Введение в математику

Определение 3.5. Функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычи- тания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

3.5Дробно-рациональные функции

Определение 3.6. Дробно-рациональной функцией (èëè рациональной дробью) называется функция вида

f(x) = Pn(x) ; Qm(x)

ãäå Pn(x), Qm(x) многочлены степени n и m соответственно (при m = 0

f(x) многочлен).

Рациональная дробь называется правильной, если n < m, и неправильной, если n m.

Пример 3.12. Рациональные дроби

2

,

x

,

x2 + 2

правильные,

x 5

x2 + 1

x7 x2 + 2

x2 + x

x5

x2

+

1

а рациональные дроби

,

,

неправильные.

x 2

x2 + 3

x2

+

5

Теорема 3.1. Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби, т. е.

Pn(x) = L(x) + R(x)

Qm(x) Qm(x)

(причем степень R(x) меньше m).

51

Пример 3.13. Преобразовать неправильную дробь	3x3 + 2x2 +	1	, выделив це-
	x2 + x + 5

лую часть.

Решение. Поделим числитель на знаменатель:

Получим целую часть L(x) = 3x 1 и остаток R(x) = 14x + 6. Значит,

		3x3 + 2x2 + 1		= 3x		1 +	14x + 6	:
		x2 + x + 5					x2 + x + 5

Определение 3.7. Простейшими (èëè элементарными) рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:

A	,		A		Mx + N	,		Mx + N
x a		(x a)k , x2 + px + q					(x2 + px + q)k ,

где k натуральное число, k 2, p2 4q < 0, т. е. квадратный трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней, A; M; N; a; p; q действительные числа.

Теорема 3.2. Всякая правильная рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших дробей.

Разложение правильной дроби тесно связано с разложением знаменателя на линейные и квадратичные множители:

Qm(x) = (x a1)k1 : : : (x as)ks (x2 + p1x + q1)l1 : : : (x2 + prx + qr)lr ;

ãäå k1 + + ks + 2(l1 + + lr) = m и каждый квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант.

Pn(x)

Представляя дробь Qm(x) в виде суммы простейших дробей, необходимо учи- тывать, что:

52

1)каждому множителю вида (x a) соответствует дробь x A a;

2)каждому множителю вида (x a)k (k 2) соответствует сумма дробей

		A1		+	A2	+ +	Ak	;
		x a			(x a)2		(x a)k
	3) каждому множителю вида (x2 + px + q) соответствует дробь								Mx + N	;
									x2 + px + q

4) каждому множителю вида (x2 + px + q)l (l 2) соответствует сумма дробей

	M1x + N1		M2x + N2	+		Mlx + Nl
		+			+			:
	x2 + px + q		(x2 + px + q)2			(x2 + px + q)l
Ïðè ýòîì a; A; A1; : : : ; Ak; M; M1; : : : ; Ml; N; N1; : : : ; Nl некоторые действи-
тельные числа.
Äëÿ	нахождения		неопределенных				коэффициентов
A; A1; : : : ; Ak; M; M1; : : : ; Ml; N; N1; : : : ; Nl				будем	применять		метод сравни-

вания коэффициентов (метод неопределенных коэффициентов). Суть метода такова:

1)Сумму простейших дробей приводим к общему знаменателю Qm(x). В результате получим равенство

Pn(x) = S(x) ;

Qm(x) Qm(x)

где S(x) многочлен с неопределенными коэффициентами.

2)Так как в полученном равенстве знаменатели равны, то должны быть равны и числители, т. е. Pn(x) = S(x).

3)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях ра-

венства Pn(x) = S(x), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты.

Пример 3.14. Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей:

2x + 1

1) (x 1)(x + 2);

3

2) (x 1)2(x + 3);

53

x2 + 1

3) x3 + 5x;

x3 + x + 1

4) (x2 + x + 1)(x2 + 3); x4 + x3 x + 3

5) (x2 + 2)(x 1) .

Решение.

1)Данная дробь является правильной, поэтому ее можно представить в виде

суммы простейших дробей. Заметим, что знаменатель уже разложен на множители. Получим, что множителю (x 1) соответствует дробь x A 1, ìíî-

жителю (x + 2) дробь x B+ 2. Значит,

2x + 1		=	A	+	B	:
(x 1)(x + 2)			x 1		x + 2

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и получаем, что

	2x + 1		=	A(x + 2) + B(x 1)	:
	(x 1)(x + 2)			(x 1)(x + 2)

Отсюда следует, что

2x + 1 = Ax + 2A + Bx B;

2x + 1 = x(A + B) + (2A B):

Приравниваем коэффициенты при x1, x0 и получаем систему уравнений:

(		2A	+ B = 1:
		A	B = 2;
Решая систему, находим, что A = 1, B = 1. Следовательно,
	2x + 1		1			1
			=			+		:
	(x 1)(x + 2)			x 1			x + 2

2) Данная дробь является правильной, поэтому ее можно представить в ви-

де суммы простейших дробей. Заметим, что знаменатель уже разложен на множители. Получим, что множителю (x 1)2 соответствует сумма дробей

A

+

B

(x + 3) дробь

C

. Значит,

x 1

(x 1)2 , множителю

x + 3

3

A

B

C

=

+

+

:

2

2

(x 1) (x + 3)

x 1 (x

1)

x + 3

54

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и получаем, что

3		=	A(x 1)(x + 3) + B(x + 3)	+ C(x 1)2	:
(x 1)2(x + 3)			(x 1)2(x + 3)

Отсюда следует, что

3 = Ax2 + 2Ax 3A + Bx + 3B + Cx2 2Cx + C;

3 = x2(A + C) + x(2A + B 2C) + ( 3A + 3B + C):

Приравниваем коэффициенты при x2, x1, x0 и получаем систему уравнений:

8

>

A + C = 0;

<

3A + 3B + C = 3:

>

2A + B

2C = 0;

3

12

3

3

:

Решая систему, находим, что A =

, B =

=

, C =

. Следовательно,

16

16

4

16

3

=

3

+

3

+

3

:

(x 1)2(x + 3)

16(x 1)

4(x 1)2

16(x + 3)

3)Данная дробь является правильной, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей. Сначала разложим знаменатель на множители:

x3 + 5x = x(x2 + 5):

Заметим, что множителю x соответствует дробь

A

, множителю (x2

+ 5)

x

Mx + N

дробь

. Значит,

x2 + 5

x2 + 1

A Mx + N

=

+

:

x3 + 5x

x

x2 + 5

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и получаем, что

	x2 + 1 A(x2			+ 5) + (Mx + N)x
		=			:
	x3 + 5x			x(x2 + 5)

Отсюда следует, что

x2 + 1 = Ax2 + 5A + Mx2 + Nx;

x2 + 1 = x2(A + M) + Nx + 5A:

55

Приравниваем коэффициенты при x2, x1, x0 и получаем систему уравнений:

8

>A + M = 1;

<

N = 0;

>

:5A = 1:

Решая систему, находим, что A = 15, M = 45, N = 0. Следовательно,

x2 + 1	=	1	+	4x	:
x3 + 5x		5x		5(x2 + 5)

4) Данная дробь является правильной, поэтому ее можно представить в виде

суммы простейших дробей. Рассмотрим знаменатель этой дроби, который уже разложен на множители. Заметим, что множителю (x2 + x + 1) соответ-

ствует дробь	Mx + N		, множителю (x2 + 3) дробь						Kx + L		. Значит,
									x2 + 3
	x2 + x + 1
		x3 + x + 1				Mx + N Kx + L
					=		+			:
		(x2 + x + 1)(x2 + 3)				x2 + x + 1		x2 + 3

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и получаем, что

x3 + x + 1		=	(Mx + N)(x2 + 3) + (Kx + L)(x2 + x + 1)		:
(x2 + x + 1)(x2 + 3)				(x2 + x + 1)(x2 + 3)

Отсюда следует, что

x3 + x + 1 = Mx3 + Nx2 + 3Mx + 3N + Kx3 + Lx2 + Kx2 + Lx + Kx + L; x3 + x + 1 = x3(M + K) + x2(N + L + K) + x(3M + L + K) + 3N + L:

Приравниваем коэффициенты при x3, x2, x1, x0 и получаем систему уравне-

íèé:	8	N + L + K = 0;
	>	M + K = 1;
	>	3M + L + K = 1;
	>
	<
	>
	>
	>
	:	3N + L = 1:

Решая систему, находим, что M = 47, N = 57, K = 37, L = 87. Следовательно,

	x3 + x + 1		=		74x + 75		+	73x 78	:
	(x2 + x + 1)(x2 + 3)			x2 + x + 1				x2 + 3

56

5)Данная дробь не является правильной, поэтому сначала выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель. Получим, что

x4 + x3 x + 3

= x + 2 +

3x + 7

:

(x2 + 2)(x

(x2 + 2)(x 1)

1)

Теперь разложим правильную дробь

3x + 7

на сумму простейших

(x2 + 2)(x 1)

дробей. Рассмотрим знаменатель этой дроби, который уже разложен на мно-

жители. Заметим, что множителю

(x2 + 2) соответствует дробь

Mx + N

,

x2 + 2

A

множителю (x 1) дробь

. Значит,

x 1

3x + 7

=

Mx + N

+

A

:

(x2 + 2)(x 1)

x2 + 2

x 1

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и получаем, что

3x + 7

=

(Mx + N)(x 1) + A(x2 + 2)

:

(x2 + 2)(x

1)

(x2 + 2)(x 1)

Отсюда следует, что

3x + 7 = Mx2 + Nx Mx N + Ax2 + 2A;

3x + 7 = x2(M + A) + x(N M) + 2A N:

Приравниваем коэффициенты при x2, x1, x0 и получаем систему уравнений:

8 N		+M =		3;
>	M	A = 0;
<	2A	N = 7:		13	4
>		4
:

Решая систему, находим, что M = 3, N = 3 , A = 3. Следовательно,

							4	13					4
			3x + 7			=	3x 3			+			3
			(x2 + 2)(x 1)				x2 + 2					x 1
		x4 + x3 x + 3						4			13					4
					= x + 2 +			3x			3		+			3	:
		(x2 + 2)(x 1)						x2 + 2						x		1

Метод неопределенных коэффициентов является универсальным способом разложения правильной дроби на простейшие.

57

Замечание. Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод частных значений аргумента: после получения равенства Pn(x) = S(x) аргументу x придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо x значения действительных корней многочлена Qm(x)). Очень удобно использовать этот метод, если знаменатель дроби представляет собой произведение линейных множителей.

	Пример 3.15. Разложить рациональную дробь					2x		на сумму про-
					x2 3x 10
	стейших дробей.
	Решение. Данная дробь	является правильной. Т. к. для знаменателя
	x2 3x 10 дискриминант	D	= 49, òî	сначала		необходимо			разложить
	этот квадратный трехчлен	íà	множители.	Видим,		что корнями			уравнения

x2 3x 10 = 0 являются числа x1 = 5, x2 = 2. Значит,

x2 3x 10 = (x 5)(x + 2):

Заметим, что множителю (x 5) в разложении рациональной дроби на про-

стейшие соответствует дробь x A 5, множителю (x + 2) соответствует дробь x B+ 2. Таким образом,

2x		=	A	+	B	:
x2 3x 10			x 5		x + 2

Приводим к общему знаменателю правую часть раенства и получаем, что

	2x		=	A(x + 2) + B(x 5)	:
	x2 3x 10			(x 5)(x + 2)

Получаем, что

2x = A(x + 2) + B(x 5):

Положим x = 2, тогда

2( 2) = A( 2 + 2) + B( 2 5);

4 = 7B; B = 47:

Аналогично, при x = 5 имеем:

2 5 = A(5 + 2) + B(5 5);

58

10 = 7A; A = 107 :

Следовательно,						10			4
			2x		=			+		:
			x2 3x 10			7(x 5)			7(x + 2)

3.6Преобразования графиков функций. Построение плоских областей

При построении графиков функций часто используются следующие геометрические рассуждения. Пусть G график функции y = f(x). Тогда:

1)график функции y1 = f(x) зеркальное отражение G относительно оси

Ox;

2)график функции y2 = f( x) зеркальное отражение G относительно оси

Oy;

3)график функции y3 = f(x a) смещение G вдоль оси Ox на величину a (вправо, если a > 0, влево, если a < 0);

4)график функции y4 = f(x) + b смещение G вдоль оси Oy на величину b (вверх, если b > 0, вниз, если b < 0);

5)график функции y5 = f( x), > 0, 6= 1, сжатие G в раз при > 1 или растяжение G в 1 раз при < 1 вдоль оси Ox;

6)график функции y6 = f(x), > 0, 6= 1, растяжение G в раз при

> 1 или сжатие G в 1 раз при < 1 вдоль оси Oy.

Таким образом, путем простых преобразований графика G исходной функции y = f(x) можно построить график функции вида y = f( x a) + b, где; ; a; b действительные числа.

Пример 3.16. Используя график функции y = ex построить графики следую- щих функций: y1 = ex, y2 = e x, y3 = ex 2, y4 = 2 + ex, y5 = e2x, y6 = 2ex.

Решение.

59

Чтобы построить график функции y7 = jf(x)j надо часть графика функции y = f(x) в верхней полуплоскости и на оси абсцисс оставить без изменения, а

вместо части графика в нижней полуплоскости необходимо построить симметричную ей относительно оси Ox.

Пример 3.17. Используя график функции y = x2 2 построить график функ-

öèè y7 = jx2 2j.

Решение.

60