1.В математике для решения разных задач очень часто используют разные функции. А знаете ли вы как их можно задавать и в каких случаях надо использовать тот или иной вид? Для начала рассмотрим определение:
Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее её значение.Наиболее употребительны три методы:табличный,графический,аналитический. Далее остановимся более подробно на каждом из них.Табличный способ - общеизвестен (таблицы логарифмов, квадратных корней и т. д.). Он сразу дает числовое значение функции. В этом его преимущество перед другими способами. Недостатки: таблица трудно обозрима в целом; она часто не содержит всех нужных значений аргумента.
Графический способ состоит в построении линии (графика) в разных системах координат, например в Декартовой – абсциссы (по горизонтали) изображают значения аргумента, а ординаты (по вертикали) - соответствующие значения функции. Часто бывает, что функция быстро стремится вверх или вниз, поэтом тогда удобнее масштабы на осях брать разными. Преимущества графического способа — легкость обозрения в целом и непрерывность изменения аргумента; недостатки: ограниченная степень точности и утомительность прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами, например,y=f(x). Если зависимость между х и у выражена уравнением, разрешенным относительно у, то величина у называется явной функцией аргумента х, в противном случае — неявной. Преимущество здесь в том, что всегда можно вычислить точно значение для любого аргумента. Недостатки, что по самой формуле сложно понять общее поведение функции. Понятие функци-
Сложная функция. Если функция x=(t) дифференцируема в точке t0, а функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0=(t0), то сложная функция y=f((t)) дифференцируема в точке t=t0 и ее производная в этой точке находится по формуле
Док-во:
Т. к. функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то y=f ‘(x0)x+(x)x.
2.
3.
Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
lim (x->a) f(x) = A (A +/- oo) <=> f(x)=A+alpha(x) - бесконечно малая при x->a
сравнение- Пусть и – бесконечно малые функции при . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка. Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде
Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при а функция имеет меньший порядок малости. Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с при x → 0. Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при .
4.
5.
6.
7.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке).
Для того чтобы, функция у = f(х), определенная в некоторой окрестности точки а, была непрерывна в точке а, необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и равные друг другу и значению функции в точке а:
f(a-0)=f(a+0)=f(a).
8. Теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, о непрерывности сложенных функций.
Теорема:
Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны. Доказательство: Докажем для произведения.
Пусть . Тогда, по теореме о пределе произведения:
Теорема:Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .Доказательство:
Т.к. - непрерывна, то , т.е. при имеем . Поэтом (т.к. - непрерывна) имеем:
Непрерывность сложной функции
Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция f (y) непрерывна в точке у0 = φ (x0), тогда сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке х0. Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z0) точки z0 = f (y0). Тогда в силу непрерывности функции f (y) найдётся такая окрестность V(y0) точки у0, что, если у V(y0), то значения функции f (y) U(z0). Далее, для полученной окрестности V(y0) в силу непрерывности функции у = φ (x) в точке х0 существует такая окрестность W(x0), что если х W(x0), то значения функции у = φ(x) V(y0). Следовательно, для произвольной точки х W(x0) следует z = f (φ(x)) U(z0). Что и требовалось доказать. Это можно записать ещё и так
.
Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция f (y) непрерывна в точке у0 = φ(x0), тогда
9.
10.
1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени . 2) Геометрический смысл производной.
Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственнаяРассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент k).
По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси .
Пусть – угол наклона секущей к оси , где . Так как – касательная, то при
⇒ ⇒ .
Следовательно,
Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде
12.
13.
14.
15. производне элемент.функций
Таблица произво=
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема о произв. обратной функции.
Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
16. Дифференциал функции
Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x0 + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить:
|
Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть Поэтому пишут:
|
|
Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:
|
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
|
Модель 3.3. Дифференциал функции |
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx
Свойства дифференциаловВыражение производной через дифференциалы: где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.Выражение дифференциала через производную: Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной. 1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала:
2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций 3. дифференциал произведения 4. дифференциал дроби (дифференциал частного) 5. дифференциал сложной функции где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.