книги из ГПНТБ / Погорелов, А. В. Элементарная геометрия

А. В. П О ГО РЕЛ О В

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М О С К В А 1974

Алексей Васильевич Погорелое

Элементарная геометрия М., 1974 г., 208 стр. с нлл.

Редактор А. Ф. Лапко

Те.\н. редактор К. Ф. Брудно

Корректор И. Д. Дорохова

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая типография имени А. А. ХСданова

Главполнграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР

Москва. М-54, Валовая, 28 Отпечатано во 2-ой тип. нзд-ва «Наука», Шубннскнй пер., дом 10.

20202—019

П------------- 31-74 053(01)-74

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие для учителей

П Л О Т Ь П Е Р В А Я

ПЛАНИМЕТРИЯ

§1. Основные свойства простейших геометрических фигур . . 16

Второй признак равенства треугольников (31). Равнобедренный треугольник (32). Медиана, биссектриса н высота (33). Третий признак равенства треугольников (33). Вопросы для повторения

(34). Упражнения (35).

§ 5. Соотношения между углами и сторонами треугольника . . 35

Соотношения между углами треугольника (35). Соотношение между углами треугольника и противолежащими нм сторонами (36). Соотношения между сторонами треугольника (37). Неравен­

ство треугольника (37). Вопросы для повторения (39). Упраж­ нения (39)

Углы н стороны прямоугольного треугольника (39). Равенство прямоугольных треугольников (40). Перпендикуляр и наклонная (41). Вопросы для повторения (43). Упражнения (43).

Понятие площади (11 1). Площадь прямоугольника (112). Площади простейших фигур (114). Независимость площади простой фигуры от способа ее разбиения на треугольники (11 5). Площади подобных фигур (119). Вопросы для повторения и упражнения (119).

4

(178). Объем пирамиды (1-79). Объемы подобных тел (181). Кор­ ректность определения объема простых тел (182). Упражнения (185).

5

I

"N

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

Преподавание геометрии в школе имеет целью не только сообщать учащимся геометрические результаты, но также научить их: методу, при помощи которого эти результаты получаются. Как известно, геометрические результаты (теоремы) получаются путем логических рассуждений (до­ казательств) из некоторых отправных положений (аксиом). Логические рассуждения являются необходимой частью всякого познания. Геометрия отличается ясностью и про­ стотой как в формулировке результата, так и в тех исходных положениях, из которых этот результат должен быть полу­ чен. Поэтому геометрия дает нам лучшие возможности для развития логического мышления в школе.

Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания геометрии в школе — научить учащегося логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчиваю­ щих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать.

Весь многовековой опыт преподавания элементарной гео­ метрии со времен Евклида доказывает рациональность тра­ диционной системы. Ее совершенствование, связанное с об­ щим развитием науки, нам кажется, не должно касаться ее разумных и глубоко продуманных основ. Поэтому пред­ лагаемый курс, в основном традиционный, отличается только более строгим изложением предмета и некоторой переоцен­ кой значения его отдельных частей.

В основе предлагаемого курса геометрии лежит весьма немногочисленная система геометрических фактов, хорошо знакомых учащемуся и закрепленных в начальных классах

7

школы. Эта система исходных положений, позже названных аксиомами, выделена в результате тщательного анализа содержания школьного курса геометрии с учетом элементов традиционных доказательств.

Изложение начинается типичным для школьного пре­ подавания повторением пройденного. Во всяком случае это так будет восприниматься учащимся. Однако истинная цель у нас другая и более серьезная. Речь идет о введении основных понятий и исходных положений, т. е. аксиом. Аксиомы сформулированы в форме основных свойств про­ стейших геометрических фигур, составленных из точек и прямых. Эти аксиомы просты и естественны. В ряде случаев аксиомы формулируются сильнее, чем это требуется су­ ществом дела, с тем чтобы не вызвать вопросов и недоуме­ ний. Например, мы говорим, что существуют точки, ле­ жащие на данной прямой, и точки, не лежащие на этой прямой. В действительности нам достаточно существования двух точек на прямой и одной точки вне прямой.

Отличительной особенностью нашей аксиоматики яв­ ляются аксиомы измерения отрезков и углов. Эти аксиомы дают нам существенные методические преимущества. Вопервых, мы обходим трудный вопрос введения меры для отрезков и углов. Как известно, решение этого вопроса при аксиоматическом построении геометрии совсем не просто и требует применения серьезных средств, недоступных учащемуся. Во-вторых, через аксиомы измерения у нас подключается арифметика, которая к тому времени уже пройдена. А это значительно расширяет арсенал средств, применяемых в геометрическом доказательстве.

Аксиомы меры для отрезков и углов, естественно, тре­ буют соответствующего определения понятий равенства отрезков и углов. Мы называем отрезки равными-, если их длины одинаковы. Как ни странно, но большинство людей считают отрезки равными именно в этом случае, хотя в школе равенство отрезков определяется через наложи­ мость. Поэтому наше определение равенства отрезков и с этой точки зрения естественно. Наложимость и движение вообще в нашем изложении являются производными, поня­ тиями и вводятся только в середине курса.

Второй параграф начинается четким определением по­ нятий: аксиома, теорема и доказательство. Эти понятия определены настолько четко, что мы всегда можем дать ясный ответ на вопрос «почему» в каждом пункте проводи­ мых нами доказательств. С другой стороны, мы имеем

8

моральное право поставить такой вопрос учащемуся и требовать ответ. Понятие доказательства иллюстрируется на простых примерах с обстоятельным разбором.

Мы сохраняем традиционный порядок расположения материала, поэтому § 3 посвящен углам. Доказательства теорем в этом параграфе просты и естественны. Они осно­ ваны на аксиомах меры и откладывания углов.

Следующий параграф посвящен равенству треугольни­ ков. Содержание параграфа обычное, доказательства просты

ибезупречны. Вообще говоря, в идейном отношении все применяемые нами доказательства не содержат ничего нового. Они хорошо известны. Однако благодаря четкой формулировке исходных положений нам удается несколь­ кими штрихами эти доказательства сделать совершенно безупречными. Эти «штрихи» чаще всего относятся к свой­ ствам взаимного расположения точек на прямой и лучей в пучке. В математике вообще, в современной математике в особенности, отношение порядка играет не меньшую роль, чем отношение эквивалентности. Поэтому развивать это понятие на простых геометрических объектах целесообразно

ис этой точки зрения.

В§§ 5 и 6 освещаются традиционные вопросы: свойство внешнего угла треугольника, соотношение между сторонами треугольника и противолежащими углами, неравенство треугольника, перпендикуляр и наклонная. Каждый пара­ граф мы заканчиваем многочисленными вопросами для повторения и упражнениями. В вопросы для повторения

вынесены определения понятий, доказательства теорем, а также вытекающих из них следствий. Сюда же включены некоторые не принципиальные вопросы курса. Вопросы для повторения четко определяют объем необходимых зна­ ний учащегося и являются средством самоконтроля.

Следующий параграф посвящен геометрическим постро­ ениям. Здесь рассмотрены основные задачи на построения с помощью циркуля и линейки и объясняется метод геоме­ трических мест. Надо сказать, что теме геометрических по­ строений в современном школьном курсе геометрии не при­ дают такого значения, как это было в прошлом. И это ес­ тественно: геометрические построения интересны главным образом для развития поисков решения и тренировки в до­ казательствах. Но геометрические построения не являются единственным средством для решения этой задачи.

Содержание первых семи параграфов этой книги можно назвать абсолютной геометрией. Здесь аксиома параллель-

9