книги из ГПНТБ / Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие]
.pdf*
МИ Н И СТ Е Р с т в о ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
Московский институт электронного машиностроения
Б. Ю. СТЕРНИН
КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ
М о с к в а — 1 9 7 3
Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ
Кафедра Прикладной катѳкатики
Б.Ю.Стѳрнин
КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМ ЦИЛИНДРЕ
^ x tS U o n o n o eo T u tfu
М о с к в а - 1 9 7 3
Гос. «Уб тіѵчиаЯ
‘П ?Г сР
© в*«04*'-® Е•аісгв «е ря:и д а * „
А?
/?у$г<р
y i t - W M
Предлагаемый текст представляет собой обработанные записки лекций, которые автор читал в качестве факуль тативного куроа студентам старших курсов факультета прикладной математики.
Пр е д и с л о в и е
Впредлагаемой работе рассматриваются кваэиэллиптичбскиѳ уравнения в бесконечном цилиндре. Определение квази эллиптичности будет дано несколько позднее, а сейчас заметим только, что понятие кваэиэллиптичности объединяет
довольно широкий класс |
гипоэллиптических уравнений. |
В |
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
* |
него |
входят, например, |
эллиптические |
и A b |
- параболичес |
||||
кие по Петровскому [ і ] |
уравнения и многие |
другие. Квази- |
||||||
эллиптичѳскиѳ уравнения рассматриваются в цилиндре |
|
|||||||
Q |
X * |£ 1 |
, |
гдѳ |
через |
X . “ы |
обозначили гладкое |
||
многообразие и |
К ^ - |
вещественная прямая. При этом изу |
||||||
чаются три случая - |
ситуация, |
когда |
X |
является |
гладким |
|||
замкнутым многообразием беэ края, случай, когда многообразие
X имеет гладкий замкнутый край ^ Х и, наконец,
проблема С.Л.Соболева - случай, когда граничные условия
'задаются на гладких цилиндрических многообразиях Y X R ^ различных размерностей. .
Попытаемся сформулировать основные результаты, ограни
чиваясь наиболее простым случаем замкнутого |
многообразия X . |
||||
Введем в цилиндре |
0 s* X |
^ ^ |
координаты прямого |
||
произведения |
(? c ,-fc 3 y |
X , |
t € |
/R 1 |
и рассмот |
рим на цилиндре квазиэллиптическоѳ дифференциальное выра |
|||||
жение D с |
гладкими комплекснозначными коэффициентами. |
||||
3
Допуская некоторую вольность, это выражение мы вапишем в виде
D |
= |
Ъ |
О , |
t |
, |
й х |
, |
Ѵь-Ь) |
|
|
(о*1) |
|
где |
|
|
|
|
|
■ > У * ' ) |
|
, |
хотя, |
разумеется, |
||
запись такого рода имеет смысл лишь в локальной системе |
||||||||||||
координат. Квавиэллиптическим |
рода |
^ |
мы называем такое |
|||||||||
выражение |
( 0 .1 ) , |
о порядком дифференцирования по |
переменным |
|||||||||
X , |
равным |
ѵк- |
, |
для |
которого |
при некотором положи |
||||||
тельном |
У |
существует такая кваэиоднородная |
С ^ |
|||||||||
форма |
Ъ 0 ~ |
Ь о ( X i h j ' Z u , |
У ^ ) |
порядка |
ы. |
; что во |
||||||
воякой |
точке |
Qf^} х . ) |
£- |
Q |
|
|
уравнение |
|
||||
|
|
Ъо ( ± , , Х , - |
|
- * J = О |
|
|
||||||
не имеет |
чисто мнимых корней |
? — |
|
) |
|
|
||||||
Число |
Н. |
называется |
порядком выражения (0 .1 ) . |
|||||||||
Наша первая основаная теорема будет касаться обратимости |
||||||||||||
оператора, реализующего |
кваэиэллиптичѳское |
дифференциальное |
||||||||||
і
4
выражение (О .І) или, -по эквивалентно, раэрѳшшости уравнения
|
ъ и = |
4 |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
поэтоиу |
наи необходимо |
ввести |
некоторые пространства рас |
||||||||
пределений. При этой для наглядности |
эдѳсь |
мы |
ограничимся |
||||||||
наиболее |
простым случаем - |
определение |
пространств в |
общей |
|||||||
ситуации будет приведено в конце первой главы. Итак, мы |
|
||||||||||
имеем дело с прямым произведением |
|
С |
= |
X |
* IR і |
|
, |
||||
базой которого служит |
гладкое |
замкнутое |
многообразие |
X |
. |
||||||
Выбирая на многообразии |
X |
некоторую риманову метрику, |
|
||||||||
мы можем образовать положительный оператор Лапласа |
А |
. |
|||||||||
Обозначим через |
оС (~Ь) |
- |
вещественную |
|
|
|
|||||
гладкую |
функцию на |
лрямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 4 |
> |
t |
> 0 |
, |
|
|
|
|
* Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Л - |
, |
- і |
< |
- і |
|
|
|
|
|
причем |
|
|
- |
некоторые |
(конечные) |
вещественные |
числа. |
|
|
Пусть |
теперь |
[ |
S , # , А + , <*- ) |
- четверка |
- 5 -
(конечных) вещественных чисел, Определим пространство распределений
И s X * + , JL- ( С ) |
на цилиндре |
гладких финишных при |
' -fc -ч> t о? |
по норме |
|
AJ-OfcH
I е
OÖ
О ) |
А |
- |
целое. |
Н |
s, |
Y, olft) |
( с ) а |
С, как замыкание
функций
+ l - f t ' I L } J t .
Здесь через |
Ц £ [f |
обозначена норма порядка S |
в пространствё С.Л.Соболева: |
|
|
Іі II, |
|
|
S I |
|
|
|
|
|
Реализуем теперь дифференциальное |
выражение /\ |
порядка |
||||||
|
как непрерывный оператор |
|
|
|
||||
D |
: |
Н |
s.y.d+.rf- Сс) -> |
|
|
( 0. 2) |
||
|
£с)- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Наш первый основной результат может быть сформулирован |
||||||||
в следующем виде. |
|
|
|
|
|
|||
Теорема I (конечности). Пусть D |
- квззиэдлиптическое |
|||||||
дифференциальное |
выражение |
порядка |
УК. |
и рода |
с постоян |
|||
ными по "h |
|
коэффициентами. Тогда для любых s |
и любых |
|||||
конечных чисел |
ja |
^ - - |
за |
исключением некоторого |
||||
6
дискретного |
множества оператор |
(0 .2 ) является почти изо |
|||
морфизмом, |
Более |
того, |
|
||
L ) |
при |
оі_ |
< |
J. +■ |
оператор (0 .1 ) моноиорфен, |
СО |
при |
|
^ |
^ |
оператор (0 .1 ) эпиморфен, |
іЧ’О |
при д |
= |
|
оператор (0 .1 ) является |
|
|
|
|
|
|
изоморфизмом, |
При этом мы используем терминологию Н.Бурбаки, согласно
которой почти изоморфным называется гомоморфное (то есть
непрерывное и с замкнутой областью значений) |
отображение |
|||
с конечномерным (над полем |
(Г |
) |
ядром и коядром. |
|
В случае, если одно из чисел |
«Яц. |
или |
ож |
|
ивляется бесконечным, пространства |
Ң |
S) |
|
|
определяются как индуктивный или проективный пределы, например,
^ 51 у >с Ц ,4 0> - |
С |
И S ,y ^ J L + |0 L _ |
~ |
1* с* |
|
Соответствующее утверждение о кваэизллиптическом опера торе, действующем в такого рода пространствах, выглядит следующим образом.
Теорема (о гомоморфности). Пусть £> |
- |
квазиэллипти- |
||
яеский оператор порядка м |
и рода |
У |
с |
постоянными^ |
7
до |
~t |
коэффициентами. |
Тогда |
для любых |
s |
|
и любых чисел |
|||||||||
Я |
+ |
С ^ ~ ) |
|
|
* |
|
аа исключением некоторого дискрет- |
|||||||||
ного |
множества |
на вещественной оси операторы |
|
|
|
|||||||||||
|
: |
н s , у |
, |
о |
< |
7 |
С с ;— |
|
н |
^ |
„1+,-ов |
( с) |
( 0. 3) |
|||
V |
|
Н 5 |
. у |
, |
+ ѵ > і я |
- |
С с ) |
|
И |
s - |
n |
i (cjX + v |
(0 .4 ) |
|||
|
|
’ , |
||||||||||||||
Ъ: |
H s f ff)ei+ +t>e |
( c j |
—> |
|
Н S-w, J, Л+, +0° (у |
(0 .5 ) |
||||||||||
1) |
- |
Н S, 3 1~ѵэ, оі._ |
С c j |
—> |
Н У-*и, У,- ъ° j |
д - |
|
|
( 0. 6) |
|||||||
суть |
гомоморфизмы. Более |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
і ) |
операторы (0 .5 ) и |
(0 .4 ) |
с у т ь мономорфизмы с (вообще |
|||||||||||||
говоря) бесконечномерным коядром, |
а |
|
|
|
|
|
||||||||||
£ () операторы |
(0 .5 ) и(0.6)суть |
эпиморфизмы |
с(вообще |
говоря) |
||||||||||||
бесконечномерным ядром.
Смысл слов "вообще говоря" означает "для невольтерров-
пкит*) операторов". В частности, эффект бѳсвонѳчномерностиі)
і ) Точное |
утверждение |
о вольтерровских операторах |
|
следующее: если |
выражение |
Л) |
- вольтѳрровскоѳ (опреде |
ление см, в гл. |
I ) , тЬ по |
крайней мере для двух операторов |
|
из совокупности |
(0 .3 ) - (0 .6 ) справедлива теорема конечности. |
||
8
іш получим ухе для оператора Лапласа.
Наконец, мы доказываем теоремы о гладкости решения,
то есть устанавливаем гипоаллиптичность оператора D .
Только что сформулированные утверждения переносятся
на (с соответствующими изменениями) операторы с переменными по ~Ь коэффициентами, удовлетворяющими определенным усло
виям типа стабилизации при -t і о=> .
Кроме теорем о разрешимости мы изучаем асимптотическое
поведение решения квазиаллидтичѳского уравнения при
+ оо . |
|
|
Именно, для решения |
u O r,-fc) |
уравнение |
Q i* , Ь/ н . ) м . Ос( і - ) = 4 0 * ' ^
о гладкими коэффициентами мы выписываем асимптотический ряд вида
u С*- |
' 2 Г Z І а , к |
(0 .7 ) |
К . <j =0
-9