книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

Печатается по постановлению

Редакционно-издательского совета

Казанского

университета

Научный редактор кандидат физико-математических

.У -

наук — доцент

К. М. Шайдуков

Р ■' fOf':А ■

;■

" " "

? Ч - 6 Ю $ ( К

В книге изложены вопросы сходимости, общие методы

вычисления, оценки остатков, улучшения сходимости

обыкно­

венных и

кратных рядов с положительными

членами.

Анало­

гичные вопросы рассмотрены для простых

и кратных

несоб­

ственных

интегралов

от положительных

функций.

Дается

предлагаются эффективные методы их вычисления. Весь

мате­

риал иллюстрирован примерами.

справочное

пособие

Монография

представляет собою

с краткими доказательствами основных результатов;

она

пред­

назначается для

научных работников и инженеров,

занимаю­

щихся в области прикладной математики,

а также может

быть

примером может служить

ряд

<х>1.

Сумма

этого

ряда не

может быть

вычислена с любой требуемой

точ­

ностью

на ЭВМ,

если

а

достаточно

близко

к

единице.

Однако используя

методы

улучшения сходимости и оценки

остатка

для этого ряда, удается достаточно

быстро

опре­

делить сумму рядов такого типа с желаемой точностью.

В настоящей книге с единой

точки зрения

даны

резуль­

таты исследования сходимости,

оценки

остатков, улучшения

^Вычисление рядов“

(М., ГИТТЛ, 1955), которая подверглась

переработке

и была

дополнена новыми

результатами, полу­

ченными за

последние

15 лет

как

авторами настоящей

книги, так

и другими

авторами,

работающими в этой об­

С\ + С2 + ... + £* + .•• — S

Ch’

( ^ )

л=1

составленная из

членов

бесконечной

последовательности

{іck), k = \,

2,....

Члены ряда (С) могут

быть постоянными

числами или функциями от переменных

(jclt

х2, ..., xk),

определенных в некоторой

области.

Для

каждого

ряда (С)

можно составить

последователь-

П

ность

его

частных сумм {5„}, п — \, 2,...,

где

Sn= 2 ск-

k=i

предел S = 1іш5„, то этот

предел называют суммой ряда (С)

со

и записывают

со

S ~

S ck-

А=1

В этом случае ряд (С)

называют

сходящаяся. Если

же

последовательность

не

имеет

конечного предела,

то

. lim r(i=

lim (S — Sn) — 0.

П - * - е ю

n ~ > oo

£

ak,

(А)

*=1

оо

(т>\),

(В)

k—m

полагая,

что

ряд (А) с

положительными

членами задан,

а ряд (В)

с положительными членами выбирается соответ­

ствующим

образом.

В дальнейшем

ряд с

положительными

членами будем

называть

положительным рядом.

Введем

обозначения:

/?*■= — ,

R = \ i m R k,

R = \ i m R k,

ак

к->-оо

R,n =

Inf /г*,

Rm-

sup Rk.

—

&>/77

k>m

оо

оо

( 1. 1)

*

Вт S

ak<B,n<Kn I Ч-

k=m

k—m

7? < со и Вт= оо, то ряд (Л) расходится.

В случае,

если

ряд

(Л) сходится, из неравенств (1.1)

определяем оценку

остатка ряда

оо

( R m > 0).

( 1.2)

Последовательность \bk\ выбирается так, чтобы сумма

ряда (В) была заранее

известна

или ее можно

было легко

вычислить.

При этом

получаем

различные признаки сходи­

Пр и ме р

1. Рассмотрим ряд (Л) с общим членом

4 =

— 'j r 1 ''

( k - * o o ) ,

где

2 — целое

число.

В

качестве

вспомогательного

ряда (В) примем непосредственно суммируемый ряд

S

________1_______

____________1__________

k(k + i)...(k +

р ~ і )

(р — 1)./я (да +

1) ... (да + р — 2)

(см. § 4 п. 4.2). В

этом

случае Вт<со и

/ ? - lim ----- ^ £ + £ Ш )------

k-yoo

k {k

1)...(k + P -r—1)

Следовательно, по общему признаку ряд (Л) сходится.

Пр и ме р

2. Ряд

усо

—

^ .£ 2+ Vk

«—1

к2 + V к

ак

k ( k + l )

монотонно

возрастает при k > 3, поэтому

Rm= lim Rk= 1,

R„

т? +

У Гі

1)

к-уоо

m (m -l-

и согласно

неравенств (1.2) будем иметь

- <

V.

1

,

т + 1

,

ч

< —-------

(/И>3).

т

L ik 2 +Ѵк

т*+ У'т

При ме р

3.

k—m

S

У 2 -і- sin к

Тк

■

£-1

Возьмем как вспомогательный ряд бесконечную гео­

метрическую

прогрессию

2*

2т —

(т > 1).

Тогда

bk

1

•,

R = lim

2m-i

ак

У~2 + sin к

£ - ►0 0

1 2

г sin к

У З

По общему признаку данный

ряд

сходится.

Учитывая,

что

—

согласно

оценки (1.2) получаем

уз

о с

_____ __________

_ J _ <

y i c tt;! " *

< v s _

(„ ,> !).

2m_1

LA

2*

1

§ 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ.

ОЦЕНКИ ОСТАТКОВ

Положим

bk — zk—•zk+1.

Тогда

Brn=

У

bk= zm— lim ^к-

k=m

мости.

приз на к

Куммера .

Положитель­

О б о б ще н н ы й

ный

ряд

(Л)

сходится,

если

можно подобрать такую по­

ложительную последовательность

*\ что

для некото­

рого фиксированного

I

R = lim

ick+iak+i

ck+i+\ak+i-vi) ^ О-

k~+oo

Ряд (А) расходится, если

/? = \m — {ckak- c k+xak+l) < О

и расходится ряд

оо

п=*т

(1.3)

zk= ck+lak+l.

Доказательство.

П рі^м

Если

/?>0,

то

существует такое число N,

что bk = ck+lak+l — ck+l+xak+l+x> О

для

k >

N.

Тогда

последовательность

частных

сумм

П

'Z bk:==cm+iam+i — cn u ^ an+i+\

( n > m > N ) ,

как

возрастаю-

Л=лг

и ограниченная

сверху,

имеет

конечный

предел

при

щая

п —»со,

т. е.

Вт = 2 bk=

cm+iam+i - lim спап< оо.

k=m

П-+со

В этом

случае по общему признаку

ряд (Л) сходится.

_

л—1

< О Для n > m > N ,

т. е. стат —

Если же R < 0, то £

k—m

— спа„ < 0 или ап>

для всех /г> т > N. Следовательно,

если

ряд

СП

то

по

признаку

сравнения

расхо­

(1.3) расходится,

дится

и

ряд (Л).

(Л),

согласно (1.2), получаем

Для

сходящегося ряда

оо

(Сл+/««+/ -

lim спап) <

У] ап <

R

л - о о

h J

п=т

< - іг

(cm+fim+i -

lim спап),

(1.4)

Нт

п-+о°

О выборе

последовательности { с

см. в п. 2.8.