Лекция по теории систем 5
.docЛекция №5
Характеристика реакции линейной системы на показательное воздействие
В качестве элементарных воздействий могут быть использованы не только импульсные или ступенчатые воздействия, но и другие, более сложные сигналы , такие, как гармонические. Мы рассмотрим в этом качестве показательное воздействие. Оно объединяет в себе воздействия затухающие и гармонические.
Пусть , где s - некий комплексный параметр.
Такое воздействие обобщает все остальные воздействия (почему?).
Назовем характеристикой реакции линейной системы на показательное воздействие величину:
, где - реакция линейной системы на показательное воздействие, а - само показательное воздействие.
показывает, как меняются модуль и фаза входного воздействия при его прохождении через линейную систему.
Если s - чисто мнимая величина, то задает частотную характеристику:
Задача: показать, как меняется амплитуда и фаза входного воздействия (гармонического) при прохождении через систему с заданной частотной характеристикой.
- задает амплитудно-частотную характеристику (АЧХ);
- задает фазовую частотную характеристику (ФЧХ).
Рассмотрим функцию u(t), ее интеграл Фурье имеет вид:
, где .
Найдем реакцию линейной системы на воздействие u(t).
Из этого результата следует, что реакция линейной системы может быть определена через реакцию на показательное воздействие, но это, к сожалению, требует дополнительных преобразований связанных с расчетом коэффициентов . Только для импульсного воздействия эту работу делать не нужно.
Связь частотной характеристики и весовой функции
Для установления этой связи определим реакцию линейной системы на показательное воздействие при помощи весовой функции:
.
Тогда
При :
Известный факт:
Это соотношение показывает, что импульсное воздействие содержит в себе гармонические колебания всех частот с одинаковыми коэффициентами. Тогда
Стационарные системы. Передаточная функция.
Для стационарных систем весовая функция зависит только от разности моментов времени:
.Тогда
Поэтому характеристика реакции линейной стационарной системы на показательное воздействие имеет вид:
Т.е. не зависит от времени.
С учетом физической осуществимости системы, имеем:
Функцию называют передаточной функцией.
Важно что (***)
К сожалению, определяется таким образом только для воздействия !
Пример определения передаточной функции.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
.
Пусть . Тогда .
.
Получаем:
- передаточная функция; при
- частотная характеристика.