книги из ГПНТБ / Салахитдинов, М. С. Уравнения смешанно-составного типа

А К А Д Е М И Я Н А У К У З Б Е К С К О Й С С Р

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ нм. В. И. РОМАНОВСКОГО

М. С. САЛАХИТДИНОВ

УРАВНЕНИЯ СМЕШАННО­ СОСТАВНОГО ТИПА

ИЗДАТЕЛЬСТВО .ФАН* УЗБЕКСКОЙ ССР

Ташкент— 1974

В В Е Д Е Н И Е

Как известно, в теории дифференциальных уравнений с частны­ ми производными важную роль играет деление этих уравнений по типам. В настоящее время хорошо разработана теория задач, кор­ ректно поставленных для уравнений данного типа — эллиптическо­ го, гиперболического или параболического.

Начиная с двадцатых годов нашего столетия ведутся интенсив­ ные исследования проблемы уравнений смешанного типа, т. е. таких уравнений, которые в одной части области их задания являются эллиптическими, а в другой — гиперболическими с параболическим вырождением на общей границе этих двух частей. Это и понятно, так как уравнения смешанного типа появляются при исследовании конкретных задач большого теоретического и прикладного значе­ ния.

За последние годы довольно подробно изучен ряд задач как для модельных уравнений Трикоми

Уи хх + и у у = °

и Лаврентьева—Бицадзе

uxx + sgnyuyy = 0,

так и для более общих уравнений указанного типа. Задача Трикоми и некоторые другие смешанные задачи для указанных выше урав­ нений различными методами изучены в работе А. В. Бицадзе [3]. Когда в каждой точке области своего задания дифференциальное уравнение с частными производными наряду с действительными характеристиками имеет и комплексные, то говорят, что рассматри­ ваемое уравнение является уравнением с о с т а в н о г о типа.

Впервые краевые задачи для таких уравнений рассмотрены Адамаром [65, 66]. В качестве модельного уравнения составного типа им были предложены уравнения

3

d-

дхду Au = О,

где Д — оператор Лапласа.

Можно указать на целый ряд работ, в которых рассматривают­ ся уравнение (1) и более общие уравнения составного типа. Напри­ мер, О. Сёстранд [72] краевую задачу для уравнения (1) исследует в следующей постановке: требуется найти регулярное в единичном круге К решение уравнения (1), принимающее наперед заданные значения на границе круга К и на вертикальном диаметре.

Доказательство существования решения этой задачи сводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое в свою очередь решается методом последовательных приближений. В другой работе Сестранд [73] эту задачу рассматривает в более об­ щей области, чем круг, с гладкой границей.

Сформулированная выше задача с небольшим видоизменением метода доказательства существования решения рассмотрена также Л. Каттабриджа [56]. Им изучены и краевые задачи в единичном круге для уравнений четвертого и пятого порядков составного типа следующего вида:

Задача, рассмотренная для уравнения (2), заключается в нахожде­ нии решения по заданным его значениям на границе круга и вер­ тикальном диаметре и значениям нормальной производной на вер­ тикальном диаметре. В случае уравнения (3) постановка задачи от­ личается от предыдущей тем, что здесь значения нормальной произ­ водной задаются не на вертикальном диаметре, а на всей границе области.

Следуя Сёстранду, Каттабриджа сводит решения упомянутых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и, при­ меняя метод последовательных приближений, доказывает сущест­ вования решений этих уравнений.

Р. Девис [60] показал, что общее линейное уравнение третьего порядка составного типа с двумя независимыми переменными мож­ но привести к каноническому виду, главная часть которого будет

иметь вид Ди. Для такого приведенного к каноническому виду

уравнения в этой же работе [60] рассмотрена одна краевая задача, заключающаяся в том, что на границе области, где рассматривает-

ди

ся уравнение, задаются значения ^ - , а н а некоторой гладкой кри­

вой, соединяющей Две граничные точки и лежащей целиком в об­ ласти,— значения искомого решения. Однако задача в такой поста­

4

новке является искусственной, так как на границе задается специ-

шение.

В последующих работах, где рассматриваются уравнения сос­ тавного типа, условие, заданное внутри области, заменяется неко­

гладкой кривой Г с донцами в точках А\ и А% лежащей в полуплос­ кости x> 0 . Задача, исследованная Девисом, состоит в том, что зна­

чения искомой функции задаются на Г -M i Л2, а значения ^ —

на А\ А2. При этом рассматриваемая задача довольно сложным пу­ тем при весьма жестких условиях, наложенных на кривую Г и гра­ ничные данные, редуцирована к задаче, исследованной Сёстрандом.

Более простой способ решения этой и аналогичной задачи в ме­ нее ограничительных условиях на Г и граничные данные указаны Г. Д. Джураевым [10, 11].

Краевые задачи для уравнений составного типа высшего поряд­ ка с двумя независимыми переменными рассмотрены Г. И. Эскиным

[49—51].

Ж- Ц- Бароззи [53] исследовал краевые задачи, аналогичные указанным выше, для многомерных уравнений третьего порядка со­ ставного типа

рядка гиперболического типа с двумя независимыми переменными

(см., например, [19, 55]).

Следует отдельно отметить работы [61, 68], в которых речь идет о прикладной важности уравнений третьего порядка в 1связи с изу­ чением решений уравнений четвертого порядка с малым парамет­ ром при старших производных.

Заметим, что в указанных выше работах рассмотрены только уравнения составного или гиперболического типа без каких-нибудь вырождений.

В приложениях встречаются и такие уравнения, которые в рас­ сматриваемой области являются как смешанными, так и составны­ ми [57, 59]. Уравнения такого типа естественно называть с м е ша н - н о-с о с т а в н ы м и.

5

В работе [5] предложен и исследован ряд задач для модельного уравнения смешанно-составного типа

(4)

А. В. Бицадзе [4] сформулировал другие корректно поставленные задачи для уравнения (4).

Краевые задачи, рассмотренные в работе [5] и сформулирован­ ные в [4] для модельного уравнения смешанно-составного типа

a J - (“ * r + s g n y « ,y) = 0

с применением аппарата теории функций комплексного переменно­ го, исследованы Т. Д. Джураевым [12, 13]. После этих статей поя­ вился целый ряд 'работ [6, 9, 14, 15, 17, 18, 25, 28—38, 42, 52, 71], в

которых рассматривались различные уравнения составного и сме­ шанно-составного типа.

Внастоящей монографии ставятся и исследуются краевые зада­ чи для уравнений третьего порядка смешанно-составного типа с од­ ной и двумя линиями вырождения, а также для некоторых простей­ ших уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа.

Впервой главе дается классификация уравнений третьего по­ рядка с двумя независимыми переменными, линейных относительно старших производных, и указываются канонические виды таких уравнений. Кроме того, приводится общее представление решений модельного уравнения смешанно-составного типа.

Во второй главе ставятся пять краевых задач для уравнения (4).

щими на ВС и АС соответственно. Эллиптическую (составную) и

6

раниченной контуром 0С\СС20, требуется определить регулярное решение и(х, у) уравнения (4), принимающее наперед заданные (непрерывные) значения на характеристиках ОС\ и ОС2 и на от­ резке ОС.

З а д а ч а V (смешанная) заключается в нахождении регуляр­ ного решения уравнения (4) в смешанной области D по его гранич­ ным значениям на дуге а, характеристиках ОС,, ОС2 и на CN.

Единственность решения задач I и II доказывается на основа­ нии известных свойств (принципы экстремума) решений эллипти­ ческих уравнений, а существование решения — методом интеграль­

ных уравнений.

Решение задачи III выписывается в явном виде.

Задача IV, исследование которой является наиболее трудным,

комая функция 8(х) непрерывны при 0< л :^ 1 . С помощью обычных способов итераций [70] и последовательных приближений доказы­ вается, что уравнение (5) всегда имеет и притом единственное ре­ шение.

Для доказательства единственности решения смешанной задачи V применяется метод, основанный на принципах экстремума реше­ ний эллиптических уравнений и задачи Трикоми, а существование решения доказано методом интегральных уравнений.

7

ничейную отрезком А (— 1,0) 5(1,0) оси х-ов и гладкой кривой о. лежащей в полуплоскости у > 0 и опирающейся на ось х-ов в точ­ ках А и В. Предположим, что каждая прямая у —с, O^cC/z, пересе­ кается с кривой а в других точках, а прямая y = h имеет единствен­ ную общую точку N (точку касания) с а.

Пусть D2 обозначает область, ограниченную отрезком АВ оси х-ов и двумя характеристиками АС и ВС уравнения (6), выходящи-

'т + 2 |2,Л1+Г

ми из точки С 0, - ( ^ )

Через D будем обозначать совокупность областей D i и D2 вмес­ те с открытым отрезком АВ. Под ОСi и ОС2 будем понимать харак­ теристики уравнения (6), исходящие из точки О и пересекающиеся

сВС, АС в точках С] и С2 соответственно.

За д а ч а С. Требуется определить в области D регулярное ре­ шение уравнения (6), удовлетворяющее краевым условиям

И|а+ЛС ~ />

ди

дп NAC ?•

I— ,1 —

и\ос, ~ Фр и\ос, — V2« дп

ОС,

Кроме этих смешанных задач, в каждой из областей D, н D2 по­ ставлено и изучено по две граничные задачи. Решения задач, рас­ смотренных в области найдены в явном виде.

Единственность решения задач С, С* и поставленных в области D\ задач доказывается с помощью известных принципов экстрему­ ма Заремба — Жиро и задачи Трикоми. Доказательство существо­ вания решения этих задач проводится методом сингулярных инте­ гральных уравнений. При этом используются с некоторыми допол­ нениями и обобщениями результаты теорем существования реше­ ний как самой задачи Трикоми, так и ее обобщения в постановке Геллерстедта. Следует заметить, что характеристические части по­ лученных сингулярных (эквивалентных рассматриваемым задачам) интегральных уравнений отличаются от характеристической части обычных сингулярных уравнений. Это обстоятельство вызвано на­ личием неподвижной особенности первого порядка в точке А. По­ этому из-за сложности ядер этих уравнений значительные затруд­ нения возникают при выделении именно такой особенности. После того как уже выделена эта особенность, для регуляризации полу­ ченных сингулярных интегральных уравнений применяется метод

8

Карлемана — Векуа (указывается также, что можно воспользовать­ ся методом, основанным на теории автоморфных функций) с не­

большим видоизменением.

В конце гл. III указывается на возможность исследования изу­ ченных выше задач в различных обобщенных постановках и иссле­ дуется одна смешанная задача для уравнения (6) в случае беско­

нечной области.

В четвертой главе рассматривается краевая задача для уравне­ ния смешанно-составного типа с двумя линиями вырождения

Пусть Q — область плоскости переменных х, у, ограниченная глад­ кой кривой а с концами в точках А (1,0) и .6 (0,1), которая располо­ жена в области х > 0, у > 0, и характеристиками ВС:х—у = — 1,

CD:x + y = 0, AD:x—у = 1 уравнения (7); СО — отрезок----- ^

характеристики CD.

Краевая задача дС, изученная в этой главе, заключается в на­ хождении регулярного решения уравнения (7) в области Q (при хф О , у =j=0), удовлетворяющего условиям

В этой же главе исследована краевая задача, аналогичная задаче V для уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа,.

В гл. V рассматриваются в области Di главным образом две краевые задачи Л0 и Л* для общего уравнения третьего порядка

составного типа, вырождающегося на части границы области,

где коэффициенты а, Ь, с, а и Ь\ и С] — заданные функции,зависящие от переменных х и у. Задача Ло состоит в следующем: требуется

9-