Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рассудов, В. М. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

3.96 Mб

Скачать

☆

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

Саратовский политехнический институт

В.М. Рассудов,

В.П, Красюков, Н. Д. Панкратов

Н Е К О Т О Р Ы Е	З А Д А Ч И
т е р м о у п р у г о с т и	п л а с т и н о к
и п о л о г и х	о б о л о ч е к

Издательство Саратовского университета 1 9 7 3

УДК 539.377 Р24

Некоторые задачи термоупругости пластинок и поло гих оболочек. Р а с с у д о в В. М., К р а с ю к о в В. П., П а н к р а г о в I I . Д. Изд-во Саратовского ун-та, 1973.

Вмонографии рассматриваются задачи равновесия пластин

ипологих оболочек, нагретых до температуры, линейно изме няющейся гго толщине. Исследование деформированного и на пряженного состояния ведется с учетом уравнения теплопро водности. Для решения поставленных задач применяются три гонометрические ряды в комбинациях с многочленами и дру гими функциями. Приводятся числовые расчеты для различных случаев закрепления краев. Дается решение задач теории пла стин и пологих оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. Исследовано влияние деформации сдвига на прогиб нагретых пластин. Задачи решаются в линейной постановке. Рассмотре ны также некоторые задачи термоустойчивое™ пластин и пологпх оболочек.

Иллюстр. 13, табл. 34, библ. 37 наименований.

2—4—2

34—72

(6) Издательство Саратовского университета, 1973.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пологие оболочки и пластинки находят широкое приме нение практически во всех отраслях современной техники. Часто такие конструкции помимо воздействия силовых нагру зок испытывают значительный нагрев, что вызывает дополни тельные напряжения. Поэтому расчеты на прочность пологих оболочек и пластинок необходимо проводить с учетом тепло вых воздействий.

В настоящее время наметились два пути исследования влияния нагрева на деформированное и напряженное состоя ние упругих тел. Первое направление охватывает круг за дач, когда температура тела считается известной. При вто ром подходе исследование термоупругого равновесия тела начинается с решения уравнения теплопроводности. Такой

одход к решению термоупругих задач является более обонованным, однако при этом возникают дополнительные ма гматические трудности.

Вопросу расчета нагретых пологих оболочек й пластинок посвящено много исследований, опубликовано значительное число статей и монографий, из которых необходимо отметить [2], [3], [6], [8], [14], [23], [25], (26], [28], [29], [31], [37].

Однако ряд важных задач термоупругости пологих обо лочек и пластинок требует дальнейших исследований.

В предлагаемой работе даны решения некоторых новых задач по исследованию влияния температурного поля на на пряженное и деформированное-состояние пологих оболочек и пластинок, причем исследование начинается с определения

закона распределения температуры на основании решения уравнения теплопроводности в соответствии^ с граничными температурными условиями. При решении задач применяют-, ся тригонометрические ряды, которые нашли широкое приме нение при расчете пологих оболочек и пластинок, находя щихся под воздействием силовых нагрузок [27], [36].

В первой главе даны два метода решения тепловых и термоупругих задач прямоугольных 'пластинок, исследовано влияние постановки ребра жесткости и деформации сдвига на их .напряженное и деформированное состояние при различ ных условиях на краях.

Во второй главе эти два метода обобщаются на решение тепло-вых и термоупругих задач пологих оболочек различных типов: двоякой кривизны, цилиндрической и оболочки посто янного кручения.

Втретьей главе рассмотрены некоторые вопросы термоустойчивостн пластинок и пологих оболочек.

Воснову монографии положен материал исследований авторов.

Глава первая

РАСЧЕТ НАГРЕТЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК

§ 1. Основные положения теории теплопроводности

Рассмотрим нагретое упругое тело, отнесенное к декартовой системе координат. Температура в любой точке этого тела Э(л', у, z, t) при отсутствии источников тепла внут ри тела, как из*вестно, удовлетворяет следующему дифферен циальному уравнению теплопроводности

' dt

дх { дх ) ' ду \ ду )

dz \ dz )

;

Здесь с — удельная		теплоемкость,		f—удельный вес,		к —
коэффициент тепл опроводности.
Для постоянных с,		7, Я, уравнение		(1.1)	принимает более
простой вид
	- ^ - = a V 2 6 ,				( 1 . 2 )
	at
где а —	коэффициент		температуропроводности,
		дх2	ду* 1	dz*
В дальнейшем рассматриваются только стационарные тем
пературные	поля, для	которых		= 0 , .а	уравнение	(1.2)
			dt
принимает вид
		v 2 e = o ,			(1 .	3 )

Для определения закона распределения температуры в точках тела необходимо решить дифференциальное уравнени (1.3) с соблюдением температурных условий ,на ограничи вающих тело поверхностях.1 Температурные условия на по верхностях тела обычно задаются следующими тремя спосо бами:

1. На поверхности тела может быть задано распределение

температуры
Q = f(x,	у, г)
2. На поверхности тела	может быть задан тепловой по
ток своей плотностью

!q=f(x,y,z)

3.На поверхности тела может быть задан закон теплооб мена с окружающей средой. Принимая закон Ньютона, гра

ничное условие записывается в этом случае в виде

9 = - х ^ - = х ( е - 7 ) ,

дп


где	б — температура			поверхности		тела,	7' — температура ок
ружающей		среды,		х — коэффициент			теплоотдачи,			—
производная по нормали к поверхности.										дп

	§ 2. Основные допущения и уравнения
	теории нагретых пластинок
Рассмотрим			прямоугольную			пластинку		со	сторонами
а и	Ь, находящуюся			в	температурном		поле,	при		отсутст
вии	внешних		силовых		нагрузок.	Координатную			плоскость
вху	совместим		со срединной плоскостью пластинки,							напра
вив оси ох		и оу	в направлении ее сторон.
	За счет	нагрева		в пластинке ' возникнут так					называемые

чисто тепловые деформации, компоненты которых определя ются формулами

е ; =	ав,	* ; у	=	о,
в; =	« 9 .	< «	=	°>	(2. 1)

где а—коэффициент линейного теплового расширения,

При неравномерном нагреве чисто тепловые деформации вызовут в пластинке тепловую, упругую деформацию, компо ненты которой обозначим

'		е*	е*	е*	е*		е*	е*
		д)	>')	z>	ху>		xzi	уг-
Таким образом, при неравномерном нагреве компоненты
полной деформации ех,			еу,	ez,	еху,		exZ,	еу2 будут	равны	соот
ветственно их суммам:
ех =ех+		ех,			е х у	—		еху+еху,
еУ=	?у+е'у,				exz	=	< , +	е Х 2 ,	(2.	2)
&2	=6Z	-\-6Z>			6yz		By	-\-6yz-

Согласно гипотезе Франца Неймана компоненты тепловой упругой деформации связаны с компонентами напряженного состояния оЛ-, Оу, а2, х чхг, х обычными соотношениями за кона Гу«а, а компоненты полной деформации связаны с пе

ремещениями

точек

пластинки CJX, Uy,

обычными

соот

ношениями Коши [24].

На основании этого запишем:

• 1°х

еху

—

хху>

• [ ° у -

( 2 . 3)

ву =

Bxz

(}ХХ*'

•laz~

e y

—

*yZ>

_dUx

- д и >

дх

E *

~ J Z

(2 . 4 )

диу

dUx

dUz

ХУ

л*

rin '

X z

дх

d U

У 2

dz '

дх

дг'

~ ду

Здесь Е — модуль упругости,

v — коэффициент

Пуассо-

на, и —

2 ( l + v )

модуль сдвига.

•

При исследовании нагретой пластинки, ка« обычно, при нимаем гипотезы Кирхгофа-Лява, согласно которым дефор

мациями ez, ех2,	eVz пренебрегаем по сравнению с ех,		еу,	еХу.
Полагая e f =0,	ех2-О,	еу2—0, из соотношений (2.4)	имеем
				7-

dUz = 0"	dU^ +	й ^ = 0 )	^ y	. _ ( _ _ ^ £ = 0
dz	dz	dx	dz	dv

(2- 5)

Интегрируя первое соотношение (2.5), получаем

Ug = w(x,y),

(2. 6)

где zet-(x, у) представляет собой прогиб срединной плоскости пластинки.

Интегрируя два оставшихся соотношения (2.5) с учетом (2.6), имеем

dw \| ,	ч г ,	dw	( 2 . 7 )
Ux=-g~+a(x,y), +и(х,у),	U,=Uy=--8-^*r+v(x—ltj),
где, как не трудно заметить, и(х, у)		и v(x,	у) —перемещения

точек срединной плоскости пластинки соответственно в на

правлении осей ох

и оу. .

Предполагая

в дальнейшем

нерастяжимость

срединной

плоскости,

полагаем

u — v = 0.

Тогда

формулы (2.7)

примут

вид

г,

и х

- в

(2. 8)

—

иу

- .

U у =

— с

— -

Подставляя

дх

второе

оу

четвертое

соотноше

(2.8) в

первое,

ния (2.4), имеем

ex=-z—~-,

d*w

e y

a7w

eXv

„

d2w

/ r >

п ч

dx2

^ - z - ~ ,

= -2z——.

(2. 9)

•

dy-

•

dxdy

Так

как exZ

= ехг

= 0,• eyZ

eyz—0,

то

из

(2.3)

следует,

что ^

= 0,

т у г

т=0. Тогда, как

'показано, в

ПЗУ напряжение

az=0.

Из соотношений

(2.3) с учетом

(2.1), (2.2) находим ос

тальные напряжения

а —

k v - f ^ y - a ( i + v ) e ] ,

- -

(2.

оу^т±^[еу+^ех~а(\-^)в),

В дальнейшем будем считать, что температура 0(х, у, z) изменяется по толщине пластинки h по линейному закону .

e(x,y,z)

= -jbQ{x,y),

(2. 11)

где Д0(х, у)—называется перепадом температуры по тол щине. Считаем также тепловые и механические характерис тики «е зависящими от температуры.

Как следует из уравнения теплопроводности	(1.3),	пере
пад температуры Д6 удовлетворяет уравнению
у 2 ( Д в ) = 0.	(2.	12)

Здесь уже У а = | ? + - | Г .

В дальнейших исследованиях перейдем от напряжений к статически эквивалентным им моментам согласно формулам

А	А	А
Мх — §'oxzdz,	М2= J-oy zefe,	Н= J T.xyzdz.	(2. 13)

Величины Mi, М2 называются изгибающими моментами, ве личина Н — крутящим моментом. Проводя интегрирования в (2.13) с учетом (2.10), (2.11), (2.9), находим

М{ — — D	d2w		d2w
М{ — — D		U	v _
	дх*	I	ду
-D	d2w	I	.d2w
-D

Н = -

6 дхду

+ J L ( 1 + V )	Д	e
h
+ — o + v ) a	e	(2. 14)

где D ^ 12(1 — v2)

Переходим теперь к выводу условий равновесия пластин ки. Для этого выделим бесконечно малый элемент hdxdy. Перерезывающие силы и моменты, действующие на элемент, показаны на рис. 1.

Приравнивая сумму проекций всех сил на ось oz и суммы

моментов относительно	осей ох и- оу нулю, удерживая члены
2-го порядка малости,	после		сокращения на dxdy,	получаем
	dN2	=	0.
дх		=	0.
дх
дМ\	дН		N , = 0 ,	(2. 15)
дх			N , = 0 ,	(2. 15)
дх

1 / 161 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ