книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов
.pdfАКАДЕМИЯ НАУК МОЛДАВСКОЙ ССР
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ
Ю. В. Чугаевский
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ
И БЫСТРОПЕРЕМЕННЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
- - J h г |
- ^ i I j 1 |
Э К |
ч П л ч |
ИЗДАТЕЛЬСТВО ,ШТИИНЦА“ * КИШИНЕВ *1974
________________________
ГОС. ПУБЛИЧНАЯ
ha v !-h :о-тг........:ч еск А я
сс с р
УДК 534; 533.95; 621.375; 577.3
Монография посвящена интенсивно развивающейся в послед ние годы теории нелинейных волн в средах с дисперсией и па мятью. Рассматриваются простые, уединенные ("солитоны "),кноидальные и меморонные еолны в акустике, оптике, магнитной гравигидродинамике, гемодинамике. Исследуются нелинейно-ди сперсионная эволюция волнового Еозмушения. эффекты самовоздейстЕия в пупках, "эллиптический" згук, "гиперсвет" и при чинность, солитонный распад как причина квантования и соли тоны как частицы. С нелинейно-дисперсионных позиций анализи руется ряд биофизических аспектов - сверхпроводящий "бисолитонный" характер нервного возбуждения, природа избирательной проводимости биологических мембран, проблема энергетической оптимальности работы сердечно-сосудистой системы, структура гемодинамического импульса, вопросы расшифровки пульсовых осциллограмм и т .п .
|
The monograph is |
dedicated, |
to the |
theory |
of |
nonlinear |
||||||
wayea.ih mediums with dispersion and memory, which is |
|
in ten - |
||||||||||
stvely developing during tbe last years. The |
sim ple, solitary |
("a o - |
||||||||||
lit o n s "), cnoldal and memoronic |
v/aves |
in |
acoustics, |
optics, |
||||||||
magnetic |
gravihydrodynamics, hemodynamics |
are |
investigated. |
|||||||||
A. nonlinear-dispersive |
evolution |
of waves, nonlinear |
effects |
|||||||||
in bunchesan |
"e llip t ic " |
sound, |
"hyperlight" |
and causality, |
||||||||
the |
soliton ic |
decay as |
a cause of a quantization |
and |
s o il- |
|||||||
tons |
as |
particles are |
considered in i t . A row_of |
biophysical |
||||||||
aspeots |
ia analysed from |
nonlinear-dispersive" |
" positions |
|||||||||
such the |
superconducting |
" b iso lito n ic" |
character |
of |
nervous |
excitation, the nature of the selective conductivity of bio-
logioal membranes, |
the problem of a power optimum in |
the |
work of the heart-vascular system, the structure of the |
he |
|
modynamic impulse, |
etc. |
|
ответственный редактор доктор физ.-матем.яаук
С.2 . Москаленко
(g)Издательство "Штиинца", 1974 г.
Ч105-74
М755(12)-74
ВВЕДЕНИЕ
Нелинейная волновая динамика воегда привлекала исследова телей трудностью и высокой эвристичностью своих проблем. Однако если в газо - и гидродинамике и отчасти в теории поля нелинейные
волны являются традиционным объектом исследований, то система тический интерес к ним в других облаотях физики отал проявлять ся сравнительно недавно. "Нелинейная поляризация" физики имеет, однако, выраженную тенденцию быстрого роста, подтверждением че
му может служить значительное число опубликованных только |
за |
последнее десятилетие монографий, сборников и обзоров [I - |
20J, |
касающихся как вопросов теории нелинейных волн в отдельных |
об |
ластях физики, так и методов и проблем нелинейной волновой |
ди |
намики в целом. |
|
|
|
|
|
Одним из интенсивно развивающихся направлений |
нелинейной |
||||
волновой динамики являются нелинейные волны в средах |
с |
диспер |
|||
сией. Известно, что нелинейные тенденции имеют свойство |
накап |
||||
ливаться. Плоская интенсивная волна, |
в частности, с |
течением |
|||
времени укручивает передний или задний фронт, |
т.е.делается |
бы-' |
|||
строп временной. Когда ширина фронта |
становится |
соизмеримой |
с ха |
||
рактерным геометрическим параметром |
системы, начинают проявлять |
||||
ся дисперсионные эффекты и волновой процесс на |
этом |
этапе- |
сле |
дует рассматривать уже как нелинейно-дисперсионный.Причиной дис
персии, как известно, могут быть не только |
геометрические |
раз |
|||
меры проводящей волну системы, |
но и ее молекулярная структура, |
||||
регулярные неоднородности среды |
(дисперсность), я также диоои- |
||||
пация, |
которую можно рассматривать как мнимую дисперсию. |
|
|||
Следует заметить, что"дисперсия" как |
зависимость |
скорости |
|||
волш |
от частоты или волнового |
числа является частным |
проявле |
||
нием "памяти" среды, состояние |
и свойства |
которой в данный |
мо |
||
мент зависят от предыстории. Уже простое.введение понятия |
ча |
||||
стоты |
означает использование информации о |
поведении возмущения |
в течение некоторого времени до настоящего момента.С другой сто роны, память является наиболее общим типом временной дисперсии, учитывающей не только частотные характеристики сигнала,во и его
3
длительность и геометрию. Учет памяти приводит к появлению в волновых уравнениях высших производных или интегральных опера торов вольтеррозского типа. Последнее обусловлено интегральной формой уравнения состояния
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#(r,t)=J B(r,fi)f(rt4 )oU! |
|
|
|
|
U) |
|||||
|
|
|
о |
|
|
таких интегралов). Функции Л |
||||||
(или, в более |
общем случае, сумма |
|||||||||||
и В |
могут быть |
скалярами |
(давление |
и плотность |
в акустике |
жид |
||||||
к ости ), векторами (поля и индукции |
в электродинамике), тензора |
|||||||||||
ми (напряжения и деформации в теории упругости). |
|
|
|
|
||||||||
|
Связь (I ) |
" |
континуальных моделях вводится |
в форме |
|
посту |
||||||
лата, |
в связи |
с |
чем ядро |
f ( r } t ) , |
являющееся, |
вообще, |
|
тензор |
||||
ной функцией, |
отражающей свойства |
среды, закладывается |
в |
урав |
||||||||
нения эмпирически. Наиболее популярен такой подход |
в |
реологи |
||||||||||
ческих теориях |
(например, |
[2 1 ]). |
Сднако св я зь .(I) может |
|
быть по |
|||||||
лучена на молекулярном уровне - |
из |
структурного |
уравнения |
со |
||||||||
стояния среды, которое в синтезе с |
феноменологическими |
|
уравне |
|||||||||
ниями движения приводит к |
некоему |
|
"континуально-структурному" |
|||||||||
подходу к динамике сплошных сред. |
В |
предлагаемой |
книге |
|
такой |
|||||||
подход проводится при описании акустических волн в |
жидкости и |
|||||||||||
кристаллической |
решетке, |
пульсовых |
волн в сосудах, |
а также |
элек |
|||||||
тромагнитных .волн в диэлектриках, |
В плоском случае |
удается |
най |
ти точные решения получающихся при этом интегро-дифференциаль
ных уравнений - так называемые |
"меморонные" волны. |
|
|
|
Первыми исследованиями нелинейных дисперсионных |
волновых |
|||
процессов явились работы Буооинеска, Кована, |
Релея |
и некоторых |
||
других математиков и механиков |
прошлого века, |
касающиеоя грави |
||
тационных волн на мелкой воде |
[2 2 ]. Кортевег |
и де |
Вриз |
[23] |
теоретически получили особый тип нелинейного возмущения |
на во |
|||
де - уединенную волну, представляющую одиночный горб о |
неизме- |
|||
няющейся, в отличие от римановской волны, стационарной |
геомет |
рией, жестко связанной со скоростью распространения. На сущест
вование таких волн впервые обратил внимание Рассел |
[22] . Поми |
|||
мо |
уединенного решения, уравнение Кортевега - |
де Вриза допуска |
||
ло |
стационарные периодические волны, названные |
ими кноидальными. |
||
|
После более чем полувекового "тилого забвения" |
уравнение |
||
Кортевега - де Вриза вдруг обрело "вторую молодость", чалу |
ре |
|||
троспективно нетрудно найти историческое объяснение.Сейчас |
шо- |
|||
яснилось, что уравнения этого типа имеют, фигурально |
выражаясь, |
достаточно высокий "индекс общности" и, помимо волн |
на |
в о д е ,i |
|||||||||||
опиоывают широкий класс волновых процессов |
в дисперсионных |
сре |
|||||||||||
дах: |
волны |
в |
плазме [24 |
- |
2 7 ], |
где |
уединенный |
импульс на |
|||||
зван |
Забуским |
и |
Крускалом |
[2 8 ] "солитоном", |
акустические |
||||||||
волны в жидкости и кристаллической цепочке |
[[29], |
элек |
|||||||||||
тромагнитные колебания в нелинейных линиях |
[3 1 ], |
пульсовые |
ос |
||||||||||
цилляции в |
сосудах |
[з и ]. |
Близкими уравнениями описываются |
ме- |
|||||||||
зометеорологические |
волны |
[32] |
и волны в |
открытых |
руслах |
[ЗЗ], |
|||||||
|
Естественно, что существенно продвинуться в |
анализе |
нели |
||||||||||
нейно-дисперсионных процессов |
удается, |
только |
ограничившись |
плоскими возмущениями в безграничных средах и слабодксперсионным или слабонелинейным приближениями. Да и в этом случае наи больший успех достигается, в основном, в теории стационарных
волн. Это особенно относится к исследованию тех волновых урав
нений, которые, в отличие от уравнения |
Кортевera - де |
Бриза, |
||
описывают биориентировавные волновые |
процессы, |
охватывающие, |
||
в частности, эффекты взаимодействия |
встречных возмущений, от |
|||
ражения от границ и т .п . Семейство уравнений такого типа |
не |
|||
прерывно пополняется исследованиями |
едва |
ли не во |
всех |
разде |
лах физики. И все-таки состояние общей теории нелинейно-диспер
сионных волновых процессов оставляет место для оптимизма, |
как |
|
в смысле развития аналитических поисков точных и |
приближенных |
|
решений, так и в смысле все большего привлечения |
машинной |
мате |
матики для решения ее задач. |
|
|
Все возвращается на круги свои. Б годы ошеломляющих успе хов квантовых представлений Дамб о горечью писал о пренебреже нии классической гидродинамикой [2 2 ]. Глубокая ирония сквозит
втом факте, что объективная необходимость перехода к нелиней-_ ному описанию физических объектов потребовала вернуться к "классическим ценностям" вообще и к классической гидродинамике
вчастности. Проясняется то, безусловно позитивное,обстоятель ство , что квантовая физика и'классика отнюдь не так уж несов
местимы. Более того, имеющиеся результаты в нелинейно-диспер
сионном описании структурных систем, таких, например, как атом ные цепочки, позволяют думать, что квантовые представления
займут, наконец, свое место в классической картине мира,по что
так глубоко верил, один из творцов теории квантов - ййнштейв.
Воистину поучительное возвращение "блудной дщери" в лоно этой "наивной старушки" с ее "дурацкими" вопросами о "здравом смы сле" - быть может, лучшее подтверждение единства физики.
Выбор материала, вошедшего в книгу, определялся интереса ми автора. Библиография ни в коей мере не претендует на полно ту : литература по нелинейной теории воля достигла в настоящее время гомеровых размеров - простое перечисление даже наиболее значительных публикаций, вероятно, превысило бы размеры этой книги.
Автор приносит свою искреннюю благодарность С.Н.Чумаченко,
усилиями которой издержки, связанные с публикацией рукописи, бы-' ли сведены до минимума.
ГЛАВА I
АКУСТИЧЕСКИЕ ВОАНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ ЖИДКОЙ СРЕДЕ
Котя в 50-60-х годах были достигнуты определенные успехи |
||
в статистическом |
описании жидких сред |
(например, [3 4 -4 1 ]) .урав |
нение состояния |
жидкости остается, тем |
не менее,по-прежнему од |
ним из наиболее слабых мест молекулярной физики. Обстоятельство это связано не только с тем, что жидкое состояние "на краях” вы рождается в газ и твердое тело и поэтому традиционно,как всякий
промежуточный |
случай, |
вызывает при описании наибольшие |
трудно |
||
сти . Дело еще |
и в том, |
что структура любой сплошной среды |
су |
||
щественно определяется |
динамическими процессами, |
происходящими |
|||
в ней. Одна и |
та же среда может проявить себя как |
газ, |
жидкость |
или твердое тело в зависимости от интенсивности и скорости про текающих в ней процессов. Достаточно упомянуть в этой связи,что диффузия твердых металлов может описываться в "жидкостном" приб лижении, а теория соударения твердых тел на сверхвысоких скоро
стях, например, теория кумулятивного эффекта |
[4 2 ] , достаточно |
убедительно строится на основе парадоксальной |
на первый взгляд |
газо,динамической модели. |
|
Стремление получить "глобальное" уравнение состояния,в связ ей с этим, может выдаться в "тупиковый максимализм", в то время
как некоторое частное, модельное уравнение, |
ориентированное на |
||
.определенный круг процессов, может оказаться |
не |
каком-то |
этапе |
'"проходной пешкой", чему нетрудно найти прецеденты. |
|
||
§ I . Уравнение состояния |
|
|
|
Акустическое возмущение в жидкости можно |
определить |
как |
"быстропе^ёменное", если его длительность соизмерима с времена ми, характеризующими колебания взаимодействующих молекул. Длину такой волны можно условно считать геометрическим параметром,оп-
7
ределягащим область |
ближнего порядка” . |
Квазикристаллическая |
||||||||||
структура |
этой области позволяет |
рассматривать |
каждую части |
|||||||||
цу |
как элементарный осциллятор |
с |
некоторой |
усредненной |
соб |
|||||||
ственной |
частотой |
ш , положение |
которого |
за время |
прохождения |
|||||||
|
|
|
|
возмущения |
не |
успевает |
за |
|||||
|
|
|
|
метно |
измениться |
("временный |
||||||
|
|
|
|
порядок"). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим быстроперемен |
||||||
|
|
|
|
ную плоскую волну |
давления р = |
|||||||
|
|
|
|
- |
р ( х , t |
) |
в |
мономолекуляр- |
||||
|
|
|
|
ной жидкости, |
выделив |
для про |
||||||
|
|
|
|
стоты |
одну |
цепочку |
частиц |
|||||
|
|
|
|
(р и с .1 ). |
При |
разности |
|
давле |
||||
|
|
|
|
ния р„т |
между |
соседними |
||||||
|
|
|
|
частицами |
п |
|
и |
т |
уравне |
|||
ние |
их |
движения |
можно записать |
|
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
где |
иПг7) - расстояние, |
на которое |
сблизятся |
или |
удалятся эти |
|||||||||||
частицы под действием вариации давления |
p nm , ju |
|
и |
& - |
||||||||||||
масса |
и эффективное |
сечение |
частиц, |
|
ы. |
- |
упругая |
константа |
||||||||
(в нелинейном случае - |
функция |
смещения |
ипт ), |
/) - |
констан |
|||||||||||
та |
релаксационной диссипации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Усредняя |
уравнение |
(I) |
по |
числу |
частиц |
на единицу |
длины |
|||||||
и |
вводя средние функции |
|
й „т = и ( £ ) |
и |
Р „ т = Р ( t ) |
в урав |
||||||||||
нение |
(I) |
индексы п, m |
можно опустить: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-f-сСы = —/зб". |
|
|
|
|
(2) |
||||
В случае |
трехмерной |
волеш |
р =. р ( 7 г ) |
усреднение, |
очевидно, |
|||||||||||
проводится по единичному объему. Следующие |
ниже |
рассуждения |
||||||||||||||
и |
выкладки справедливы после этого и в общем случае. |
|
|
|||||||||||||
|
|
Число частиц в |
единице |
объема |
N |
и среднее |
межмолекуляр- |
|||||||||
hoe расстояние |
t |
связаны |
соотношением |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
г~3= |
( |
t0 + и ) ' 3 , |
|
|
|
|
|
|
(з) |
Где t0 - значение I в невозмущенной среде. С точностью до квадратичных знаков соотношение (3) расписывается как
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Su*\ |
( 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? г ) |
|
Дня плотности |
р |
отсюда |
вытекает |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р ' |
\р = Nop ~3pN0 ^ PL'j +ftpN0 ^-jf-j2~Ро~3ft> (~^)*6я (^ ) ’ (Ь ' |
||||||||||||
где |
ро = pN0 |
= |
. |
- |
равновесное |
значение плотности,В квдд |
|||||||
ратичном приближении вариацию плотности |
р |
можно,следователь |
|||||||||||
но, |
записать |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? - Р - Л - з * х + * Р - Ш |
|
|
( 6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Разрешая это |
уравнение |
относительно |
Р- |
, получим |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
Перед радикалом взят знак минус, поскольку |
и — «- |
О при Д — ft |
|||||||||||
|
Первые |
два |
члена в степенном разложении функции (7) |
даю?5 |
|||||||||
|
|
и _______ J L . |
2 Р * |
|
|
|
|
|
(В) |
||||
|
|
lo |
tyo |
Я р* |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Умножив теперь все |
члены уравнения (2) |
на |
Ьо |
|
и переписав |
||||||||
его |
в терминах функций |
^ |
^ |
|
|
|
|
состояния |
|||||
р |
и |
р , |
получим уравнение |
||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-РРг |
|
|
4 £ |
РР |
+ шор |
|
|
|
|
|||
|
3Ро |
|
|
Зро |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
оС |
/ = |
зл/пб- |
f i |
= р |
|
|
(9j |
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
||||
|
Нелинейные члены этого |
уравнения |
носят |
соответственно |
|||||||||
инерционный (второй и третий члены), |
диссипативный (пятый член) |
||||||||||||
и неупругий (седьмой член) характер. |
Следует, кроме того,иметь |
||||||||||||
в вида', что при значительных' вариациях |
плотностц |
появляетоя |
|||||||||||
энгармонизм в виде функции с<= с((р ). |
• |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Хотя использование |
уравнения |
(9) |
в полной форме,разумеет |
|||||||||
ся , |
математически |
затруднительно, |
тем |
не менее, |
в |
усеченном |
Зак.240 |
9 |