книги из ГПНТБ / Щукин, А. Н. Теория вероятностей и ее применение в инженерно-технических расчетах

А. Н. Щ у к и н

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ИЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

ВИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ

РАСЧЕТАХ

\

к

/ V У / 4 7

МОСКВА «СОВЕТСКОЕ РАДИО» 1974

В книге дается краткое изложение основ теории вероятностен, описываются методы оценки достоверности и надежности выводов, делаемых на основе испытании современных сложных технических комплексов и их элементов. Рассматриваются вопросы качества, надежности, эффективности и точности таких комплексов, а также влияния различного рода помех на их функционирование. На ряде примеров показан подход к решению подобных задач.

Книга предназначена для инженеров, работающих в области ра­ диоэлектроники и приборостроения, а также для студентов вузов.

24 рис., 20 табл. бпбл. 34 назв.

Редакция радиотехнической литературы

© Издательство «Советское радио», 1974.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В течение последних 15— 20 лет теория вероятности прочно вошла в .практику современных производствен­ ных, технологических, эксплуатационных и экономиче­ ских исследований и расчетов. Она стала основой таких областей науки и техники, как теория надежности, тео­ рия связи, теория информации и ряда других. Разви­ ваясь на почве анализа статистических данных, теория вероятностей явилась той научной базой, которая позво­ лила перейти от эмпирических закономерностей,и ин­ туитивных умозаключений к строго обоснованным прог­ нозам.

Цель книги — дать в сжатом виде некоторые наиболее часто встречающиеся на практике положения теории вероятностей и способы применения, чтобы позволить

Разумеется, охватить все многообразие применений теории вероятности в современной инженерной практи­ ке в одной небольшой книге невозможно. Приведенные в ней примеры и расчеты, взятые из различных обла­ стей, по возможности доведены до конкретных резуль­ татов, чтобы читатель мог воспользоваться рассужде­ ниями, на основе которых были получены эти резуль­ таты, и распространить их на ряд других иногда доста­ точно отдаленных областей.

Несмотря на стремление автора упростить изложе­ ние, книга все же содержит довольно много математиче­ ских выводов и формул. Это сделано для того, чтобы читатель имел возможность проследить всю цепь дока­ зательств и соображений, касающихся бсновных поло­ жений теории вероятностей и не принимать эти положе­ ния механически, «на веру».

Ряд важных вопросов теории вероятностей, и, в част­ ности, теория случайных процессов, представляющих интерес для менее широкого круга читателей, сознатель­ но не включен в излагаемый материал.

Значительная часть вопросов, содержащихся в этой книге, была изложена автором в работе «Теория вероят­ ностей и экспериментальное определение характеристик сложных объектов» [24]. Однако развитие применений теории вероятностей в инженерной практике привело к необходимости пересмотреть заново эту работу.

3

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СРЕДНИЕ И СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ

с л у ч а й н ы х в е л и ч и н , д и с п е р с и я

Теория вероятностей находит широкое применение в «ауке, технике и народном хозяйстве. Одной из глав­ ных задач, которые ставятся при этом перед теорией вероятностей, является прогнозирование событий, физи­ ческих явлений, а также свойств тех или иных объектов. Это прогнозирование 'базируется на предварительно по­ лученных опытных данных, статистических материалах, а также на результатах теоретических рассуждений, и расчетов, которые в конце концов также резюмируют накопленный опыт.

Характерной особенностью прогнозирования,основан­ ного на применении положений теории вероятностей, является связь между надежностью предсказания собы­ тий или свойств, с объемом тех данных, на базе которых основан прогноз. Ввиду этого, наряду с определением вероятности наступления того или иного события или на­ личия тех или иных свойств у объекта, возникает необхо­ димость оценить надежность сделанного прогноза, опре­ делить то, что называется его доверительной вероятно­ стью. Действительно, имея результаты в одном случае сотен, а в другом — десятков тысяч наблюдений или из­ мерений, можно в результате их обработки получить одно и то же значение вероятности наступления какоголибо события или появления какого-либо свойства объекта. Однако доверительная вероятность, предсказа­ ния в первом случае, будет значительно меньше, чем во втором.

Кроме количества данных, которые кладутся в ос­ нову выводов, получаемых с помощью теории вероят­ ностей, большое значение для правильности делаемых заключений имеет качество этих данных. В частности, если эти данные получены при изменяющихся внешних условиях, причем учесть эти изменения трудно или не­ возможно, то выводы могут оказаться недостоверными или даже ошибочными. Например, вероятность появле­ ния бракованных изделий на производстве, основанная

4

На обработке предшествующего статистического матери­ ала, может оказаться совершенно иной после замены оборудования, смены обслуживающего персонала или переноса производства тех же изделий с одного пред­ приятия на другое. Бывают случаи, когда статистиче­ ский материал внешне, казалось бы, вполне пригодный для обработки и прогнозирования, «а самом деле оказы­ вается для этого совершенно непригодным. Обращаясь снова к примеру брака на производстве, можно указать, что, если отдельные изделия оказываются негодными по разным признакам, причем количество забракованных изделий по каждому из этих признаков 'Невелико, то, хотя суммарный объем статистического материала мо­ жет быть и значительным, прогнозирование на его ос­ нове крайне ненадежно.

Случайные величины, с которыми приходится встре­ чаться в теории вероятностей и ее приложениях можно разбить на три категории:

Дискретные величины, значения которых могут быть выражены целыми числами. К ним относятся, например,

число пассажиров, перевозимых в данном городе на данной линии метро в тот или иной день, месяц, год; число определенных изделий, продаваемых ежедневно; число бракованных изделий в данной партии; число рас­

и вероятность появления каждого из них может быть выражена в виде конечной величины.

Величины, изменяющиеся плавно. К ним относятся,

например, скорости отдельных молекул или атомов газа; величины промаха при стрельбе в цель; величины откло­ нений размеров того или иного изделия от среднего или заданного значения ит. п. Вероятность данного конкрет­ ного значения той или иной величины равна нулю и можно определять только вероятности того, что эти значения лежат в данных конкретных пределах.

К третьей категории событий относятся такие, где речь идет о наличии или отсутствии определенных собы­ тий при их наблюдении на фоне случайных величин. Сюда относится, в частности, обнаружение сигналов, с помощью которых передается информация, среди слу­ чайных помех. В таких случаях существует вероятность того, что в результате действия случайной помехи один

5

сигнал может быть принят за другой, помеха может быть воспринята как полезный сигнал, несущий инфор­ мацию, и наоборот, полезный сигнал может оказаться подавленным помехой. Анализ этой категории событий, с помощью методов теории вероятностей получил в по­ следнее время большое распространение 'благодаря раз­ витию теории информации и ее приложений к решению практических задач.

Подход к определению вероятностей событий всех трех указанных категорий будет изложен в дальнейшем. Сначала, однако, необходимо остановиться на некоторых основных положениях и определениях, относящихся

ктеории вероятностей.

1.Вероятность Р любого события или наличия опр деленного свойства- у данного объекта, которое также можно рассматривать как событие, может быть выраже­ на положительным числом, лежащим между нулем и единицей.

Если событие невозможно или объект не может обла­ дать каким-либо свойством, говорят, что вероятность такого события или наличия данного свойства объекта равна нулю (Р = 0). Р1аоборот, если данное событие со­ вершенно достоверно или известно, что данное свойство органически присуще объекту, то вероятность такого события или наличия данного свойства у объекта равна единице ( Р = 1 ) .

Иногда вероятность события бывает известна зара­ нее. Например, вероятность того, что при падении брошеной монеты наверху окажется герб пли надпись, оди­ накова и равна V2; вероятность того, что при падении куба наверху окажется одна из шести его граней, равна 7е и т. д.

Однако на практике приходится обычно решать об­ ратную задачу, отыскивая вероятность из опыта. При этом предполагается, что существует одно единственное значение вероятности, и если опыт дает нам значения, отличающиеся друг от друга, то это объясняется огра­ ниченным числом опытов. Чем больше число опытов, тем ближе найденная из них вероятность к своему дей­ ствительному значению.

Приближение вероятности к ее действительному зиа-

6

няются неизменными. Например, нельзя получить правильное значение вероятности наличия тех или иных свойств изделия путем обработки статистических мате­ риалов, полученных при испытаниях отдельных образ­ цов, изготовленных на различных стадиях освоения про­ изводством без учета происходивших при этом измене­ ний самих условий.

2. Вероятность появления нескольких различных несовместимых друг с другом исходов событий или результатов испытаний равна сумме вероятностей каж­ дого такого события или результата.

Например, если вероятность того, что снаряд откло­ нится от цели на расстояние, лежащее между 10 и 20 м, есть Р(1), а вероятность того, что он отклонится на рас­ стояние, лежащее между 20 и 30 м, есть Р (2), то веро­

Поэтому, если известны вероятности всех возможных исходов событий, всех возможных результатов испыта­ ний или всех возможных качеств объекта, сумма этих вероятностей, т. е. вероятность любого исхода события, любого результата испытания или любого качества дан­ ной категории (цвет, плотность, скорость и т. п ) при их независимости, равна

бытий, результатов испытаний или качеств объекта рав­ на произведению вероятностей каждого из них, взятого

7

каждого элемента для того, чтобы весь комплекс обла­ дал вероятностью исправного действия, Л ;= 0,9 (из де­ сяти комплексов в среднем один неисправный), выразим вероятность Рэ через обратную величину, т. е. через вероятность отказа Р0 = 1—Рэ- Тогда Л < = (1 —Ро) 100О0= = 0,9. Разлагая в ряд выражение в скобках и пренебре­

мых производством, достаточно трудно, особенно прини­ мая во внимание известный риск их повреждения при установке в аппаратуру. Поэтому единственным путем обеспечения приемлемой надежности современных слож­ ных объектов являются периодическая проверка и конт­ роль исправного действия этих объектов.

Одним из возможных путей повышения надежности сложных комплексов является дублирование всех или наименее надежных элементов, чтобы при выходе из строя любого из них автоматически мгновенно подклю­ чился второй. В некоторых случаях вместо автоматиче­ ского подключения возможна просто параллельная ра­ бота обоих элементов. Такая мера, безусловно, значи­ тельно повышает надежность работы объекта.

Действительно, если вероятность выхода из строя одного элемента равна Р0(1), то вероятность Ро(2) вы­ хода этого элемента и его дублера Р0(2) ={Л>(1)]2.

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру нахо­

автоматической замены каждого вышедшего из строя исправным, равна

ние, или резервирование, всех элементов объекта делает его громоздким и увеличивает его стоимость. Поэтому дублирование как мера повышения надежности приме-

9