульной энергии человека.