Пересечение поверхнолстей

Рисунок 13

21

4. Промежуточные точки.

Для построения других точек линии пересечения, применяем сферы, которые будут находиться между наибольшей и наименьшей сферами.

(Rmin < Ri < Rmax).

Например, чтобы построить промежуточные точки 2 и 2' вводим вспомогательную секущую сферу радиусом R. Эта сфера пересекает поверхность Ψ по окружности с, а поверхность Φ - по окружности d. Пересечение фронтальных проекций этих окружностей дает точки 22 и 22'.

5. Видимость линии пересечения.

Общей границей видимости на π2 является плоскость α. Так как линия пересечения симметрична относительно плоскости α, то на π2 видимая часть кривой пересечения закрывает невидимую. Точки невидимые на π2 (2', D, 1') на чертеже взяты в скобки.

Общей границей видимости на π1 является плоскость β. Часть линии пересечения, расположенная ниже плоскости β, будет на π1 не видна. Поэтому, участок кривой от точки В до точек С и D на π1 изображаем штриховой линией.

6. Видимость очерков.

Очерком конуса Ψ на плоскости π1 является его основание. Очерковыми конуса Φ на π1 являются его образующие а и в. Основание находится ниже образующих а и в, следовательно на π1 оно будет не видимо ( в пределах площади наложения проекций Φ1 и Ψ1).

Проекции прямых а1 и в1 будут видимы на π1 до точек C1 и D1 (в точках С и D прямые врезаются в конус Ψ и растворяются в нем).

4.4 Способ эксцентрических сфер

Пример. Построить линию пересечения поверхностей.

1. Анализ условия.

Пересекаются две поверхности: прямой круговой конус Φ и открытый тор Ψ. Обе поверхности общего положения (рисунок 15).

2. Способ решения задачи.

Для построения линии пересечения поверхностей выбираем способ эксцентрических сфер, так как выполняются все необходимые условия:

•обе пересекающиеся поверхности – поверхности вращения;

•имеется общая плоскость симметрии α, параллельная фронтальной плоскости проекций (α║π2);

•каждая из поверхностей несет на себе семейство окружностей;

•оси заданных поверхностей скрещиваются.

Более подробно рассмотрим третье условие, т. е. ответим на вопрос «какие семейства окружностей несут на себе тор и конус».

22

На поверхности конуса окружности (параллели) расположены перпендикулярно оси ј. На поверхности тора можно выделить два семейства окружностей (рисунок 14):

а) параллели, получающиеся при пересечении тора плоскостями перпендикулярными оси i (α і);

б) меридианы, получающиеся при пересечении тора плоскостями, проходящими через ось i (σ ј).

Рисунок 14

3. Опорные точки.

Прежде всего, отмечаем плоскости, в которых лежат опорные точки линии пересечения (рисунок 15).

α– фронтальная плоскость уровня. Она является общей плоскостью симметрии заданных поверхностей и одновременно общей границей ви-

димости на π2.

β – горизонтальная плоскость уровня. Она является границей видимости конуса на

π1 и одновременно общей границей видимости на π1.

Для нахождения опорных точек, лежащих в плоскости α, пересечем заданные поверхности этой плоскостью.

а) плоскость α пересекает конус по двум образующим f и f ', которые являются очерковыми конуса на π2;

α∩ Φ = { f, f '}

Рисунок 15

23

б) плоскость α пересекает тор по двум параллелям - экватору и горлу, которые являются очерковыми тора на π2;

α ∩ Ψ = {экватор, горло} в) при пересечении фронтальных проекций полученных линий отмечаем

проекции опорных точек А и В.

f ∩ экватор = А (А – самая верхняя точка линии пересечения) f ' ∩ горло = В (В – самая нижняя точка линии пересечения)

Плоскость β пересекает конус по двум образующим, тор – по кривой четвертого порядка, строить которую сложно. Поэтому точки изменения видимости на π1 определяют приблизительно после построения фронтальной проекции линии пересечения.

4. Промежуточные точки.

Прежде всего, через ось тора ј (ј2) проводим вспомогательную секущую плоскость δ (δ2) (рисунок 16). Эта плоскость пересекает тор по окружности

d(d2).

δ ∩ Ψ = окр.d

Отмечаем центр этой окружности – точку О (О2).

Центр сферы, пересекающей тор по окружности d, будет расположен на прямой n, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости этой окружности (n δ).

Чтобы вспомогательная сфера пересекала и конус по окружности, центр сферы должен лежать на оси конуса.

Из вышесказанного следует, что центр вспомогательной сферы находится как точка пересечения прямой n с осью i.

n ∩ i = P – центр первой вспомогательной сферы.

Затем, используя общий алгоритм, находим первую пару промежуточных точек. Для этого:

1)проводим вспомогательную секущую сферу с центром в точке P и радиусом R;

2)вспомогательная сфера пересекает конус по окружности m (m2);

3)вспомогательная сфера пересекает тор по окружности d (d2);

4)находим точки пересечения окружности m и d (это и будет первая пара искомых точек).

m ∩ d = {1;1'}

Аналогично находим следующую пару промежуточных точек 2 и 2'. Проводим вспомогательную секущую плоскость δ'. Эта плоскость пересекает тор по окружности. Отмечаем центр окружности – точку О' (О'2). Проводим прямую n' δ'. Находим точку пересечения прямой n' с осью i (n'2 ∩ i2 = P'2). Точка P'2 и будет центром второй вспомогательной сферы. Затем повторяем общий алгоритм с первого по четвертый пункты.

24

Рисунок 16

25

5. Видимость линии пересечения.

Общей границей видимости на π2 является плоскость α – общая плоскость симметрии. Линия пересечения симметрична относительно этой плоскости. Следовательно, видимая часть линии пересечения полностью закрывает невидимую. Точки невидимые на π2 (1', D, 2') на чертеже взяты в скобки.

Общей границей видимости на π1 является плоскость β. Часть линии пересечения, расположенная ниже этой плоскости будет не видна на π1.Поэтому, участок линии пересечения, проходящий через точки С, 2, В, 2', D, на горизонтальной плоскости проекций обведен штриховой линией.

6. Видимость очерков.

Образующие а и в являются очерковыми конуса на π1. Окружность е является очерковой тора на π1. Так как образующие конуса лежат в плоскости β, а окружность е находится ниже её, то на π1 прямые а и в будут видимы и изображены сплошной толстой линией. Окружность е закрыта конусом и на π1 обведена штриховой линией (в пределах площади наложения проекций заданных поверхностей).

5 Частный случай пересечения поверхностей вращения второго порядка

Пример. Построить линию пересечения поверхностей.

1. Анализ условия.

Пересекаются два прямых круговых конуса (рисунок 17). Обозначим конус с осью вращения i π1 буквой Ψ, а конус с осью j π3 буквой Φ. Обе поверхности общего положения.

2. Способ решения задачи.

Для построения линии пересечения можно применить способ концентрических сфер, так как выполняются все необходимые условия:

•обе поверхности – поверхности вращения;

•имеется общая плоскость симметрии α, параллельная одной из плоскостей проекций (α ║ π2);

•каждая из поверхностей несет на себе семейство окружностей (на поверхности Ψ окружности перпендикулярны оси і, на поверхности Φ окружности перпендикулярны оси ј);

•оси поверхностей пересекаются (i ∩ j = О).

3.Опорные точки.

Прежде всего, найдем самые верхние и самые нижние точки линии пересечения поверхностей. Эти точки лежат в общей плоскости симметрии α. Плос-

26

кость α является также общей границей видимости на π2 для заданных поверхностей.

Теперь находим опорные точки, лежащие в этой плоскости.

Плоскость α пересекает обе поверхности по образующим, которые являются очерковыми данных конусов на π2. В пересечении этих образующих отмечаем проекции точек А2 и D2, С2 и В2 (точки А и С– самые верхние, точки В и D– самые нижние).

4. Промежуточные точки.

Для построения промежуточных точек применяем способ концентрических сфер. За центр сфер принимаем точку О – точку пересечения осей i и j.

i ∩ j = О

Находим радиус минимальной сферы (Rmin). Для этого из проекции точки О (О2 ) проводим два перпендикуляра к очерковым образующим поверхностей и выбираем из них наибольший. В результате построения оказалось, что перпендикуляры имеют одинаковую длину:

O2M2 = O2N2 => Rmin = O2M2= O2N2

Таким образом, сфера минимального радиуса вписана в обе поверхности одновременно.

В этом случае для решения задачи следует применить теорему Монжа.

Теорема. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка (или вписаны в неё), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых, проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания заданных поверхностей с третьей.

Прежде всего, проводим линии касания сферы с каждым конусом. Сфера касается конуса Ψ по окружности m (m2). Сфера касается конуса Φ по окружно-

сти n(n2).

Затем, находим точки пересечения этих окружностей.

m2 ∩ n2 = {12; 1'2}

Наконец, строим линии пересечения заданных поверхностей.

Эти плоские кривые будут проходить через точки А, В, С и D и через точки 1 и 1' - точки пересечения линий касания.

Таким образом, линиями пересечения конусов будут эллипсы, фронтальные проекции которых изображаются отрезками А2D2 и В2С2.

27

Рисунок 17

28

ЛИТЕРАТУРА

1.Боголюбов С. К. Черчение: Учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений. – М.:Машиностроение, 1985. – 336 с., ил.

2.Бубенников А. В. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. – 3-е изд.,перераб. И доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 288 с., ил.

3.Павлова А. А. Начертательная геометрия: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. – 304 с.:ил.

4.Посвянский А. Д. Краткий курс начертательной геометрии: Учебник для студентов высших технических учебных заведений. – М.: Высшая школа, 1965. – 238 с.

5.Фролов С. А. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1983. – 240 с., ил.

29

© Л. В. Блинова, Л. В. Куркина, 2009

Людмила Васильевна Блинова, Лариса Валерьевна Куркина

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методическое пособие

Подписано в печать 12.11.09. Тираж 100 экз.

Издательство Алтайского государственного технического университета им. И. И. Ползунова, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 020822 от 21. 09. 98.

30