Математика / Методички / Учебно – методическое обеспечение дисциплины «финансовая математика»

3. УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА»

Конспект лекций Лекция №1. Простые проценты (4ч)

1.Введение.

2.Три основных варианта расчета простых процентов.

3.Дисконтирование.

1. Введение

Уровень расчетов в области финансовой деятельности в настоящее время недостаточно высок. Речь идет о расчетах, которые производят при анализе платежей, распределенных по времени или составляющих последовательности повторяющихся выплат. Кроме того, большое значение имеет определение рыночной стоимости, например, ценных бумаг, векселей.

Всвязи с этим возрастают современные требования к подготовке специалистов по математическим методам в экономике.

Впроцессе изучения дисциплины «Финансовая математика» рассматривают основные понятия, которыми оперируют в практической деятельности, такие как процент, ставка процента, учетная ставка, текущая стоимость платежей и т.д., принципы, лежащие в основе финансовых вычислений.

2. Три основных варианта расчета простых процентов

Анализ финансовых операций предполагает учет фактора изменения стоимости денег во времени.

Наращенной суммой называют первоначальную величину капитала с начисленными на нее процентами к концу срока начисления. Процентами называют абсолютную величину дохода от предоставления капитала в долг в любой ее форме. Величину полученного дохода определяют величиной вкладываемого капитала , сроком , на который вкладывается капитал, размером и видом применяемой процентной ставки, условиями наращения.

Определяют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный.

Декурсивный способ предполагает начисление процентов в конце каждого интервала начисления. Величину процентов определяют, исходя из предоставляемого капитала , процентная ставка есть отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода (процентов) к сумме имеющегося капитала на начало данного интервала.

Антисипативный способ начисления процентов предполагает начисление в начале каждого интервала. Сумму процентных денег определяют исходя из наращенной суммы, процентная ставка, называемая учетной, есть отношение суммы дохода, выплачиваемой за определенный интервал, к величине наращенной.

1

Оба способа начисления процентов предполагают как простые, так и сложные проценты.

Наращение по простым процентам используют при выдаче краткосрочных ссуд (до одного года) и в случаях, когда проценты не присоединяют к сумме долга, а периодически выплачивают. Формула наращения простых процентов имеет вид

где - множитель наращения простых процентов. Это есть формула простых процентов. График роста по простым процентам изображен на рисунке 1.

Рис. 1 График роста по простым процентам

Рассмотрим пример. Определить проценты и сумму накопления долга, если размер ссуды, выданной на 4 года, составляет 700 тыс. рублей, проценты простые по ставке 20% годовых

Пусть ставка увеличивается в 2 раза. Сумма процентов при этом удвоится. Наращенная сумма увеличится в

раза.

2

Срок ссуды не всегда равен целому числу лет. Чтобы перейти от промежутка, измеряемого в днях, к промежутку измеряемого в годах, вводят годовой дивизор (число дней в году, или временная база начисления процентов, обычно 360, 365, 366), тогда срок имеет вид:

обыкновенные или коммерческие проценты. При использовании действительной продолжительности года 365 (366) дней, то получают точные проценты.

Чтобы определить точное число дней ссуды используют таблицы 1 и 2, в которых указаны порядковые номера даты в стандартном году. Число дней между датами определяют как разность между номерами этих дат.

Рассмотрим пример. Определить точное число дней между двумя датами: 14.02.1998 и 27.08.1998. Год невисокосный, поэтому дата 14.02.1998 имеет номер 45, а дата 27.08.1998 имеет порядковый номер 239. Следовательно, между датами содержится ровно 239-45=194 дня.

Если рассмотреть даты 14.02.1998 и 27.08.1998 високосного года, то число дней будет 240-45=195.

Если год рассматривать как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближенное число дней рассчитывают по формуле:

12.02.1996 и 27.08.1998.

Используя приведенную формулу, рассчитывают

На практике применяют три варианта расчета простых процентов.

1.Вариант, который дает самые точные результаты – точные проценты с точным числом дней ссуды АТС/АТС.

2.Банковский вариант расчета, который дает больший результат, чем применение точных процентов – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды АТС/360.

3.Вариант, который применяют в случае небольшой точности –

обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды 360/360.

3

Рассмотрим пример. Ссуда в размере 1000000 рублей выдана с 20 января по 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчета срока ссуды.

Предварительно определяют число дней ссуды: точное – 258 дней, приближенное – 255 дней.

Точные проценты с точным числом дней ссуды 365/365:

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды 360/365:

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды 360/360:

Если общий срок процентов захватывает два смежных календарных года и необходимо делить суммы процентов между ними, например, при определении годовых сумм дохода, то общая сумма начисленных простых процентов составляет сумму процентов, полученных в каждом году:

где и - части срока ссуды, приходящиеся на каждый календарный год. В кредитных соглашениях предусматривают изменяющиеся во времени

процентные ставки. В случае, если ставки простые, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом

где - ставка простых процентов в периоде - продолжительность периода с постоянной ставкой.

Если сумма, на которую начисляют проценты, изменяет свою величину во времени, например, размер вклада на сберегательном счете или текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денежных средств, принципиально ничего не меняется:

изменения остатка средств на счете.

Если процентную ставку выразить в процентах, а не в десятичных дробях, то формула примет вид

4

изменениями остатков на счете.

Рассмотрим пример. Движение средств на счете характеризуют следующие данные: 5 февраля на счет поступило 12000000 рублей, 10 июля со счета было снято 4000000 рублей, 20 октября на счет поступило 8000000 рублей. Требуется найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых.

Процентный делитель

Расчет суммы процентных чисел приведен в таблице 1.

Сумма процентов за весь срок:

На практике при инвестировании средств, в краткосрочные депозиты неоднократно повторяют наращение по простым процентам в пределах заданного общего срока – это есть реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или переменной ставок. Наращенная сумма для всего срока составляет:

где - размер ставок, по которым производят реинвестирование.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменяются во времени, то формула расчета наращенной суммы:

где - количество повторений реинвестирования.

5

3. Дисконтирование

В финансовой практике возникает задача обратная наращению процентов: по заданной сумме , которую следует уплатить через некоторое время , необходимо определить сумму полученной ссуды . Например, задача возникает при разработке условий контракта или в случае, когда проценты с суммы удерживают вперед. Иначе говоря, сумма дисконтируется, т.е. учитывается процесс начисления процентов и их удержание.

Дисконтирование – средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени.

Вбольшинстве случаев с помощью дисконтирования удобно учитывать такой фактор, как время.

Взависимости от вида процентной ставки применяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский учет.

Математическое дисконтирование – решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды: какую первоначальную сумму ссуды следует выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму , при условии, что на долг начисляются проценты по ставке

где - дисконтирующий множитель.

Дисконтирующий множитель показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

Рассмотрим пример. Через 180 дней после подписания договора, должник уплатит 310000 рублей. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

Находят современную стоимость:

Разность можно рассматривать как проценты, начисленные на стоимость и как дисконт с суммы .

Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает вексель у его владельца по цене, меньшей суммы указанной на векселе, т.е. покупает вексель с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя денежные

6

средства, банк реализует процентный доход в виде дисконта. Владелец векселя с помощью учета дисконта имеет возможность получить денежные средства ранее указанного на векселе срока, но не в полном объеме.

При учете векселя применяют банковский учет – проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляют на сумму, подлежащую уплате в конце срока, применяют учетную ставку .

Размер дисконта или суммы учета:

отрицательной. При относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме . Например, при пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя не

получил ничего при учете годовой учетной ставки.

Простую учетную ставку применяют при расчете наращенной суммы, когда возникает необходимость определить сумму, которую следует проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. В рассматриваемом случае наращенная сумма:

Дисконт, как скидка с конечной суммы долга не всегда определяется через процентную ставку, дисконт может быть установлен по соглашению сторон в виде фиксированной величины для всего срока.

Наращение и дисконтирование применяют для решения сходных задач. Различия в том, что только для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки прямая задача – дисконтирование, а обратная задача – наращение (таблица 2).

Метод наращения по ставке наращения и метод дисконтирования по учетной ставке , приводят к разным результатам (рисунок 2). Учетная

7

ставка отражает фактор времени более жестко, влияние фактора времени усиливается при увеличении величины ставки.

Рис. 2 Изменение величины дисконтных множителей

В таблице 3 приведены дисконтные множители для случая

Сравнивание формул

указывает на то, что учетная ставка дает более быстрый рост суммы задолжности, чем такой же величины ставка наращения.

Выбор конкретного вида процентной ставки влияет на финансовые итоги операции, но возможет такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования одинаковы, ставки называют эквивалентными.

Вопросы по материалу лекции

1.Дать определения процента.

2.Определите два способа начисления процентов.

3.Укажите на три основных практических варианта расчета простых процентов.

4.Какую величину называют процентным делителем?

5.Ввести понятие дисконтирование.

6.Что понимают под математическим дисконтированием?

7.В каких случаях применяют банковский учет?

8

Лекция №2. Сложные проценты (4ч)

1.Сложная процентная ставка наращения.

2.Эффективная ставка.

3.Эффективная учетная ставка.

4.Доходность финансовой операции.

1. Сложная процентная ставка наращения

Сложная процентная ставка наращения – это ставка, при которой база начисления есть переменная, т.е. проценты начисляются на проценты.

Формула наращения для сложных процентов:

где - наращенная сумма, - годовая ставка сложных процентов, - срок

Раскладывая в ряд сомножитель

получают приближенную формулу:

процентов, принимают сомножитель Время при наращении по сложной ставке измеряют как при точных

процентах с точным числом дней ссуды. Проценты за срок в целом составляют:

9

Часть этих процентов, которая получена за счет начисления процентов на проценты составляет:

Предполагается, что проценты на проценты начисляют по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга.

Рост по сложным процентам есть процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен , а знаменатель равен , последний член прогрессии есть наращенная сумма к концу срока ссуды. Наращения по сложным процентам представлены графически на рисунке 3.

Рис. 3 Наращения по сложным процентам

Рассмотрим пример. Требуется определить, какой величины достигнет долг, равный 1000000 рублей, через 5 лет при росте сложной ставке 15,5 % годовых?

Величину долга рассчитывают по формуле:

Чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. При одинаковых уровнях процентных ставок соотношения множителей существенно зависят от срока.

При условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находят соотношения:

-для срока меньше года простые проценты больше сложных

-для срока больше года сложные проценты больше простых

-для срока равного году множители наращения равны друг другу. Соотношения множителей наращения представлены на рисунке 4.

10