книги из ГПНТБ / Кахан, Ж. -П. Случайные функциональные ряды
.pdf
SOME RANDOM SERIES
OF FUNCTIONS
J E A N - P I E R R E K A H A N E
Professor of Mathematics
University of Paris
D. C. HEATH AND COMPANY
A division ol Raytheon education company Lexington, Massachusetts
19o8
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА „МАТЕМАТИКА"
Ж.-П. КАХАН
СЛУЧАЙНЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ
Перевод |
с английского |
Б. и. |
ГОЛУБОВА |
Под |
редакцией |
А. В. ЕФИМОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
МОСКВА 1973
УДК 517.52 + 619.2
1S3
7414'ZZ f
Книга известного французского математика Ж--П. Кахана посвящена вопросам взаимосвязи методов теории вероятностей с методами теории рядов и интеграла Фурье. В ней показано, что использование вероятностных методов может оказывать существен ную помощь в анализе рядов Фурье, и наоборот, использование методов теории рядов Фурье позволяет получить ряд интересных •результатов при изучении некоторых случайных процессов.
Для чтения книги достаточно знания общей теории сходимости и суммируемости рядов Фурье и основ теории вероятностей.
Книга будет полезна как специалистам по теории функций и теории вероятностей, так и специалистам по прикладной матема тике. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов.
Редакция литературы по математическим наукам
К |
0223—029 |
© Перевод на русский язык, „Мир", 1973. |
04К0П—73 |
ПР Е Д И С Л О В ИЕ
Воснову этой книги положена серия заметок Пэли и Зигмунда [2], озаглавленная «Некоторые функциональ ные ряды» и опубликованная более 30 лет назад. Вот
типичный результат: если даны такие действительные
0 0 оо
числа ап, что 2 а» = 0 0 . |
то ряд 2 ± |
a„cosn/ не является |
1 |
1 |
|
рядом Фурье — Лебега |
для почти |
всех последователь |
ностей знаков ± . Интересная особенность этой теоремы состоит в том, что неизвестно, каким образом построить такую последовательность в явном виде.
Это пример довольно общей ситуации. Может слу читься, что трудно и даже невозможно найти матема тический объект с некоторыми данными свойствами, но очень просто указать случайный объект, который обладает этими свойствами почти наверное. Первая цель этой книги заключается в том, чтобы дать не сколько примеров такого рода и показать, что исполь зование вероятностных методов может оказаться весьма
полезным |
в классическом анализе, главным образом |
в анализе |
Фурье. |
Другая |
цель книги состоит в использовании мето |
дов Фурье при изучении некоторых случайных процес сов. Для периодических гауссовских стационарных про цессов и для броуновского движения разложения Фурье п,ают очень точную информацию о регулярности или нерегулярности, об области значений и множествах уровня. Хотя теория случайных процессов в течение последних лет хорошо разработана, может оказаться, что использование анализа Фурье даст новый импульс для ее развития.
6 |
ПРЕДИСЛОВИЕ |
Наконец, некоторые функциональные ряды, по-види мому, заслуживают изучения и сами по себе вне зави симости от возможных приложений. Я имею в виду,
0 0
в |
частности, |
случайные |
ряды Фурье вида 2± ап |
cos nt |
|
|
|
о |
|
|
|
|
оо |
|
и |
случайные |
ряды сдвигов 2М^ —*i)> которые |
иссле- |
|
|
|
|
1 |
|
довались в диссертации |
Билларда. |
|
||
|
Я ограничился рядами случайных независимых |
функ |
||
ций. Поэтому в книгу не включена работа А. Гарсиа [1], которая является одним из самых прекрасных приме ров использования вероятностных методов в анализе Фурье. Я не включил в книгу ни конструкции случай
ных множеств Р. |
Салема [2, 3], хотя и |
рассматриваю |
ее как постоянный |
источник идей (см. |
главу XV), ни |
своей совместной с Б. Мандельбротом работы (см. Кахан и Мандельброт [1]), посвященной близким вопросам. Более того, даже в этой ограниченной области книга далеко не полна. В частности, я оставил вне рассмо
трения |
работы |
Литтлвуда |
и Оффорда [1], а |
также |
Оффорда [1] о |
случайных |
целых функциях, |
которые |
|
сами по себе достойны отдельной книги. |
|
|||
Эту |
книгу могут читать |
студенты старших |
курсов, |
|
но на самом деле она предназначена для научных ра ботников. После вводной главы, в которой собраны не которые факты теории вероятностей, в главах I I и I I I закладываются основы всей теории — ряды независимых
векторнозначных случайных |
величин в банаховом |
или |
|
гильбертовом пространствах. Глава IV о рядах Тейлора |
|||
довольно элементарна; если читатель хочет |
усвоить |
||
лишь идею книги, то он |
может обратиться |
к |
ней, |
не читая предыдущих глав. Напротив, глава V, посвя щенная рядам Фурье, использует все важные резуль таты об общих случайных рядах; она содержит прекрас ные теоремы Пэли — Зигмунда [2] и Билларда [4]. В трех следующих главах снова идет речь о рядах
Фурье. |
Главы |
V I и V I I |
посвящены использованию, |
|||
метода |
Салема и Зигмунда [1], который |
дает оценки |
||||
случайных |
тригонометрических полиномов. |
В главе |
V I I I |
|||
идет речь |
о |
свойствах |
нерегулярности, |
таких, |
как |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ |
7 |
нигде недифференцируемость или расходимость всюду. Главы IX и X посвящены рядам сдвигов на окружности: рядам характеристических функций интервалов и рядам точечных масс. Далее речь идет о рядах с гауссовскими коэффициентами, в частности о рядах Тейлора (глава XII) и о рядах Фурье (главы X I I I и XV). В главе XIV выясняется связь с броуновским движе нием. Каждая глава содержит историю вопроса, кроме того, в конце книги имеются замечания и список лите ратуры.
Первоначальной основой этой книги является курс лекций, который я прочитал в Монреальском универси тете (Канада) в 1963 г. С. Дюбук отредактировал их и сделал некоторые уточнения. Имелось и несколько промежуточных вариантов; при окончательном редакти ровании я воспользовался советами и замечаниями,
сделанными К- Герцем, Р. Оссерманом, П. |
Коозисом |
и Г. Вейссом, относительно предыдущих |
вариантов. |
Жан-Пьер |
Кахан |
Факультет наук Д'Орсэ
Г л а в а |
I |
НЕКОТОРЫЕ |
ФАКТЫ |
ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.Введение
Вэтой книге нам не понадобится много новых све дений из теории вероятностей. Все, что нам необходимо,
было |
довольно |
хорошо |
|
известно |
к |
1930 |
г. |
Начнем |
||||
с разъяснения подхода Штейнгауза к этой теории. |
|
|||||||||||
|
Согласно Штейнгаузу, вероятностное пространство — |
|||||||||||
это просто сегмент [0,1] действительной прямой. |
Слу |
|||||||||||
чайная |
величина — это |
функция, |
заданная |
на [0,1]. |
||||||||
Событие — это |
измеримое |
множество |
на [0,1]. |
Вероят |
||||||||
ность события — это его лебегова мера. |
Математическое |
|||||||||||
ожидание случайной величины (если |
оно существует) — |
|||||||||||
это |
ее |
интеграл |
Лебега. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
двоичное |
разложение |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
c u = S p n 2 " " . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
где |
сос=[0, 1], р„ = рп(со) = |
0 |
или |
1, |
причем |
2 |
Рл = |
°°, |
||||
за исключением |
случая, когда |
со = |
0. |
Здесь |
р„ — в обыч |
|||||||
ном смысле взаимно независимые случайные величины,
причем |
каждое |
р„ принимает |
значения 0 и 1 с одинако |
|||
вой вероятностью, |
равной |
1/2. Теперь положим |
||||
|
со/ = |
со/ (со) = |
S |
р т ( П 1 / ) 2 ~ л , |
||
где Д/ = |
{1,2, 3, |
. . . } , |
a |
m — взаимно однозначное ото |
||
бражение множества N2 |
в N. |
Тогда со/ — снова взаимно |
||||
независимые в обычном смысле случайные величины. Теперь каждая из них равномерно распределена на [0,1], т. е. если задан под'интервал / из [0,1], то вероятность со-множества, на котором сй|(<в)е/, есть длина /.
10 |
ГЛАВА I |
Величины |
(3„ тесно связаны с функциями Радемахера. |
Если положить
е л = 1 - 2 р п >
то, исключая конечное множество двоично-рациональных
точек, е„((о) |
есть не |
что иное, |
как |
я-я |
функция |
Раде |
махера. |
|
|
|
|
|
|
Величины |
ю/ часто называются |
функциями |
Штейн- |
|||
гауза. |
|
|
|
|
|
|
Читатель |
может |
иметь в |
виду |
эту |
модель, когда |
|
идет речь о «последовательности Радемахера» или «по следовательности Штейнгауза». Эти понятия будут определены позднее; однако мы ничего не потеряем, если вместо последовательности Радемахера будем пред
ставлять |
себе |
последовательность в|, е2 , |
е„, |
|
а вместо |
последовательности Штейнгауза — последова |
|||
тельность |
©!, |
ш2, |
соп, . . . . |
|
Тем не менее будет удобнее ввести несколько иную модель и пользоваться языком современной теории вероятностей. И начиная с этого момента нашими основ ными источниками будут классические книги Сакса [1] и Колмогорова [2], а также Лоэва [1] и Мейера [1].
|
|
2. Основные понятия |
|
|||
Введем |
определение вероятностного |
пространства |
||||
(Q, зФ, Р). |
Символ Й обозначает |
некоторое множество. |
||||
Через s4- обозначено |
cr-поле на |
й. |
Это |
значит, что s4- |
||
состоит из подмножества множества Q, содержит пустое |
||||||
множество |
0 |
и замкнуто относительно операций допол |
||||
нения и взятия счетного множества объединений. |
||||||
Наконец |
Р — это |
вероятность |
на (Q, $$•), другими |
|||
словами, положительная мера с общей массой, равной
единице. Это |
значит, |
что Р (А) |
определено для |
всякого |
||
л<=^, р(Л)€=[о,1], |
P(Q) = |
I |
и Р(2АО=2Р(АО |
|||
для всякого |
счетного множества |
взаимно непересекаю |
||||
щихся множеств |
Ап |
(Ап е s&). |
|
|
А^.зФ, |
|
Кроме того, |
мера |
P полна. Это значит, что |
||||
как только А содержится в некотором множестве |
flEi, |
|||||
таком, что P (В) = 0. |
Полнота |
не |
всегда предполагается |
|||