книги из ГПНТБ / Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие
.pdf
Министерство высшего и среднего специального образования РСФ МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ
Кафедра Прикладной математики
Е.М.Воробьев,В.Л,Дубнов, В.П.Маслов
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением)
Рекомендовано Редсоветом инотитута в качестве
учебного пособия
В первой главе поообия изложено решение эадачи Копш
уравнения Гамидьтона-Якоби, овя8Ь решения этой эадачи с ха ристиками-решениями системы Гамильтона,рассмотрен ряд задач литической механики и механики сплошной среды.Материал дан главы полеэен при изучении курса "Механики" на нашем факу кроме того,что он составляет основу метода характеристик волнового уравнения в гл.1У.
Во второй главе обсуждается очень удобное для решени
тических вадач и важное в теоретическом аспекте понятие жевой поверхности.
Третья глава служит теоретической основой (функциональн анализ) рассмотрения обобщенных (разрывных) решений клаооиче
уравнения математической фиэики.
Четвертая глава поовящена вопросам доказательства теоре существования обобщенных решений задачи Коши для волнового нения и методу выделения наиболее разрывной их части (мет
:
характеристик). ; ' данное учебное пособие написано на высоком методическ
не и содержит изложение современной теории рассмотренных в вопросов,ранее отсутствовавшее в учебной литературе. Издание пособия будет полезно для студентов,изучар^х курс "Уравнен математической.физики" на-ФШ1.
Г<5«-. публичная1
ц№Д£1!»Г-..0'ГО зл
XУ
ГЛАВА I . УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ.
§1. Постановка задачи Коши.
Рассиртрим область -О. в |
-мерном евклидовом пространств |
|||
Через |
scafaj-- -х*) обозначим точку в R » |
Рассмотрим функц |
||
uU) |
, определенную в области «О- . Предположим, что и.(* |
|||
дифференцируема в точке х |
. Обозначим через ;yj . |
оовокуп |
||
ность частных производных первого порядка функции U '• |
||||
Ы Й . ' - |
* * U |
Пусть P ( f t v . - |
* . * |
) - |
некоторая функция 2n+ i |
переменного. Уравнением |
первого |
||
порядка в частных производных называют уравнение следующего
F ( « . « . f e M .
"Среди уравнений первого порядка оообое неото занимают
нения, левая часть которых зависит лишь от и не з от самой искомой функции u{x) . Это объясняется тем, что уравнение всегда может быть сведено к уравнению такого вид ствительно, рассмотрим уравнение;
где z £ R |
, f l * ! |
1 |
) |
- искомая функция h + i |
переменного. |
Очевидно, что зто пооледнее уравнение^не содериит явно само |
|||||
комой функции * K x |
i l |
) . |
: Пуоть *И*; *) |
- его решение. |
|
*• Рассмотрим функцию Ul*J |
, определяемую уравнением: |
||||
- 3 -
В силу теоремы о неявных функциях, находим, что функция и£ удовлетворяет исходному общеиу уравнении в частных производн первого порядка. Итак, не ограничивая общности, ны можем ог читься изучением уравнений вида!
Предполагая, что из этого уравнения может быть явно выраже
на из частных производных, через все остальные переменные,
Х/
дим к уравнению вида
|
|
( i ) |
где jc б Rn |
, t C f t , |
§(a;,i) - искомая функция. Уравне |
ние (I) называют уравнением Гамилмона-Якоби. Функцию Я(г,"Ь, где pa(pi,... ,рп^ называют функцией Гамильтона или гамильт аном.
Мы уже видели, что уравнение Гамильтона-Якоби естественн возникает в теории общих уравнений первого порядка с частн изводными. Следует подчеркнуть, что непосредственно к этому у нению мы приходим при рассмотрении ряда задач физики и мех Так, например, оно возникает в задачах динамики системы мат ных точек, в задаче о пластическом кручении стержня, в эад геомерической оптики, гидродинамики и т.д. Ряд задач матема ческой физики, в которых существенную роль играет уравнение мильтона-Якоби. будет рассмотрен в этом курсе.
Уравнение в частных производных ( I ) имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Для выделения одного какого-то шения, характеризующего некоторое конкретное явление, искомую
х/ Неизвестную функцию в уравнении Гамильтона-Якоби традиционно обозначают
- 4 -
функции Si*'*) необходимо подчинить дополнительньш ограничении. Например, можно предположить, что
где S0(*) |
- известная функция, |
т.е. другими оловами, искомая |
||||
функция S(x,t) |
известна нам в некоторый момент времени, а |
|||||
хотим анать ее при воех других значениях |
.. |
|||||
Определение. Задачей Коши для уравнения Ц) нааываетоя зад |
||||||
ча о нахождении функции |
S ( x |
, t ) |
, удовлетворяющей уравнению |
|||
при t > t o |
и удовлетворяющей условию (2) при t ^ t q |
|||||
Ниже мы сформулируем и докажем теорему существования и е |
||||||
ственности решения задачи Коши ( I ) , ( 2 ) . |
|
|||||
§ 2. |
Система уравнений Гамильтона. |
|
||||
Системой Гамильтона, |
соответствующей гамильтониану |
|||||
Н(*<Р»*) > •*£ |
р£fta, t> О , |
называется следующая оистема. |
||||
обыкновенных дифференциальных уравнений:
Решением задачи Коши для системы Гамильтона при 16 [0,1*3 наз вается пара вектор-функций {х>р) , непрерывных на [O/TJ , яв ющихся решением системы (3) при O i t i T и удовлетворяющих усл вию;
0
v._ О
где -с , Р - заданные векторы* В курсе обыкновенных дис^.. гвциалъЕых уравнений докавше
ется следующая георема. |
Пусть Cs? - ограниченная область в н |
и 'С(зЛ))уб R. , "•• Й. * |
- бесконечно дифференцируемая в ок |
рестности области G |
вектор-функцвя о Н компонентами. |
- |
5 - |
Пусть (ya,t°J € (г . Тогда: |
||
I ) 3 5Г> 0 , для t |
0 |
4 1 £ i * + £ решение задачи Коши |
d t |
|
(5) |
|
|
|
|
|
( б ) |
существует, единственно и бесконечно дифференцируемо по ^ 2) интегральная кривая уравнения (5), удовлетворяющая (б
может быть единственный образом продолжена до пересечения границей области йг ; свойство бесконечной дифференцируемоо
•I»
решения по у при этом сохраняется.
Задачи Коши (3) , (*) являются частным случаем задачи
х
(б) ^Л/*£а , у =s(. >p)J . Приведенная теорема позволяет устано
н
условия, при которых решение задачи (5), (б) существует в
т.е. для всех t € £ t |
, °°) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. Напомним, что условие бесконечной дифференци |
||||||||||
мости функции |
|
по всем переменным во всем |
|
п |
||||||
оя*' |
|
|
|
|
' |
„ |
|
• |
||
ранстве К |
не достаточно для существования решения зада |
|||||||||
ши (5), (б), "в целом". Действительно, рассмотрим пример |
|
y/ = s |
||||||||
y(P)=si |
Тогда |
|
• В этом случае решение сущес |
|||||||
ет лишь при O ^ t ^ - i |
, |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
Предложение I . Пусть f£ С |
в К |
, * ~ и |
и пусть |
|||||||
иввестно, |
что если решение у задачи (5), (б) существует пр |
|||||||||
O ^ t ^ T |
, то справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
| ^ ) U F ( T ] |
|
|
|
|
(V). |
||||
называемая априорной оценкой для любого Т |
. Торх" реш |
|||||||||
дачи (5), (б) существует |
"в целом", |
т.е. для всех " t £ |
С0 |
»0 |
*) |
|||||
Доказательство. Пусть G - следующий открытый парадлелепи-
пед в К :
Интегральная кривая уравнения (5), удовлетворяющая (б), может
быть продолжена до пересечения с ; в силу неравенства
одна из точек пересечения принадлежит гиперплоскостям " t = T что и требовалось доказать.
В физических приложениях важную роль играют функции Гам тона вида:
.. г |
i к г |
|
. |
где |
|
Функция Гамильтона (9) не |
|
является бесконечно дифференцируемой при р — 0t |
t поэтому |
||
для^Ьолучения теоремы о существовании в целом решения соотв ствующей задачи Ковш будет полезным следующее утверждение.
Предложение 2. Пусть функция ftyfi) |
прнадлежит |
|
||
при рФО , где |
У*) |
t и имеются следующие япри- |
||
орные оценки решения у задачи (5), (б); |
|
С |
||
W * ) U г(т) |
|
|
|
(7) |
| р С * ) ^ - ( т ) > о |
|
|
|
( 1 0 ) |
при t € С°/П |
|
|
|
|
Тогда решение задачи |
(5), (б) существует для "t |
иг про |
||
межутка. {О, T j . |
|
|
|
|
Доказательство. Аналогии доказательству Првдловениа Х„ Достаточно положить*
Теорема I . Пусть гамильтониан H не зависит от послед
аргумента. Тогда он является интегралом системы (3) .
, Доказательство. Пусть*ДО,р(*)- решение системы (3) (t € (0/r]J
Учитывая, что Н |
не зависит от последнего аргумента, обозна |
Н 1*> РЛ) = НI* > р) |
получаем: |
М ' |
П |
- |
> |
* |
> |
) |
* |
ш , |
Подставляя в ( I I ) производные |
^ |
|
.и |
|
ив системы (3), |
|||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
H ( x l t ) > P ( t i ) a c e i i i t |
при t e ( 0 , T J t |
( I 2 ) |
что ж требовалось доказать.
Многие гамильтонианы математической физики положительно о нородны первой степени по р •'
Н ( * Л Р ) = Ш * , Р ) , V X > 0 |
( 1 3 ) |
||
Очевидно, гамильтониан (9) удовлетворяет (13). |
|||
Теорема 2. |
Пусть гамильтониан |
обладает следующими |
|
свойствами: |
|
|
|
1) функция Н |
бесконечно дифференцируема в тех точках |
||
пространства rv , |
|
.- где второй элемент отличен от нуля; |
|
2) функция |
И |
положительно однородна первой степени по в |
|
рому аргументу; |
|
|
|
- 8 -
3) сущеотвует такое |
что |
причем F - монотонно неубывающая функция и J |
p<~j) ~ °" |
|
Пуоть /^(zOjPo)^0• |
Тогда решение задачи Кошм |
(3), (*) существ |
в целом и единственно.
Доказательство. Предположим, что существует реиение (х,р)
задачи |
(3), (4) на промежутке |
• Обовначин |
|
|||||
Пусть |
X. =jocj = |
|
j,-2-1 |
|
Имеем J силу |
(3): |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
u s ) |
Таккак |
|
|
|
|
|
, то |
(16) |
|
Рассмотрим вспомогательную задачу Ковш: |
|
|||||||
|
&T-F(f>)y |
/>(°)=Ро |
|
(17) |
||||
Положим JD0 2- R.,f>0 |
ъ \ ос" | . |
Очевидно, что |
||||||
|
f>(i> |
t |
f * J |
|
|
|
(18) |
|
и jQ |
- монотонно неубывающая функция. Решение гадачн (17) сущ |
|||||||
вует \ft>0 |
, так как |
joC^) |
- корень уравнения |
|||||
|
A J |
|
/Г» |
/ |
j |
f |
|
|
В силу того, |
что интеграл / |~-- монотонно юзраотает пр |
|||||||
возрастании р |
|
и & т Г |
_ |
^ |
уравнение |
(19) имеет |
||
|
J |
|
J>~o«J |
p C f |
) |
- |
|
|
-га