книги из ГПНТБ / Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра

А К А Д Е М И Я Н А У К К А З А Х С К О Й ССР

И Н С Т И Т У Т М А Т Е М А Т И К И И М Е Х А Н И К И

В. М. А М Е Р Б А Е В

ОПЕРАЦИОННОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

И

ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ЛАГЕРРА

И з д а т е л ь с т в о « Н А У К А » К а з а х с к о й ССР А л м а-А т а • 1 9 7 4

УДК 518.5

В теории, операционного исчисления видное место занимают вопросы обобщения операционного исчисления и проблемы числен­ ного обращения интегрального преобразования Лапласа. Обе эти темы освещены в работе на базе методов разложения. В частности, здесь описаны основы общего подхода к построению операционно­ го исчисления, а также некоторые приемы численного восстанов­ ления оригинала по изображению Лапласа.

Книга представляет интерес для широкого круга специали­ стов в области прикладной математики.

Табл. 1 библ. 226.

л0224—053

м405(07)—74

Издательство «НАУКА» Казахской ССР. 1974 г.

П Р Е Д И С Л О В И Е

Операционное исчисление — важный аппарат современ­ ных методов прикладной математики. Самым главным до­ стоинством, обеспечивающим большую популярность этому методу, является алгебраизация основных важнейших ли­ нейных процедур математического анализа, что в свою очередь открывает большие возможности для «экономики мышления», компактности интерпретаций, широкого ис­ пользования аппарата алгебры и метода аналогий. Другое не менее важное преимущество его состоит в том, что оно, по существу, служит языком перевода задач теории функ­ ций вещественного переменного на язык задач теории функ­ ций комплексного переменного, которая обладает развитым и тонким аппаратом.

Развитие теории операционного исчисления стимулиро­ валось тенденцией переноса операционных методов на бо­ лее общие классы функциональных объектов. Как показы­ вает анализ литературы, проблемой обобщения операцион­ ного исчисления занимаются исследователи разных стран. Наиболее широкую известность получили работы Г. Деча, В. А. Диткина, Я. Минусинского, Л. Шварца.

Внастоящей книге излагаются элементы нового подхода

кпостроению операционного исчисления. Сущность этого подхода заключается в разработке процедур (типа попол­ нения пространств), расширяющих область определения операторов. Основу используемого аппарата составляют обобщенные ряды Лагерра и метод аналитического про­ должения функций комплексного переменного. Идея мето­ да исходит из эйлеровского обобщения понятия суммы бес­ конечного ряда. Л. Эйлер писал: «...если под «суммой» ря­ да понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакого сомнения, что суммы мож­ но получать только для тех бесконечных рядов, которые

8

являются сходящимися и дают результаты тем более близ­ кие к некоторому определенному значению, чем больше членов складывается... мы припишем слову «сумма» зна­ чение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выраже­ ние, из разложения которого возникает этот ряд» [113].

Последнее предложение является формулировкой зна­ менитого принципа Эйлера суммирования расходящихся рядов. Эта точка зрения предвосхитила ряд крупных идей последующего развития математики, в том числе идею аналитического продолжения. В частности, сам принцип Эйлера нельзя корректно сформулировать, не используя метода аналитического продолжения.

По Эйлеру, «сумма ряда» является первичным поняти­ ем, тогда как «ряд»— производным, вторичным. В обыч­ ном понимании картина противоположная: первичным яв­ ляется «ряд», а «сумма ряда» — вторичным.

Подобная же схема может быть использована при по­ строении операционного исчисления. В обычном понимании операционного исчисления изображение оригинала f(t) есть функция F(p) комплексного переменного р, получае­ мая умножением оригинала /(f) на e~pt и интегрированием по t на интервале от 0 до оо. Следовательно, оригинал явля­ ется первичным, а изображение — вторичным: оригинал производит изображение.

Аналог эйлеровского принципа в операционном исчис­ лении предполагает такую процедуру построения простран­ ства изображений, при которой изображение было бы пер­ вичным, а оригинал — вторичным: изображение произво­ дит оригинал. Последовательно придерживаясь этой точки зрения можно получить пространство обобщенных оригина­ лов, где каждый из них понимается как класс эквивалент­ ности во множестве формальных рядов Лагерра. Простран­ ство обобщенных оригиналов изоморфно пространству всех аналитических функций комплексного переменного, кото­ рое выступает в роли пространства изображений. Таким образом, в рамках этой теории любая аналитическая функ­ ция является изображением, а пространство обобщенных оригиналов выступает как новый тип пространства обоб­ щенных функций. Это пространство в общем случае не яв­ ляется ни полем, ни кольцом, ни линейным пространством. Вместе с тем принцип изоморфного вложения позволяет отождествить отдельные подмножества пространства обоб­ щенных оригиналов с пространством классических функций-

4

Г л а в а 1

ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Принцип финитности. Пусть Р некоторое поле, N упо­ рядоченное множество целых чисел N = {0, 1, 2, 3,.. .}.

Образуем совокупность всевозможных последовательно­

с функцией a(t), определенной на N, со значениями в Р и удовлетворяющей условию V?6N : а(*) = а t.

Совокупность всех таких последовательностей обозна­ чим символом P[f].

Важный тип функциональных отношений, используе­ мых в дискретной математике, составляют отображения, удовлетворяющие принципу финитности.

Принцип финитности формально выражается следую­ щим образом.

Пусть 1={х0, Х\, %2, • • •} упорядоченное множество пере­

J ( cil и формула A t (It ), включающая в себя конечное чис­ ло операций поля Р над элементами из I (.

6

Таким образом, всякое отображение пространства P[i] в себя удовлетворяет принципу финитности, если каждая компонента Р, образа р(£) вычисляется посредством конеч­ ного числа операций поля Р.

Операторы описанного типа будем называть конечными операторами, а их компоненты A t(I t) конечными арифме­ тическими формулами.

Анализ (описание) конечных операторов, алгебраизация приемов решения задач, формулируемых на языке этих операторов, составляет основ­ ной цикл вопросов теории дис­ кретных преобразований.

В данной главе на базе тео­ рии формальных степенных рядов (ф. с. р.) описывается общая схема построения дис­ кретных преобразований.

Использование ф. с. р. поз­ воляет установить один общий алгебраический фундамент для широкого класса дискрет­ ных преобразований, имею­ щих большое практическое значение в дискретной мате­ матике.

Принцип финитности яв­ ляется единственным ограни­

чением на операции над ф. с. р. в тех случаях, когда нет необходимости или не имеет смысла рассматривать вопросы сходимости бесконечных процедур, как например, в случае, когда поле Р является конечным. Поэтому последователь­ ное применение принципа финитности в теории дискретных преобразований имеет самостоятельный интерес, особенно в теории дискретных преобразований над конечными поля­ ми. Л. Эйлер первый, кто широко использовал этот прин­ цип (не формулируя его) в своих знаменитых трудах [113].

В случае полей характеристики О (например, в поле ком­ плексных чисел) появляется необходимость рассматривать операции над ф. с. р., включающие в себя бесконечное чис­ ло арифметических действий. Теоретическим принципом, позволяющим избежать практические трудности, связанные с выполнением бесконечного числа операций, является ме­ тод Л. Эйлера суммирования расходящихся степенных ря­ дов. Иными словами, по Л. Эйлеру, не ряд производит сум­ му, а сумма производит ряд. Такой взгляд на понятие

7

суммы оказался наиболее благоприятным для теории дис­ кретных (а также непрерывных) преобразований.

Для последующего рассмотрения изучаемых вопросов существенное значение имеет понятие формальных рядов Лагерра.

§ 1. Формальные степенные ряды (краткий обзор)

Совокупность сумм вида

где коэффициенты a k принадлежат Р, a z — некоторый сим­ вол, называется формальным степенным рядом (ф. с. р.) и обозначается символом f(z).

Ф. с. р. можно складывать и умножать подобно сложе­ нию и умножению многочленов. В последнем случае пред­ полагается, что определена операция умножения степеней символа z : z a-2m= гт+П' Следовательно, совокупность всех ф. с. р. над Р образует кольцо, которое будем обозначать символом P[z].

Кольцо P[z] не содержит делителей нуля, т. е. оно обла­ дает свойством: если произведение двух ф. с. р. f(z) и g(z) равно 0, то по крайней мере один из них равен 0.

Доказательство легко получить методом ложного поло­ жения, пользуясь правилом умножения ф. с. р. и замечая, что два ф. с. р. равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях z.

Это свойство позволяет расширить кольцо ф. с. р. P[z] до поля частных P(z), подобно тому, как кольцо целых чи­ сел расширяется до поля рациональных чисел.

Нетрудно видеть, что любой элемент f(z) поля частных P(z) может быть записан в виде

как положительным, так и отрицательным и обозначается символом 0 (f).

Очевидно, что

0(Л *)=0(/-)+0(£),

(1.1.3)

0 (f± £ )> m in[0(/), OGr)].

8

Удобно определить порядок нулевого ряда, положив О(0) = + оо, тогда свойства (3) будут иметь место для любых элементов из Р(z).

Из свойств ф. с. р. отметим:

1)допустимо дифференцирование ряда (которое обычно называется алгебраическим дифференцированием);

2)допустима подстановка ряда в ряд (здесь следует сде­ лать оговорку, что если исходить из принципа финитности, то на процедуру подстановки налагаются опреде­ ленные ограничения, которые будут рассмотрены ниже).

§ 2. Операционное исчисление функций целозначного аргумента

Рассмотрим совокупность P[i] функций целозначного аргумента, определенных на N, со значениями в поле Р.

Помимо операций:

1) умножения функции cp(i) на скаляр <xGP> которое определяется следующим образом:

если

?(*)=(?<>. <?1. • • • ).

ТО

ao(f)=(acp0, a»!, a<p2, . . . );

2) сложения функций, которое определяется следующим образом:

если

'f(*)=(?o> ?1» ?2» • • • ),

Ф(0= (Фо. Ч>1. Ф* • • ■)>

то

(<Р+<|'Х*)='Р(*)+ ,КО = (?0+Фо. Т1+ Ф1, Ъ+ ^2, ■■•)•>

важное практическое значение имеет операция

3) свертывания функций cp(t) и г)'(£), которое определяет­ ся следующим образом:

9