книги из ГПНТБ / Данилов, Л. В. Электрические цепи с нелинейными R-элементами

Эти обстоятельства явились одной из причин разработки нового частотного подхода к исследованию качественных вопросов теории нелинейных систем. Такой подход нашел широкое применение в теории автоматического регулирования, особенно в связи с изуче­ нием вопросов абсолютной устойчивости. Однако несмотря на то, что теория нелинейных цепей представляет собой благодатную поч­ ву для применения частотных методов, последние не получили здесь пока должного распространения. Значительная часть работ посвящена лишь обсуждению возможностей переноса результатов теории автоматического регулирования в область теории цепей. Между тем систематическое использование теоретико-цепевых свойств, а именно, энергетических свойств пассивных цепей, позво­ ляет получить достаточно общие результаты, включающие, как частный случай, ряд результатов теории автоматического регуливания.

Данная книга ставит своей целью показать широкие возможно­ сти применения частотно-энергетического подхода для решения ря­ да задач теории нелинейных цепей, имеющих важное практическое значение. Автор ограничился в книге изучением в основном цепей,

.нелинейная часть которых является резистивной, т. е. описывается

.трансцендентно-алгебраическими уравнениями. Такое ограничение все еще сохраняет очень широкий и чрезвычайно важный в практи­ ческом отношении класс нелинейных цепей. В то же время указан­ ное ограничение позволило заметно продвинуться вперед в направ­ лении решения задач того круга, который отмечался в начале вве­ дения.

Уравнения в форме Коши оказались не самой удобной формой записи дифференциальных уравнений цепи в случае применения частотно-энергетических подходов. Поэтому в книге с самого нача­ ла предполагается, что схема исследуемой цепи может быть явным образом разделена на две подсхемы — линейную и нелинейную. Для схем такого вида составляется система уравнений, названная основной матричной формой и применяемая на протяжении всей книги. Такая форма позволила наиболее естественным образом из­ влечь и использовать информацию об энергетических свойствах ли­ нейной и нелинейной подсхем.

Большое место в книге отведено исследованию периодических режимов в нелинейных цепях при периодических воздействиях. Это объясняется, прежде всего, практической важностью данного вопроса.

В первой главе книги описываются способы составления уравне­ ний нелинейных цепей в основной матричной форме. Обсуждаются особенности и свойства такой формы записи, используемые затем в следующих главах. Некоторые результаты, относящиеся к энергети­ ческим свойствам цепей, представляют и самостоятельный интерес.

Вторая глава посвящена качественным вопросам теории нели­ нейных цепей. Здесь формулируются и доказываются достаточно общие теоремы, позволяющие установить для широкого класса це­ пей такие свойства, как диссипативность, конвергентность (т. е. не-

4

зависимость вынужденного режима от начальных условий), сущест­ вование и единственность периодического режима и т. д. Все дока­ зательства в значительной степени основываются на использовании свойств матриц сопротивлений или проводимостейпассивных ли­ нейных многополюсников и с этой точки зрения являются нагляд­ ной иллюстрацией возможностей частотно-энергетического подхода. Проверка выполнения условий тех или иных теорем сводится, в ос­ новном, к проверке положительности и вещественности некоторой функции или положительной определенности матрицы, т. е. к при­ вычным для инженера исследованиям частотных характеристик и расположения нулей и полюсов дробно-рациональных функций.

Попутно в главе рассматриваются вопросы априорной оценки амплитуды вынужденных колебаний, а также оценки времени пе­ реходного процесса.

Третья глава посвящена методам расчета вынужденных перио­ дических режимов нелинейных цепей при периодических воздейст­ виях. Здесь изложен общий подход, заключающийся в аппрокси­ мации в частотной области оператора, описывающего линейную часть цепи, другим линейным оператором, сохраняющим почти не­ изменным периодический режим в цепи и позволяющим исследо­ вать цепь более простыми средствами. Основным достоинством та­ кого подхода является возможность объединения на одной основе многих из существующих методов, ранее казавшихся мало связан­ ными друг с другом. Такое рассмотрение позволяет инженеру про­ извести сравнительную оценку методов, определить область их применения и получить оценку погрешности расчетов. В частности, оказывается, что в общую схему аппроксимации линейных опера­ торов укладывается метод гармонического баланса, метод пониже­ ния порядка цепи, метод ускорения переходных процессов, а также ряд вычислительных алгоритмов. В отношении последних оказы­ вается возможным дать их сравнительную оценку с точки зрения точности и численной устойчивости. На основе такой оценки в гла­ ве рассмотрен один вычислительный алгоритм, численная устойчи­ вость которого ранее констатировалась, главным образом, лишь при расчете линейных цепей. Дано сравнение этого алгоритма с другими и 'указан юпошб 1К'01нспр'уи1ро!вания 'беаконечн'ой серии все более точных численно устойчивых алгоритмов.

На основе общего подхода в гл. 3 описан также предельно про­ стой алгоритм расчета линейных цепей с переменными резистив­ ными параметрами.

Наконец, в рамках все той же теории, связанной с аппроксима­ цией линейных операторов, в гл. 3 получены первоначальные ре­ зультаты в направлении конструирования общих формул достаточ­ но простого вида и удовлетворительной точности, описывающих периодические режимы в нелинейных цепях с различного типа не­ линейностями.

В- гл. 4 исследуются вопросы, связанные с оценкой изменения периодических режимов в нелинейных цепях в зависимости от из­ менения параметров цепи и параметров внешних воздействий. 'Вы-

5

Г ЛАВА

Л Е Р. В А Я

Уравнения нелинейных цепей и их свойства

1.1. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Особенности изучаемых цепей

Из всего множества нелинейных цепей в книге рассматривают­ ся лишь те цепи, схемы которых можно разбить на две подсхемы

.(рис. 1.1). Одна из подсхем (линейная) содержит линейные элемен­

ты R, L, С, М, а также зависимые и независимые источники напря­ жения и тока. Другая (нелинейная) состоит из нелинейных рези­ стивных двухполюсников или многополюсников. Иными словами, токи и напряжения нелинейной части цепи связаны алгебраически­ ми или трансцендентными уравнениями.

Подобное разбиение не всегда легко осуществимо, особенно при дополнительных требованиях к линейной части цепи, которые бу­ дут сформулированы ниже. Существенным ограничением класса изучаемых цепей служит также требование отсутствия в цепи не­ линейных реактивных элементов1). Однако и оставшийся класс схем чрезвычайно широк. Такие схемы находят самое разнообраз­ ное применение в современной радиоэлектронике. Достаточно ска­ зать, что к ним относятся, в частности, все схемы, содержащие ли­ нейные элементы и транзисторы, работающие в нелинейном режи­ ме, если выбрана модель транзистора, содержащая диоды, зависи­ мые источники и линейные емкости [53].

*) Это ограничение частично снимается в гл. 5.

7

преобразовать в источники напряжения, включенные в ветви, сое­ диняющие линейную и нелинейную подсхемы. Ниже предполагает­ ся, что это преобразование уже проделано и исследуемая цепьимеет вид, показанный на рис. 1.2. На протяжении всей книги бу­ дем изучать в этой цепи либо токи in(t), текущие че­ рез клеммы нелинейного многополюсника, либо напряжения между каждой парой его клемм.

Основная матричная форма записи уравнений цепи

Число указанных выше неизвестных токов или напряжений на: клеммах нелинейного многополюсника, вообще говоря, не равно по­ рядку цепи. Поэтому не всегда целесообразно составлять для цепи рис. 1.2 дифференциальные уравнения в форме Коши [53]г так как их число может оказаться намного выше числа интересующих нас неизвестных. Например, если цепь рис. 1.2 состоит из последова­ тельно соединенных линейного и нелинейного двухполюсников, тоединственным интересующим нас неизвестным будет ток в цепи. Число же уравнений в форме Коши равно порядку цепи и может быть значительным. Кроме того, сама задача составления уравне­ ний в форме Коши относительно тех неизвестных, которые нас ин­ тересуют, может оказаться не из легких.

В связи с этим в данной книге принята другая форма записи: уравнений, позволяющая составить ровно столько уравнений, сколь­

формы записи уравнений состоит в том, что она позволяет в наибо­ лее удобном виде выявить особенности линейной и нелинейной под­ схем, которые являются определяющими при качественном и коли­ чественном анализе цепи.

означает, что имеет место дифференциальное уравнение,.связываю­ щее x(t) и f(t):

k=0

8

Аналогично, если N(p) — дробно-рациональная функция от р,

•означает, что имеет место'следующее дифференциальное уравнение

современной литературе по автоматическому регулированию (см. ]1,47]). В то же время-специалисты в области теории цепей, теоре­ тической радиотехники и электросвязи используют такую форму за­ писи сравнительно редко, особенно применительно к нелинейным цепям. В данной книге используется почти исключительно указан­ ная форма записи, причем можно утверждать, что это обстоятельст­ во оказалось решающим при получении многих основных результа­ тов книги.

Пусть электрическая цепь состоит из последовательно соединен­ ных линейного двухполюсника и источника напряжения u(t). Для ■составления уравнения относительно тока i(t) в цепи найдем со­

Решение i(t) этого уравнения, конечно, отличается от оригинала то­

где 1(р) и U(p) ■— изображения по Лапласу функций i(t) и u(t) со­ ответственно. Различие состоит в том, что ур-ние (1.6) соответст­ вует дифференциальному уравнению для i(t) при любых начальных условиях, а ур-ние (1.7) — при нулевых начальных условиях в цепи.

Пусть теперь последовательно с линейным двухполюсником включен нелинейный резистор с вольтамперной характеристикой Ы= Ф(О- Тогда вместо (1.6) приходим к уравнению

9