книги из ГПНТБ / Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР С Е В Е Р О - З А П А Д Н Ы Й З А О Ч Н Ы Й П О Л И Т Е Х Н И Ч Е С К И Й И Н С Т И Т У Т

С. И. И Т Е Н Б Е Р Г , Л . А. К А Л Ь Н И Ц К И Й

Одобрено Редсоветом С З П И 25 января .1973 г.

ЛИ Н Е Й Н АЯ АЛГЕБРА

ИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА П Л О С К О С Т И .

ВВЕДЕНИЕ В А Н А Л И З

У Ч Е Б Н ОЕ ПОСОБИЕ

Общая редакция A.A. ПОТАПЕНКО

Л Е Н И Н Г Р А Д 1 9 7 3

Настоящее учебное пособие составлено в со­ ответствии с действующей программой по высшей математике для высших технических учебных за­ ведений, утвержденной Министерством высшего и

С Е М Е Н И З Р А И Л Ь Е В И Ч И Т Е Н Б Е Р Г Л Е О Н И Д А Л Е К С А Н Д Р О В И Ч К А Л Ь Н И Ц К И Й

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

У Ч Е Б Н О Е П О С О Б И Е

издание Северо-западного заочного политехнического института, 1973 г.

РАЗДЕЛ I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

ГЛАВА 1

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

В этой главе изучаются основы теории матриц и тесно связанной с ней теории определителей.

Возникшие из потребностей исследования и решения систем уравнений первой степени, матрицы и определители очень скоро нашли применение и в других областях математики и ее приложе­ ний. В настоящее время они превратились в самостоятельные раз­ делы математики, используемые как в самой математике, так и в ряде технических дисциплин, например, теоретической электро­ технике, оптике и др.

Мы ограничимся, в основном, применением матриц и определи­ телей к вопросам исследования и решения систем уравнений пер­ вой степени, имеющих важное значение во многих разделах мате­ матики, и, в частности, в геометрических исследованиях.

Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, состоящей из определенного числа строк и опреде­ ленного числа столбцов и рассматриваемой как единое целое. Мат­ рица, состоящая из п строк и m столбцов, записывается так:

Числа аік, составляющие матрицу, называются э л е м е н т а м и матрицы. Для удобства записи элементы матрицы обозначаются

3

ных на диагонали, соединяющей левую верхнюю вершину мат­ рицы с правой нижней вершиной, называется г л а в н о й д и а ­ г о н а л ь ю матрицы. Совокупность элементов, расположенных на

Элементы теории матриц будут рассмотрены в конце настоящей главы. Вначале займемся изучением важнейшей числовой харак­ теристики квадратной матрицы, называемой о п р е д е л и т е ­ л е м матрицы, и применением определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений.* В связи с этим остановимся еще на обозначениях и основных понятиях, принятых в теории та­ ких систем уравнений.

4

Для удобства записи и исследования системы линейных урав­ нений, состоящей из п уравнений с m неизвестными, принято не­ известные обозначать одной буквой с соответствующими индек­ сами: хъ х2, . . . , хт; коэффициенты при неизвестных обозначать также одной буквой, но с двумя индексами, і и k, аналогично обо­ значению элементов матрицы, из которых первый — і указывает на номер уравнения в системе, второй — k на номер неизвестного;

несовместна, так как левые части уравнений совпадают, а правые

5

Мы ограничимся рассмотрением, главным образом, систем ли­ нейных уравнений, в которых число уравнений п равно числу не­ известных, т. е. систем вида

представляет собой квадратную матрицу я-го порядка. Применение определителей в теории систем линейных уравнений

позволило разработать метод исследования таких систем и способы их решения. С помощью определителей были получены условия, позволяющие по коэффициентам системы, устанавливать, является ли система совместной или несовместной, в случае совместности системы устанавливать ее определенность или неопределенность, и был найден способ вычисления всех решений совместной системы.

1.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА. СИСТЕМА ДВУХ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Изучение теории определителей начнем с рассмотрения опреде­

Для краткости записи определитель матрицы А обозначают од­ ной буквой, например D, или D (А).

6

Подчеркнем разницу между матрицей второго порядка и ее оп­

чие между матрицей и ее определителем подчеркивается и в обо­ значениях.

Обратимся теперь к исследованию и решению системы двух ли­ нейных уравнений с двумя неизвестными при помощи определите­

является матрицей второго порядка. Определитель матрицы си­ стемы

полученные равенства; затем проделаем тоже самое, взяв в каче­

правых частей уравнений системы (1.11), то легко видеть, что они

Правая часть первого уравнения системы (1.11), содержащего неизвестное xt является определителем матрицы, получающейся из матрицы (1.10) системы (1.9) заменой первого столбца, состоя-

7

щего из коэффициентов при неизвестном хх на столбец из свобод­ ных членов, а правая часть второго уравнения этой системы, со­ держащего неизвестное х2 является определителем матрицы, по­ лучающейся также из матрицы (1.10) заменой второго столбца, состоящего из коэффициентов при неизвестном х2 на столбец из свободных членов.

Если обозначить

Система уравнений (1.9) и полученная из нее (1.15), вообще говоря

Известно, что тождество остается тождеством при умножении обеих его частей на одно и то же число и что почленное сложение тождеств дает также тождество. Поэтому, если с тождествами (1.16) произвести те же преобразования, которые были выполнены с си­ стемой уравнений (1.9) для вывода системы (1.15), то получим тож­ дества

D-c1 = D1, D-c2 = D2.

Эти равенства и показывают, что числа сг и с2 являются реше­ нием системы (1.15). Таким образом, все решения системы (1.9) находятся среди решений системы (1.15). В частности, если система (1.15) имеет только одно решение, то оно может быть лишь единст­ венным решением системы (1.9), и если система (1.15) не имеет ре­ шений, то система (1.9) и подавно не имеет решений.

Приступим теперь к исследованию системы уравнений (1.9) Возможны два случая: либо определитель D системы отличен от нуля, либо он равен нулю. Рассмотрим каждый из них в отдель­ ности:

1. D Ф 0. В этом случае система уравнений (1.15) имеет единст­ венное решение

8

и, следовательно, по лемме, система уравнений (1.9) либо имеет только одно решение, именно (1.17), либо не имеет решений.

Покажем, что значения неизвестных по формулам (1.17) яв­ ляются решением системы (1.9). Подставляя эти значения в первое уравнение системы (1.9), получим

Аналогично убеждаемся в том, что и второе уравнение системы (1.9) удовлетворяется этими же значениями неизвестных. Таким образом, при D ф 0 система (1.9) совместна и имеет единственное решение. (Система определенна.) Это решение при помощи опреде­ лителей может быть записано в виде

Полученный результат является частным случаем теоремы, или правила Крамера применительно к системе двух линейных урав­

В этом случае система (1.15) несовместна, так как одно из ее урав­ нений (именно то, у которого правая часть не равна нулю) не может быть удовлетворено никаким значением неизвестного. Следова­ тельно, по лемме и система (1.9) не совместна.

2) Оба определителя Dx и D 2 равны нулю. Покажем, что в этом случае система (1.9) эквивалентна одному из ее уравнений, напри­

9