книги из ГПНТБ / Корниенко, И. М. Сборник задач по электромагнетизму
.pdf
'Я / 9 s
621.3 К 647
СЕВАСТОПОЛЬСКОЕ ВЫСШЕЕ ВОЕННО-МОРСКОЕ ИНЖЕНЕРНОЕ УЧИЛИЩЕ
И. М. КОРНИЕНКО
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ
УЧЕБлЫЙ ФОНД
Фундамент. библиотеки Сезастоясльского ВВМИУ
СЕВАСТОПОЛЬ 1974
621.3 |
f |
К 647 УДК 621.30
j ЧИТ4
И. М. Корниенко. Сборник задач по электромагнетизму.
1974.
В сборнике приводятся задачи на применение основных
положений |
электромагнетизма. |
Основная часть задач име |
ет решения. |
Табл. 1. Сгшс. лит. |
4. |
Рис. 28. |
Рецензенты: Александров Е. П., Анисимов О. Ю., Коноп-
лев К■Г.
Научный редактор Анисимов О. Ю.
( £ ) . Издательство СВВМИУ, 1974
ВВЕДЕНИЕ
Раздел электромагнетизма в курсе ТОЭ занимает особое место. Законы электромагнитной индукции, электромагнитных сил, Ленца и полного тока, изучаемые в этом разделе, лежат в основе расчета электромагнитных процессов и магнитных полей.
В задачнике собраны наиболее характерные задачи, раскрыва ющие использование указанных законов для решения практичес ких задач. Приводимые подробные решения задач должны способ ствовать хорошему усвоению материала при ограниченном време ни на самостоятельную работу.
1.РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОДВИЖУЩИХ сил ИНДУКЦИИ
II. ОБЩИ В СВ БДЕНИЯ
Наведенная или индуктированная э.д.с. е в контуре равна ско рости изменения нотокосцепления контура
е
ГГотокосценление контура ф равно алгебраической сумме по токов, пронизывающих отдельные витки
ф = Ф\ + Ф2 + 0з + ■•■+ 0 „ .
Если все витки хю пронизываются одним и тем же потоком 0, то
я|з = да 0.
Э.д.с. е , , наведенную в контуре при изменении тока, протека
ющего по этому же контуру, называют э.д.с. самоиндукции. Потокосцепление самоиндукции пропорционально току
'h = LL
Поэтому
е
____d(Li) dt dt
Если L = const, то
Э.д.с. е и, наведенную в каком-либо контуре при изменении тока
в другом контуре, называют э.д.с. взаимоиндукции. Потокосцепление взаимной индукции одного контура пропор
ционально току в другом контуре
Ф12 —
Поэтому
d(Mt2) _
4 |
dt |
При М — const
елм = М dt '
Аналогично э.д.с. в другом контуре
dix
^2/И= М dt
Определение э.д.с., наведенной в проводнике dt, пересекающем магнитные силовые линии неизменного во времени магнитного поля, производится по формуле
de = B[dl v],
где de — э.д.с. в участке 'проводника длиной dl;
v — скорость перемещения проводника относительно маг нитного поля.
В последней формуле индукция В скалярно умножается на
векторное произведение dl и v. При движении прямолинейного проводника длиной I в равномерном по всей длине магнитном поле э.д.с. удобнее определять по формуле
|
е = Blv„. |
|
|
|
Здесь В — индукция равномерного поля; |
|
|
|
|
|
I — длина активной части проводника; |
проводника, |
нор |
|
|
V а -— составляющая скорости движения |
|||
|
мальная к вектору индукции. |
|
|
|
|
1.2. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ |
|
|
|
1. |
Квадратная рамка Р (рис. 1.1), длина |
стороны |
которой |
|
I = 25 см, вращается с угловой скоростью со = |
314 1/с в однород |
|||
ном магнитном поле с магнитной индукцией В = |
0,05 Т. Опреде |
|||
лить зависимость индуктируемой э.д.с. от угла поворота рамки и- по строить график этой зависимости, если число витков рамки <о = 20.
Р е ше н и е Рассматриваемая рамка состоит
из 20 квадратных контуров, соеди ненных последовательно и находя щихся в одинаковых условиях. По этому достаточно определить э.д.с., индуктируемую в одном контуре, и затем увеличить ее в w раз.
Определить э.д.с. в одном кон туре можно двумя способами:
1. Вычислим э.д.с., индуктируе мую в каждом из четырех проводов контура.
На рис. 1.2 показан контур одно
5
го витка, а на |
рис. 1.3 начальное I и промежуточное |
II положения |
|
вращающейся |
рамки. |
В некотором произвольном |
положении |
II контура в проводах 1 |
и 2, параллельных оси вращения 0 0 i, ин |
||
дуктируется э.д.с. |
|
|
|
А
в\ = |
е2 = |
Blvi sin (В v\) = |
BvJ sin я = |
Bv2l sin (180° — a ) , |
|||
так как |
|
|
|
Шl |
|
|
|
|
|
|
|
и |
sin a = |
sin (180° — a). |
|
|
V \ = |
V 2 = |
V = T |
||||
Э.д.с. |
ex и e2 |
направлены |
|
согласно и образуют суммарную |
|||
э.д.с. в контуре |
|
|
|
|
|
||
ек= |
ei + е 2 |
= |
2Bvl sin a = |
2В ш— / sin a = Bl2со sin a. |
|||
Провода 3 и 4 при вращении рамки не пересекают магнитных |
|||||||
линий, поэтому э.д.с. е3 — е4 = |
0. |
|
|||||
Рис. 1.2
Замечая, что площадь контура S K— /2, а Bl2 = BSK = Ф, т.е. максимальному значению магнитного потока, пронизывающего кон тур, получаем
ек ~ Ф со sin a
или для всей рамки
е= weK— тФ со sin a.
2.Не разделяя контур на отдельные провода, определяем ин дуктируемую в контуре Э.Д.С. по формуле
_ ОФ еК dt
6
т.е. как производную по времени от магнитного потока, пронизы вающего контур, взятую с обратным знаком.
Для определения индуктируемой э.д.с. нужно знать зависи мость магнитного потока от времени Ф(^), которую в данном слу чае легко найти.
Действительно, в начальном положении I магнитный поток, пронизывающий контур, имеет максимальное значение Фт , а в
произвольном положении II |
|
|
|
|
|
|||||||
где угол а = |
cot, поэтому |
Ф = |
Фтcos а, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ф = |
ФтCOS О) /. |
|
|
|||
Соответственно э.д.с. в контуре |
|
|
|
|||||||||
|
|
а1Ф |
d ( 0 mooscot) |
|
— Фш» (— sin си t) |
^ |
||||||
ек = ----= ---------:-------^ ------- = |
= Фтсо sin ев t |
|||||||||||
и для всей рамки |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
е = |
weK= |
|
ФФ |
ш ® 0msin ы t. |
|
||||
|
|
|
— w — |
----- |
|
|||||||
В нашем случае э.д.с. в рамке |
|
|
|
|
|
|||||||
в |
= |
w B l 2 со sin а |
= 20 -0,05 -0,0625- 314 sin а |
= |
19,6 sin а. |
|||||||
2. |
|
Катушка |
(рис. |
1.4) |
нахо |
|
|
|
||||
дится |
в однородном |
магнитном |
|
|
|
|||||||
поле, линии которого параллель |
|
|
|
|||||||||
ны оси катушки. |
Магнитная ин |
|
|
|
||||||||
дукция |
|
В — 0,1 |
Т, |
внутренний |
|
|
|
|||||
радиус |
катушки R\ = |
10 |
см, |
на |
|
|
|
|||||
ружный Ri = |
14 |
см, |
число вит |
|
|
|
||||||
ков w = |
100, |
сопротивление |
об |
|
|
|
||||||
мотки R = 2 |
Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
.Определить: 1. Потокосцепле- |
|
|
|
|||||||||
ние катушки. 2. Количество элек |
|
|
|
|||||||||
тричества, которое пройдет по об |
|
|
|
|||||||||
мотке при исчезновении |
магнит |
|
|
|
||||||||
ного поля, если зажимы катуш |
|
|
|
|||||||||
ки замкнуть накоротко. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Магнитный поток, сцеплен |
|
|
|
|||||||||
ный с катушкой, может быть раз |
|
|
|
|||||||||
бит на две части: первая прохо |
|
|
|
|||||||||
дит сквозь площадь круга радиу |
|
|
|
|||||||||
са R1 и сцепляется со всеми вит |
|
|
|
|||||||||
ками; |
вторая проходит |
сквозь |
Рис. |
1.4 |
||||||||
площадь кольца |
между |
окруж- |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
7
ностями радиусов R{ и R2. Потокосцепление первой части равно
Цл = В л R\w = 0,1 -3,14-0,12-ЮО = 0,314 Вб.
Потокосцепление второй части определяется сложнее, так как не все магнитные линии этой части потока сцепляются с одним и тем же числом витков.
Выделим элементарную площадку, ограниченную окружностя ми с радиусами х и х + dx. Площадь сечения этого кольца
ds = 2 я xdx,
а магнитный поток, проходящий сквозь эту площадь,
d(f>2 i= В2 я xdx.
Этот магнитный поток сцепляется с витками, пересекающими за штрихованную на рисунке часть сечения обмотки, имеющую радиальный размер R2— х; число этих витков равно
w r = R2 |
х |
ш — 100 |
0,14 — х |
= 2500(0,14 — х), |
R2 |
— Ri |
|
0,14 — 0,1 |
|
где х — в метрах.
Таким образом, потокосцепление элементарного магнитного потока d<P2 будет
d^2 — В •2 я xwxdx — 0,1 -2 я -2500(0,14 — x)xdx =
— 220 xdx — 1570 x2dx.
Полное потокосцепление от этой части магнитного потока полу чится, если выражение для dty2 проинтегрировать в пределах от
R1 до R2
X? |
X3 Hi |
|
|
|
тр2 = 220 |
1 |
— 1570 ~3 |
110-96-10~3-523-10-6(143 |
— 103) = |
2 |
||||
= |
1,1 -0,96 — 0,523-1,75 = 1,05 — 0,92 = 0,13 Вб. |
|
||
Полное потокосцепление катушки |
|
|||
|
|
ф = яр 1+ фг = |
0,314 + 0,13 = 0,444 Вб. |
|
Количество электричества, которое пройдет по замкнутой накорот ко обмотке,
Q = jjr = |
= 0,222 К. |
3. В условиях предыдущей задачи индукция внешнего однород ного магнитного поля изменяется во времени по закону
В — Втsin о) t,
8
где Вт= ОД Т, а со — 314 |
1/с. |
Написать выражение э.д.с., |
индуктируемой в катушке. |
Р е ше н и е |
|
По закону электромагнитной индукции
Потокосцепление -фдля каждого момента времени будет выражено так же, как и в предыдущей задаче. Чтобы получить яр = f(t), надо в выражение для яр, полученное при решении предыдущей задачи, ввести вместо В = 0,1 Т величину
В = 0,1 sin at,
т. е. умножить значение яр, полученное при решении предыдущей задачи, на sin со t.
Таким образом,
яр = 0,444 sin ojt Вб,
откуда
cl''
(’. — —•-jjj — — 0,444 •314 cos to l = — 139 cos Lot В.
4. |
Прямолинейный проводник длиной / = |
0,5 м сопротивлени |
|
ем 0,01 Ом и источник энергии с напряжением |
U — 0,5 В соеди |
||
нены |
неподвижными направляющими |
проводниками а — а |
|
(рис. |
1.5), сопротивлением которых можно |
пренебречь. Под дей- |
|
Рис. 1.5
ствием сил магнитного поля с В = 0,7 Т проводник передвигается перпендикулярно полю со скоростью v = 1 м/с. Направление поля показано на чертеже.
Определить: I. Ток в проводнике и составить уравнение бадан- 9.