книги из ГПНТБ / Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов

взаимодействие валентных электронов друг с другом. В оболочечной модели ядер в ее простейшей форме можно объяснить многие общие свойства ядерных спектров, не вводя в рассмотрение взаимодействие ме­ жду частицами.

Одной из важнейших проблем статистической физики является рассмотрение точно решаемых случаев. Дело в том, что такое рассмотрение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач ста­ тистической физики и, в частности, для обоснования используемых там приближенных методов.

До сих пор к классу точно решаемых динамиче­ ских модельных систем относились, главным образом, одномерные и двумерные системы [1—6].

В настоящем исследовании остановим внимание на

действием, которые возникли из применяемых в теории сверхпроводимости модельных задач БКШ *); нахожде­ ние асимптотически точного решения последних иссле­ довалось в работах [7—9] Н. Н. Боголюбова, Д. Н. Зуба­ рева и Ю. А. Церковникова.

В этих работах был сформулирован приближенный способ, в котором предлагались идеи метода, основан­

обычном предельном переходе статистической меха­ ники К->оо.

Р, Р'

4*

где ар,±1, dp, ±i — ферми-операторы, V — объем системы. Ядро J (р, р') полагалось вещественной ограниченной функцией, практически исчезающей вне некоторой конечной области импульсов. Суммирование в Яmt

*) БКШ означает модель Бартина — Купера — Шриффера.

6

Было показано, что для такого гамильтониана можно асимптотически точно (при И->оо) построить свободную энергию. Идея этого метода состояла в том, что вводился так называемый «аппроксимирующий гамильтониан» Жй(С) — квадратичная форма из фермиоператоров, зависящая от некоторых произвольных по­ стоянных С. Такой гамильтониан легко диагонализуется, а затем нетрудно вычислить соответствующую ему сво­ бодную энергию. В этой работе приводились основа­ ния, позволяющие считать, что свободная энергия F0(C) становится равной F при V —>оо. Этот результат был получен с помощью теории возмущений. Вывод осно­ вывался на том, что каждый член ряда теории возму­ щений, с помощью которого вычисляется поправка к этому решению, асимптотически мал при К->оо. Однако вопрос о сходимости рядов теории возмущений не исследовался и результаты этой работы нуждались в более строгом обосновании. В связи с этим в ра­ боте [9] поставленная задача была рассмотрена без

+

тенциал, а^у af — операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям статистики Ферми.

/(/, f'), Wf — действительные функции, обладающие свойствами

7

мильтонианом Но удовлетворяет всей этой цепочке уравнений для точного гамильтониана Н{2) с ошибкой порядка О (1 /V). Однако, разумеется, с чисто матема­ тической точки зрения и такого рода рассуждения не являются вполне законченными. Тем не менее эти ра­ боты представляют собой существенный вклад в изу­ чение и нахождение асимптотически точного решения.

Укажем, что строгое обоснование асимптотической точности результатов работ [7—9] представляет суще­ ственные математические трудности.

В чисто математической постановке такая задача была рассмотрена Н. Н. Боголюбовым в работах [10, 11]

В качестве дополнительных условий полагалось, что функции к (/) и Т (/) удовлетворяют следующим общим условиям:

*) Надо отметить, что с физической точки зрения чистая фак­ торизация ядра (3) описывала так называемое взаимодействие в «s»-состоянии, и когда требовался учет высших состояний (на­ пример, р- и d-волны ... ), следовало рассматривать ядро в форме

ТП

8

1) функции A(f), Т (/) действительны и обладают свойствами симметрии:

ная проблема (2) с ядром (3) и условиями (4) была полностью исследована для нулевой температуры.

Оказалось, что такую задачу можно асимптотически точно решить при стремлении объема системы к беско­ нечности, т. е. построить энергию основного состояния, функции Грина и корреляционные функции, характе­ ризующие динамическое поведение систем.

Отметим, что в статистической физике нас всегда интересуют предельные (при V -> оо) значения изучае­ мых динамических величин и функций. В этой работе (также применительно к рассматриваемому случаю) было показано, как следует вводить квазисредние; именно, к введенному гамильтониану (2) добавлялись

источников устремлялась к нулю и тем самым строились определения квазисредних.

Существенный интерес представляет изучение ана­ логичной проблемы при любых температурах, т. е. 0=^=0 и 0 = 0. В этом случае, однако, даже простейшее обобщение этой задачи оказывается невозможным. Методика, применяемая при исследовании этой про­ блемы, была существенным образом ограничена рас­ смотрением основного состояния. Исследованию этой сложной проблемы для модельных гамильтонианов вида (2) с притяжением (в случае температур, не равных нулю) посвящены работы [14, 15].

9