1. Длина кривой |
141 |
ма этой функции, соответствующая разбиению сегмента [α, β] на частичные сегменты [ti−1, ti] и выбору точек ξi в качестве промежуточных точек, имеет вид
n |
n |
|
|
|
|
|
ϕ 2(ξi) + ψ 2(ξi) ti. |
||
I(ti, ξi) = i=1 f(ξi)Δti = i=1 |
По определению определенного интеграла
β
t→0 I(ti |
ξi) = |
2 |
2 |
(t) dt. |
|
|
α ϕ |
(t) + ψ |
(13.5) |
||||
lim |
, |
|
|
|
|
В силу (13.5) для обоснования равенства (13.4) достаточно доказать, что
lim (l(ti) − I(ti, ξi)) = 0.
t→0
Для этого нам понадобится вспомогательное алгебраическое неравенство
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + b2 |
− |
|
+ c2 |
|b − c|. |
(13.6) |
|||
|
a2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическое доказательство справедливости этого неравенства представлено на рис. 13.4: согласно неравенству треугольника выполнено неравенство (13.6). Используя неравенство (13.6), а также выражения для l(ti) и I(ti, ξi), получаем:
|l(ti) − I(ti, ξi)| =
Рис. 13.4. |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ti |
|
|
|||
|
n |
|
ϕ 2(ξi) + ψ 2(ξi ) − ϕ 2(ξi) + ψ 2(ξi) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|ψ (ξi ) − ψ (ξi)| · ti. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
142 |
Гл. 13. Криволинейные интегралы |
Зададим теперь произвольное ε > 0. Так как функция ψ (t) по условию непрерывна на сегменте [α, β], то δ > 0, такое, что при
ti < δ будет выполнено неравенство
|
ψ (ξ ) |
− |
ψ (ξ |
) |
| |
< |
|
|
|
|
ε |
. |
|
|
||||||||
|
β |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
| |
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
− |
α |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, при |
ti < δ, |
|
|
i = 1, 2, ..., n (то есть при t < δ), |
||||||||||||||||||
выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|l(ti) − I(ti, ξi)| < |
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
ti = ε, |
||||||||
|
|
β α |
=1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а это и означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (l(t |
) |
− |
I(t |
, ξ |
)) = 0. |
|
|
||||||||||||||
|
t |
0 |
i |
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1 доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Возьмем на кривой AB произволь- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
ную точку C(ϕ(γ), ψ(γ)), γ [α, β] |
|||||||||||||||||||
|
|
|
(рис. 13.5). Для длин кривых AC, CB |
|||||||||||||||||||
|
|
|
и AB справедливы равенства |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt, |
|||||||||||
Рис. 13.5. |
|
|
|
|
|
|
lAC = α |
ϕ 2(t) + ψ 2(t) |
||||||||||||||
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
||
lCB = γ |
|
dt, |
|
|
|
|
dt. |
|||||||||||||||
ϕ 2(t) + ψ 2(t) |
|
lAB = α |
ϕ 2(t) + ψ 2(t) |
γβ β
Так как + = , то lAC + lCB = lAB . Это свойство называется
αγ α
аддитивностью длины кривой.
2. Пусть кривая задана в прямоугольной системе координат уравнением y = f(x), a x b, причем функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную производную f (x). Перейдем к параметрическим уравнениям кривой:
x = t, y = f(t), a t b.
1. Длина кривой |
143 |
По формуле (13.3), в которой нужно положить ϕ(t) = t, ψ(t) = = f(t), получаем:
b |
|
|
b |
|
|
|
l = a |
1 + f 2(t) |
dt = a |
1 + f 2(x) |
dx. |
||
3. Пусть кривая |
задана в полярных координатах уравнением |
r = r(ϕ), ϕ1 ϕ ϕ2 (рис. 13.6), причем функция r(ϕ) имеет на сегменте [ϕ1, ϕ2] непрерывную производную r (ϕ). Переходя к
декартовым координатам, получим уравнения кривой в параметрической форме (ϕ — параметр):
x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ,
Так как
x (ϕ) = r (ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ, y (ϕ) = r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ,
то, применяя формулу (13.3), получаем
ϕ2
l = x 2(ϕ) + y 2(ϕ) dϕ =
ϕ1
ϕ2
=r2(ϕ) + r 2(ϕ) dϕ.
ϕ1
ϕ1 ϕ ϕ2.
Рис. 13.6.
4. Если кривая задана в полярных координатах уравнением
ϕ = ϕ(r), r1 r r2, то
r2
l = 1 + r2ϕ 2(r) dr
r1
(выведите эту формулу самостоятельно).
Примеры.
1) x = R cos t, y = R sin t, 0 t 2π (окружность радиуса R с центром в начале координат).
|
2π |
|
|
|
2π |
|
l = |
0 |
(−R sin t)2 + (R cos t)2 |
dt = R |
0 |
dt = 2πR. |
144 |
Гл. 13. Криволинейные интегралы |
2) r = R = const > 0, 0 ϕ 2π (та же окружность, но заданная уравнением в полярных координатах: r = r(ϕ) = R).
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
2π |
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
dϕ = R |
|
|
|
|
|
||
|
r2(ϕ) + r 2(ϕ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
l = |
dϕ = |
R2 + 0 |
0 |
dϕ = 2πR. |
|||||||||||||
3) y = x2, 0 x 1 (часть параболы). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l = |
|
1 + (2x)2 dx = x x2 + 41 + 41 ln x + x2 + 41 |
|
||||||||||||||
|
0 = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
2 + |
√5 . |
= 25 + 41 ln |
Замечание о пространственной кривой.
Простая пространственная кривая определяется как множество точек {M(x, y, z) : x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α t β}, где ϕ(t), ψ(t) и χ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β], причем множество {M(x, y, z)} не содержит кратных точек.
Понятие длины кривой вводится таким же образом, как и для плоской кривой, и длина кривой выражается формулой
β
l = ϕ 2(t) + ψ 2(t) + χ 2(t) dt.
α
Пример. x = R cos t, y = R sin t, z = ht
0 t 2π (один виток), тогда
2π
l = R2 + h2 dt = 2π
— винтовая линия. Пусть
R2 + h2 .
0
§ 2. Криволинейные интегралы первого рода
Пусть L — простая спрямляемая кривая на плоскости, заданная параметрически:
x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β,
2. Криволинейные интегралы первого рода |
145 |
Рис. 13.7.
(то есть ϕ(t) и ψ(t) — непрерывные функции на сегменте [α, β], и различным значениям t из сегмента [α, β] соответствуют различные точки M (ϕ(t), ψ(t)); если A (ϕ(α), ψ(α)) = B (ϕ(β), ψ(β)), то кривая — замкнутая.) Пусть на кривой L задана ограниченная функция z = f(x, y). Разобьем сегмент [α, β] на n частей точками α = t0 < t1 < ... < tn = β. При этом кривая L разобьется на n
частей точками A = M0, M1, ..., Mn = B (рис. 13.7). |
Точка Mi |
|||
имеет координаты (ϕ(ti), ψ(ti)). Обозначим через li |
длину ча- |
|||
сти M |
M кривой и положим |
l = max |
l . Выберем на каж- |
|
i−1 |
i |
1 i n |
i |
|
дой дуге Mi−1Mi какую-нибудь точку Ki(ξi, ηi) (см. рис. 13.7) и составим интегральную сумму
n
I (Mi, Ki) = f(ξi, ηi)Δli.
i=1
Предел интегральных сумм I (Mi, Ki) при l → 0 (если он существует) называется криволинейным интегралом первого рода
от функции f(x, y) по кривой L и обозначается так:
f(x, y)dl |
или |
f(x, y)dl. |
L |
|
AB |
Из этого определения следует, что |
f(x, y)dl не зависит от того, |
|
|
L |
|
в каком направлении пробегается кривая L, то есть |
||
f(x, y)dl = |
f(x, y)dl. |
|
AB |
BA |
|
Если f(x, y) ≡ 1, то dl = l — длина кривой L.
L
Физический пример: если ρ(x, y) — линейная плотность в точке (x, y) материальной кривой L, то m = ρ(x, y)dl — масса
L
кривой L.
146 |
Гл. 13. Криволинейные интегралы |
Вычисление криволинейных интегралов первого рода с помощью определенных интегралов.
Теорема 2. Пусть
1) простая кривая L задана параметрически уравнениями
x = ϕ(t), y = ψ(t), α t β,
и пусть функции ϕ(t) и ψ(t) имеют на сегменте [α, β] непрерывные производные ϕ (t) и ψ (t), одновременно не равные нулю,
то есть ϕ 2(t) + ψ 2(t) = 0 (в таком случае кривая L называется
гладкой);
2) функция f(x, y) непрерывна вдоль кривой L.
Тогда криволинейный интеграл f(x, y)dl существует, и спра-
L
ведливо равенство
|
β |
|
|
|
|
f(x, y)dl = |
|
f(ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt. |
(13.7) |
||
L |
α |
|
|
|
|
Рис. 13.8. ti
Доказательство. Разобьем сегмент [α, β] на n частичных сег-
ментов точками α = t0 < t1 < < ... < tn = β. При этом кривая
L разобьется на n частей точка-
ми A = M0, M1, ..., Mn = B, где Mi = (ϕ(ti), ψ(ti)) (рис. 13.8).
Введем обозначения:
t |
i |
= t |
i − ti−1 |
, |
t = |
max |
ti |
, |
|
|
|
1 i n |
|
li = |
ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt — длина i-ой части кривой, |
||||||||||
ti−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = max |
|
li. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
|
|
|
t → 0 (это очевидно), и обратно, |
||||||
Отметим, что l → 0 при |
|||||||||||
t → 0 при l → 0 (это следует из того, что |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
(t) |
[α,β] |
2 |
2 |
(t) = m > |
|
||
ϕ |
(t) + ψ |
ϕ |
(t) + ψ |
0, |
|||||||
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
2. Криволинейные интегралы первого рода |
147 |
и поэтому |
li m · |
ti; |
следо- |
|||||||||
вательно, |
ti |
|
li |
|
и |
t |
|
|
l |
). |
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На каждой дуге Mi−1Mi |
|
возь- |
||||||||||
мем произвольным образом |
точку |
|||||||||||
Ki (ϕ(τi), ψ(τi)) (рис. 13.9) и соста- |
||||||||||||
вим интегральную сумму |
|
|
|
|
|
Рис. 13.9. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
I(Mi, Ki) = |
f(ϕ(τi), ψ(τi))Δli = |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f (ϕ(τi), ψ(τi)) ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt. |
||||||||
|
= i=1 ti−1 |
Требуется доказать, что lim I (Mi, Ki) при l → 0 (или, что то же самое, при t → 0) существует и равен определенному интегралу
I = f (ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt.
α
Представим интеграл I в виде
|
|
n |
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = i=1 ti−1 f (ϕ(t), ψ(t)) ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt |
|||||||||
и рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I (Mi, Ki) − I = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt.(13.8) |
||||||
= i=1 ti−1 |
f (ϕ(τi), ψ(τi)) − f (ϕ(t), ψ(t)) |
||||||||||
|
|
|
t 0 |
|
i |
i) − I) = |
0, то есть |
||||
Нам нужно доказать, что lim |
(I (M |
, K |
|
|
→
ε > 0 δ > 0, такое, что для любого разбиения сегмента [α, β], у которого t < δ, и любого выбора точек Ki выполняется неравенство
|I (Mi, Ki) − I| < ε.
Функция f(ϕ(t), ψ(t)) непрерывна на сегменте [α, β] и, следовательно, равномерно непрерывна на этом сегменте. Поэтому
148 Гл. 13. Криволинейные интегралы
ε > 0 |
δ > 0, |
такое, |
|
что |
|
если |
|
|
t < δ, то τi |
и |
t [ti−1, ti] |
||||||||||
выполняется неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|f (ϕ(τi), ψ(τi)) − f (ϕ(t), ψ(t))| < |
ε |
, |
|
|
|
||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где l = α |
|
|
|
|
dt — длина кривой L. Из (13.8) полу- |
||||||||||||||||
ϕ 2(t) + ψ 2(t) |
|||||||||||||||||||||
чаем, что если |
t < δ, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|I (Mi, Ki) − I| < |
ε |
|
|
|
ϕ 2(t) + ψ 2(t) dt = |
|||||||||||||||
|
l |
|
i=1 ti−1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
ε |
|
n |
|
li = |
ε |
· l = ε. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
l |
|
i |
l |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, |
если t < δ, то |
|
|I (Mi, Ki) − I| < ε, что |
и |
требовалось |
||||||||||||||||
доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ϕ |
|
(t) t |
|
2(t) dt представляет собой диф- |
||||||||||||||
1. Выражение dl = |
2 |
|
|
|
+ ψ |
ференциал функции l(t) = ϕ 2(s) + ψ 2(s) ds, которая назы-
α
вается переменной дугой и при каждом t [α, β] равна длине кривой AM, где A(ϕ(α)), ψ(α)), M(ϕ(t)), ψ(t)).
Если кривая L задана уравнением y = y(x), a x b (в декартовых координатах), причем функция y(x) имеет непрерыв-
ную производную y (x) на сегменте [a, b], то
dl = 1 + y 2(x) dx,
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x, y)dl = |
|
f(x, y(x)) 1 + y 2(x) dx. |
||
L |
a |
|
|
|
Если кривая L задана в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), ϕ1 ϕ ϕ2, причем функция r(ϕ) имеет непрерывную
|
r ( |
ϕ2 |
|
|
2 |
(ϕ) + r |
2 |
|
|
|
|
|
производную |
|
|
dl = r |
|
(ϕ) dϕ и |
|||||||
|
ϕ), то |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2(ϕ) + r 2(ϕ) dϕ. |
||||
L f(x, y)dl = ϕ1 |
f |
r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ |
|
2. Криволинейные интегралы первого рода |
149 |
2. Непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кривых, называется ку-
сочно гладкой (рис. 13.10). Если кривая L —
кусочно гладкая, а функция f(x, y) — кусоч-
Рис. 13.10.
но непрерывная вдоль кривой L, то формула (13.7) остается в силе.
3.Криволинейные интегралы первого рода обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, оценка по модулю, формула среднего значения).
4.Криволинейные интегралы первого рода в пространстве вводятся аналогично тому, как это сделано на плоскости. Если
L = {(x, y, z) : x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α t β} —
кусочно гладкая кривая в пространстве, то
β
f(x, y, z)dl = f (ϕ(t), ψ(t), χ(t)) ϕ 2(t) + ψ 2(t) + χ 2(t) dt.
L α
Примеры.
1. Вычислить интеграл xdl, где кривая L задана уравнением
L
y = x2, 0 x 1.
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L xdl = |
0 |
x 1 + 4x2 dx = 121 |
1 + 4x2 |
|
2 |
0 |
= |
121 5√5 − 1 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить интеграл xydl, где L — дуга |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 |
y2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
эллипса |
|
|
|
+ |
|
=1, x 0, y 0 (рис. 13.11). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем уравнения L в параметрическом ви- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
де: x = a cos t, |
y = b sin t, 0 t |
|
π |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
Рис. 13.11. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
xydl = ab cos t sin t a2 sin2 t + b2 cos2 t dt =
L0