книги из ГПНТБ / Васильев, С. П. Приближенные методы расчета сооружений на устойчивость и динамику с применением ЭВМ Наири (учебное пособие)
.pdf
МПС СССР
НОВОСИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
С. Г1. ВАСИЛЬЕВ, В. В. КРАСИЛЬНИКОВ
Приближенные методы расчета сооружений
на устойчивость и динамику
с применением ЭВМ „Наири"
(Учебное пособие)
НОВОСИБИРСК, 1974
Пособие предназначено |
для |
студентов строительных |
|
специальностей НИИЖТа. |
В нем кратко изложены не |
||
которые специальные разделы |
матричной |
алгебры, а |
|
также методы приближенных расчетов на |
устойчивость |
||
и динамику стержневых систем: |
метод малых возмуще |
||
ний и метод обобщенных |
координат. В конце пособия |
||
приведены программы расчетов на устойчивость и дина мику, реализованные на ЭВМ «Наири».
Учебное пособие утверждено на заседании кафедры «Строительная механика» 7 марта 1974 г.
Редактор доцент Ф. И. Слюсарчук,
/■ •
•• • •--- . г>- |
•• i |
' |
f |
п
J Ч>
I* 3
С р % ч .0%
6> \ 3{
тТ л
'ч— '
Нобос аварские} инст ит ут инж енеров железнодорожного т рснсоорт а (А/ИРЖТ)
П Р Е Д И С Л О В И Е
При расчете и конструировании сооружений, кроме удов летворения условиям прочности, часто необходима проверка этих сооружений на возможную потерю устойчивости или на развитие недопустимых деформаций под действием динамиче ской нагрузки. «Классический» метод решения этих задач, изучаемый в курсе «Динамика и устойчивость сооружений», приводит указанные задачи к решению характеристического уравнения (обычно трансцендентного). Эта математическая операция резко усложняется с увеличением порядка определи теля, задающего характеристическое уравнение, а поэтому при помощи «классического» метода решены лишь простей шие задачи [1].
В практике инженерных расчетов чаще применяются при ближенные методы, позволяющие рассчитывать сложные ра мы со сложной нагрузкой и со стерж'нями переменного сече ния. В пособии рассматриваются два из этих методов: метод «малых возмущений» А. Ф. Смирнова [2, 3, 4] и метод «обоб щенных координат» В. В. Болотина [5]. Достоинством этих методов является возможность приведения задач об устойчи вости и колебаниях сооружений к отысканию максимального числа для некоторой матрицы, что позволяет определять ми нимальные критические силы и низшие собственные частоты колебаний сооружении. Это проще, чем решать трансцендент ные характеристические уравнения. Кроме того, эти методы можно свести к операциям над некоторыми, просто формиру емыми "матрицами, что дает возможность легко программиро вать указанные задачи для любой ЭВМ и, в частности, для ЭВМ «Наири».
I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
§1. Собственные числа
исоответствующие им собственные столбцы матриц
Как известно, умножение квадратной матрицы А на матри цу-столбец V
A V = C
дает также матрицу-столбец С. В общем случае элементы матрицы С не равны соответствующим элементам матрицы V и линейное соответствие между этими элементами не сохраня ется. Например, пусть
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
1 |
12 |
5 |
1 |
2 |
3 |
1 1 |
7 |
= 5 |
1,4 |
При решении ряда задач, статики, устойчивости и колеба ний сооружений бывает необходимо, имея квадратную матри цу А, отыскать такую матрицу-столбец V, для которой умно жение на А слева равносильно умножению па некоторре чис ло Я, то есть
AV=KV. (Г)
Действительно, для матрицы А предыдущего примера мо жно привести такие матрицы*. Например, пусть
К,= 21IIII Тогда
ЛУ,= |
2 |
1 |
. 1 t |
4 |
|
2 |
3 |
| 2 |
8 |
||
|
Ф' ii
1
то есть AV\ — 4V\.
2
Ниже будет показано, как такие матрицы находятся.
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ио |
|
|
|
|
|
тогда |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
I |
|
|
AV2= |
|
то есть AV2—1V2. |
||||||
|
2 |
3 |
- 1 |
|
- 1 |
| |
|
|
В равенстве |
(1) число X называется |
собственным числом |
||||||
матрицы А (в нашем |
примере это числа 4 и 1), |
а матрица- |
||||||
столбец V называется собственным |
столбцом |
матрицы А (в |
||||||
нашем случае это матрицы |
|
1 |
|
И Vr= |
1 |
|||
W |
|
1 |
||||||
Запишем равенство (1) |
|
2 |
|
- |
||||
в виде |
|
|
|
|||||
|
|
|
( A - X E ) V ^ 0. |
|
(2) |
|||
Это матричное равенство равносильно системе уравнений |
||||||||
|
'011^1+ 012^2+—+ |
= XV\ |
|
|
||||
|
021^1+ 022^2+ —+ а2п°,1 —Хх>2 |
(а) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И + аП2°г ~г |
|
-г a„nvn= Xvn |
|
|||
Перепишем ее в виде |
|
|
|
|
|
|||
|
(an—X)vi+ai2v2+...+ alnvn = 0 |
|
||||||
|
021О1+ (022 X) v2~h...+ ainvn =0 |
( 6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a„ix»i +an2v 2+ |
...+{ann-X)vn=-0. |
|
|||||
Эта система линейных однородных алгебраических уравнений имеет ненулевое решение при.
О ц--X |
й \2 ... |
|
|
|
021 |
й22 |
,Х ... а>п |
0. |
|
a ni |
а п1 ■■■ а пп - X |
|
|
|
Раскрыв определитель, получим |
|
|
||
X" + Vn-\ >•" -1+ ... + V1X+ |
VQ= 0. |
( 3 ) |
||
Это уравнение относительно неизвестного X называется характеристическим уравнением для матрицы А. Его корни называются характеристическими числами — они же собст венные числа матрицы Л.
6
Решая это уравнение |
найдем п значений собственных |
|
чисел. |
|
|
Для собственных чисел матрицы А характерно |
|
|
£ > 4 = Sp,4, |
(4) |
|
i=l |
|
|
П h= D {A ), |
|
|
1=1 |
|
|
Здесь Sp А — след квадратной матрицы А, равный |
сумме |
|
диагональных элементов |
|
|
Sp А = а.ц+а22+ - + а„„.=у V а и . |
|
|
Следует заметить, что |
i -1 |
|
|
|
|
Sp (А+В) =Sp .4+Sp В, |
|
|
но |
Sp .4- Sp В. |
|
Sp (А В) |
|
|
Каждому собственному числу '>ч соответствует свой соб ственный столбец Vjj с точностью до постоянного множителя. Действительно, умножив равенство (1) на число /г, получим
A (kV )= l(kV ),
то есть матрица-столбец kV также является собственной мат рицей-столбцом с тем же собственным значением /.. Множи тель k целесообразно выбирать так, чтобы один из элементов матрицы-столбца был равен единице.
Для определения элементов собственных матриц-столбцов v-tj при известном значении необходимо решить систему совместныхуравнений с п—1 неизвестными. Например, зная величину ^-го характеристического числа, полагаем v„k —1 и на основании толйко что сказанного можно путем исключения
одного из зависимых уравнений системы (б) |
получить |
|||||
|
+«i2%> + ••• ■> |
= - |
aik |
|||
я.-ДД, + |
(а2, ~ >•*) v k2+ .. • |
•“ a.2nv kn = - |
a,k |
|||
dk-1, 1^*1 л (~(а Ь- 1,*-1 |
Vk.k |
1 |
a » -\.nVkn~ dk-\,k' (5) |
|||
dk и, 1‘Uai'T • |
1. h +1 |
Д ) 'd k . h +1 |
|
• -4" Q-k \ 1, n ^ k n |
~ d k \-l ,к |
|
апуОк\ + an2v kn - |
... + (ann - |
Д) vhn = - |
ank. |
|||
l
Решение системы уравнений (5) дает элементы £-й матри цы-столбца, соответствующей характеристическому числу
v *1 v Й2
|
V b |
v kk |
|
|
|
|
|
|
|
Vkn |
|
Проделав подобное решение для всех |
(i—1,2,.... k, ..., п), |
||
получим матрицу собственных матриц-столбцов |
|||
|
1 |
Vn .•• v ln |
|
V = |
v 2l |
1 .. |
|
|
|
|
|
Vnl Vn2 •.. 1
В общем случае нахождение собственных чисел матриц и соответствующих им собственных столбцов связано с громозд кими вычислениями. Однако в большинстве задач на устойчи вость и колебания упругих систем необходимо отыскать лишь максимальное собственное число и соответствующий столбец, что упрощает расчеты.
§2. Методы нахождения максимального собственного числа
исоответствующего столбца
Существует большое число методов нахождения макси мальных собственных чисел и соответствующих им собствен ных столбцов матриц. Для матриц невысокого порядка удобен и прост метод следов [5], позволяющий находить максималь ное собственное число £тах.
Наибольшее по модулю собственное число определяется по формуле [6]
_ , |
Sp Ап + { |
„ |
^'гпах -—' |
оь ’ |
(® ) |
|
Sp л 2* |
|
где £ = 1 , 2 Находим для ряда п (обычно п<П) |
значе |
|
ние ).п,аХ до тех пор, пока |
|
|
8
I ^'тах(Л +I) Диах Ц<) | ^
где е — малое, |
наперед заданное число |
(в дальнейших на- |
|||||||
|
ших примерах принято е=0,01). |
|
|||||||
Пример. Найдем |
7тах для матрицы |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
Для нее |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л2 = |
2 |
1 |
. |
2 |
1 |
6 |
5 |
; Sp Л2 = 6+11= 17. |
|
2 |
3 |
2 |
3 |
10 |
11 |
||||
|
I |
|
|||||||
Л3= |
6 |
5 |
|
2 |
1 |
22 |
21 |
; Sp Л3=65. |
|
10 |
и |
|
2 |
3 |
42 |
43 |
|||
|
|
|
|||||||
Тогда ^max(U= ~ = 3,89, |
что отличается |
от точного значения |
|||||||
Г^тах = 4) на 3%. Однако заранее точное |
значение >.тах неиз |
||||||||
вестно, поэтому степень приближения |
к точному результату |
||||||||
можно оценивать лишь сравнением предыдущего / тах(/!) и по
следующего |
>'max',fc+i) |
с точностью до |
постоянного |
числа е. |
|||||
гг |
' |
- |
|
„ |
SpH' |
|
|
|
|
Поэтому находим |
/.Шах(2) |
|
---77 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Sp Л4 |
|
|
|
|
22 |
21 |
|
1 2 |
1 |
86 |
85 |
Sp Д4=257. |
||
42 |
43 |
|
1 2 |
3 |
170 |
171 |
|
|
|
86 |
85 |
|
|
2 |
1 |
| 342 |
341 |
Sp Л 5=1025. |
|
170 |
171 |
|
|
2 |
3 |
1 682 |
683 |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
л тах(2) |
— 102о |
—о (17 |
|
|
||
|
|
|
— Z |
О,У / . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
257 |
|
|
|
|
Э то собственное число отличается |
от |
предыдущего |
на 2%. |
||||||
Принимаем |
лтах =3,97, что отличается |
от точного |
значения |
||||||
на 0,75%.
Для матриц более высокого порядка применяется реали зуемый на ЭВМ степенной метод итераций [4, 6.1. Одновре менно с вычислением Хшах находится соответствующий этому значению собственного числа собственный столбец V, который сдовлетворяет равенству
A V = k max V.
Сущность степенного' метода итераций заключается в сле дующем. В качестве первого приближения выбирается произ вольный столбец 1/(0) , например,
9
Умножив этот столбец слева на матрицу А, получим
1 |
®1 |
1 |
“»2 |
А ■ |
= |
1 |
Vn |
Приведем последнюю матрицу к виду
1 ®2 ■^2(1)
=Vi
vn vn(\)
Вынесенный за знак матрицы общий множитель щ, есть пер
вое приближение величины |
>-тах • Обозначим его лтах(1) . Тогда |
1 |
i |
1 |
®2fl) |
А ■ |
^-max(I) |
1 |
»«Ч) |
Полученный в правой части столбец, подставляем в левую
часть на место единичного столбца. |
Получим второе прибли |
||
жение |
1 |
1 |
|
|
|
||
А ■ |
У>(1) |
V-i(2) |
|
^чшах(2) |
|
|
|
|
®»(1) |
*V.(2) |
Ит. д. |
Процесс последовательных приближений |
проводится до тех |
||
пор, пока два последних приближения совпадут с достаточной
10