книги из ГПНТБ / Нейман, Ю. М. Сферические функции и их применение учебное пособие для студентов III курса геодезического факультета

О Г Л А В Л Е Н И Е

Стр.

Предисловие

3

Глава I .

Краткие сведения о радах по ортогональным

функциям..........................

4

§1.

Ортогональные векторы и функции.............................

4

§2.

Рады по ортогональным функциям...............................

8

Глава П.

Общие сведения о сферических функциях.......................

9

§1.

Постановка з а д а ч и ...................................

. . 9

§2.

Однородные гармонические многочлены...............

12

§3.

Определение и структура сферических функ­

ций............................................................................

I ?

§4.

Присоединенные функции Лежандра........................

24

§5.

Свойства полиномов Лежандра..................................

27

Глава Ш.

Разложение по сферическимфункциям.............................

37

§1.

Свойства ортогональности

сферических

функций..................

37

§2.

Теорема сложения для сферических функций..40

§3.

Разложение произвольной функции, задан­

ной на поверхности единичной сферы, в рад

по сферическим функциям.............................................

42

§4.

Явный вид членов рада Лапласа.............................

44

§5.

Кдассм^икация основных сферических функ­

ций...................

46

§6.

Связь разложений по сферическим функциям

с методом наименьших квадратов............................

50

Глава 17.

Разложение по сферическим функциям Ньютонов­

ского потенциала объемных тел ......................................

56

§1 .

Представление потенциала произвольного

притягивающего тела в виде суммы рада,

составленного из сферических функций..............

56

§2 .

Разложение яо шаровым функциям внешнего

потенциала земного притяжения..............................

64

§3.

Некоторые возможности для упрощения раз­

ложения потенциала притягивающих тел ..............

68

Глава 7 .

Применение сферических функций при решении

краевых задач теории потенциала длясферы..............

72

§1.

Общие сведения о краевых задачах теории

потенциала............................................................................

72

§2 .

Первая краевая задача -

задача Д и р и хл е.,..73

§3.

Вторая краевая задача -

задача Н ей м ана.,..77

§4»

Третья краевая зад ач а .............................................

..

ма-Лиувилля,

решение .уравнений методом разделения переменных Фурье

и т . п . ) ,

и в

основу изложения положен поиск системы функций, ор­

тогональных на поверхности единичной сферы. При этом материал

строится

так ,

что основные теоретические результаты формулируются

в виде теорем

(хотя и не все

теоремы доказываются достаточно стро­

г о ) . Это

позволяет студентам

акцентировать внимание на основных

Пусть

задано

некоторое

гг

-мерное

векторное простран-

ство. Определим скалярное

произведение двух

векторов

^

,

£ . ............

/ *.

) и

й (

% ,

.............

)

выражением

^ л

если

( 4 • $ ) = 0* Скалярное произведение

вектора

f

на

себя

называется квадратом его нормы. При этом

пишут

( I . I . 2 )

его длина. Вектор, норма которого равна

I , называется нормиро­

ванным. Совокупность

ГЬ

попарно

ортогональных векторов

Мы видели

при изучении линейной алгебры ту выдающуюся роль,

которую играют

полные ортогональные вообще и ортонормированные

в частности системы векторов е, , ё , ,

. . . ,

е„.

. Сейчас лишь на­

помним, что они могут быть выбраны в качестве

полного базиса

П -

мерного

пространства.

Свойство полноты

состоит в том,что

всякий

П,

- мерный вектор

/

(

,

Д , . . . ,

)

может быть разложен и при том однозначно

по базису, т .е .

пред­

ставлен

в виде

линейной комбинации

фициенты разложения

Л, ,

Я*.

находятся чрез­

вычайно просто, а именно

C

f -£ - J

,

где

I

= I ,

2 ,

. . . ,

П . ( I . I . 4 )

I

е 4|

Ясно, что, если базис

ортонормирован,

то

( I . I . 4 )

еще упро­

щается и принимает вид

& i)

, где

6 =

1 .2 .......... гь.

( I . I . 5 )

ла некоторое

множество

- Л

(отрезок оси, часть

плоскости

или пространства), в котором фиксированы

И.

различных то­

чек

М,

,

М* ,

. . . ,

Пусть в

этих точках

определена

функция

ф ( М ) . Тогда совокупность

значений

=

/

(Mi)

можно рассматривать 'формально как некоторый

ги

-

мерный век­

тор

f

f . ,

.............

< (-)

. Другой функции

^ ( М ) ,

определенной в тех же точках

М,, МЛу —

f

можно поста­

вить в

соответствие

вектор

^

, . . . ,

^

)

по

тому же правилу. Таким образом, заданному множеству функций,

определенных в дискретных точках

М, , М^,

. . . ,

,

ста­

вится

в соответствие множество

П.

- мерных векторов,

состав­

ляющих некоторое векторное пространство^йзмерений. Легко рас­

пространить это понятие на случай, когда точки

М I

заполняют

непрерывно

всю область

£2

.

При этом получим,

конечно,

про­

странство функций о бесконечным числом измерений.

Оно определяет

ся заданием множества

£ 1

и класса

функций

/

(

М ) ,

M e i i

, определенных в

этой множестве. Мы будем рассматривать

функциональные пространства,

заданные отрезком ,двушш_

треалервой

областью

. Я

и классом функций

/ (м ) , М & _Г2

с инте­

грируемым

(по

Риману) в - Я

квадратом, т .е .

~ ^ш ествует

и конечен ..................

<1 . 1 -6 )

' ($> 1Г ) =

o i d l .

( I . I . 7 )

^ )~0.

Две функции называются "ортогональными друг другу, если (

/ ,

-Я

р

а л . 8

)

f

Если

называется квадратом

нормы функции

( М ) .

то функция называется

нормированной

(сравните с

( 1 Л Л )

ж (1 .1 .2 $ .

Система бесконечного

числа функций называется ортогональной

(орто-

иор»®роваяяой) в

f l

, если все функции ее

попарно

ортогональ­

ны (и нормированы) з

S i

. Примером ортогональной

системы

функций яа отрезке является тригонометрическая система

/,

X , Сс'Ь Х/

W

a -2 X ,

Cot 2 X / .

)Хи_

И_Х, Cott-xx,...,

полиномов

а

{ X ) яа

отрезке

[ - 1 , + 1j .

Будем исходить из

сис­

темы степенных функций

I

х,

X*

х* ....

х : ...

х с/ Ч /7. (1.1.3)

Первые дав функции ортогональны .друг другу,

так

кок

jl X

« х

= О .

м

Поэтому

подожки

Н (<)

~ /

и

R C*J ~ х

-

Так как функция

X*"

уже

не

ортогональна к

Р, (* )

, то выберем

з качестве Рл(х )

комбинации первых четырех функций из

( 1 .1 .9 ) , а

неизвестные коэф­

фициенты находятся из условия ортогональности

Ръ

( Л )

ко воем

уже. построенным полиномам

Р» { * ) ,

Р> С *) и

Р з.(х )

. В резуль­

тате получим (проверьте)

Р} ( * ) ~

К * —

J -

х .

полиномы как угодно большой степени. Все

множество их составляет

ортогональную систему функций, а именно -

полиномов на отрезке

[ - 1 , + l j

. Они были исследованы Лежандром в 1783-1785 годах и

Заметим, что описанный процесс ортогонализации,

который мы про­

делали над системой функций ( I . I . 9 ) на отрезке [

- I , + l ]

, можно

проделать над любой линейно-независимой системой функций в

любой об­

S2 . Ряды по ортогональным Дшнкпиям

Пусть задана система бесконечного числа функций

е , ( м ) ,

е * ( м ) ,

. . . , е ^ ( м ) , . . .

,

и . г . п

ортогональная в некоторой области -Г2

.

Может возникнуть

за ­

дача о разложении произвольной функции

/

См )

» М & Q

в

ряд по функциям ( I . 2

. I ) , т .е .

в ряд вида

$(м) = Я, е,(м) + . .. + л,

е„См]+... ^Z i

R.

(1,г-2)

Н » |

где

Л *

- числовые коэффициенты (сравните

с

( I . I . 3 ) ) .

При

ратичном, возможно для любой функции

/

( М ) из заданного клас­

с а , М & £ 2 , то система функций ( 1 . 2 . I )

называется полной. Она

может служить базисом рассматриваемого

пространства. Бесконечно­

ко по количеству функций в системе

вопрос о ее полноте решить нель­

зя . Проблема эта сложная,

и мы не будем ею заниматься.

Если же система

( I . 2 . I ) полна,

то

коэффициенты разложения

Лп.

находятся по формулам,

аналогичным

( I . I . 4

) ,

а именно

Я

(?■

е

■

а

-

I ,

2 , . . .

( 1 .2 .3 )

| е

- Г

где числитель и знаменатель надо

понимать

теперь уже

в смысле

( I . I . 7 )

и ( I . I . 8 ) .

Таким образом,

простота

нахождения коэффици­

-

9 -

ентов разложения сохраняется.

Наоборот, если для какой-либо функция

/ ( М )

известны

коэффициенты разложения

Л

по определенной полной

системе

( I . 2 . 1 ) , то

/ (

М )

можно считать полностью известной.

В теоретической

геодезии

часто приходится иметь дело

с функ­

§1.

Постановка задачи

Мы уже

знаем из

предыдущей главы,

что

наша цель теперь

состоит

в получении системы

функций трех переменных

/, ( х , у ,

н

) ,

f i (х . У»

2 ) , . . . ,

/ « .( х , у , 2

) ,

. . . ,

определенной во

всем

-

10 -

Напомним,

что произвольная функция трех переменных

f

(х , у ,

г

)

называется однородной функцией

п

-г о

порядка

относительно

переменных х ,

у ,

Е

,

если

при любом числе

К

справедливо тождество:

£ (кх , ку, к а ) = к п - $ (х , у , Z

) ;

гг = О, I ,' 2 , . . .

Например,

/ (х , у , г

) = —

х

--------

есть

однородная

функция нулевого

порядка,

т .к .

к К ■

/С г

функция вида

/

(х ,

у ,

г

) =

х3

-

5 ху г

+ у 3

-

2 3

+

Зх2у

есть , очевидно, однородная функция (а именно, полином 3-ей сте­

пени) порядка три.

Далее,

дважды дифференцируемая функция

/

(х ,

у , г

)

называется гармонической,

если

суш а ее

вторых частных произ­

водных равна нулю, т .е .

3 l L + X L ^ X ± = п

Э / 1

' Ы

U •

(2 .1 ,1 )

Дифференциальное уравнение ( 2 . I . I )

носит имя Лапласа.

функция называется сферической

(в частности -

объемной

сфе­

рической. или, что то же самое, шаровой)

гг

-го

порядка,

если она гармоническая и однородная

П -

го порядка.

Пусть

LL

=

/

(х ,

у ,

Z

)

есть одна из таких объемных

сферических (шаровых) функций

п. -то порядка.

Если ее

выра­

зить

через

пространственные полярные координаты

f i > 6

А.

»