Лекция по теории систем 4
.docЛекция № 4.
Примеры определения весовой функции
1.Идеальная следящая система (ИСС).
.
Система не изменяет входное воздействие. В соответствии с принципом суперпозиции
весовая функция .
2.Идеальный экстраполятор.
, .
Система сдвигает входное воздействие на a временных единиц (эта система является примером физически неосуществимой системы, т. к. предсказывает те значения входного воздействия, которые на нее еще не поступали). Т.к. весовая функция и , то весовая функция .
3.Идеальная запаздывающая система.
,
Аналогично примеру 2, , но .
4.Идеальная дифференцирующая система (идеальный дифференциатор).
Система рассчитывает производную входного воздействия: Весовая функция рассчитывается в соответствии с определением
5.Идеальный интегратор.
Система рассчитывает интеграл от входного воздействия: .
Воспользуемся «близостью» форм записи реакции системы и реакции общей модели линейной системы:
. Поэтому (см. лекцию 3).
Многомерные системы. Описание в макроподходе
Система имеет m входов и n выходов:
В силу принципа суперпозиции, реакция системы по каждому выходу может быть определена как суперпозиция реакций на воздействие по каждому из входов.
Принцип суперпозиции позволяет рассмотреть одномерную систему, у которой входное воздействие ui(t), а реакцию - yk(t). Тогда составляющая реакции, определяемая входом i, равна:
а реакция по k выходу при приложении воздействия на вход i имеет вид:
.
С учетом линейности операторов суммирования и дифференцирования:
,
- реакция по выходу
Введем в рассмотрение матрицу G:
-
матрицу импульсных переходных (весовых) функций;
вектор U: - вектор входных воздействий;
вектор Y: - вектор реакций системы.
Тогда имеем:
.
Таким образом, вновь получена структура математической модели, соответствующая результатам применения линейного оператора, но теперь для векторных входных воздействий и реакций.
Замечание 1. Очевидно, что процедура определения матрицы импульсных переходных функций может быть произведена с использованием импульсного воздействия, подаваемого на один из входов системы. Легко заметить, что при подаче импульсного воздействия в виде -функции на i-й вход многомерной системы на каждом из выходов с номером k () зафиксируется реакция в виде импульсной переходной функции , т.е. будет определен i-й столбец матрицы G.
Замечание 2. Для физически осуществимых систем , при , поэтому.