книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Предисловие

...............................................................................

5

Г л а в а

I.

Некоторые свойства эмпирической функции распределения

7

§

I.

Распределение мер отклонения Sn (х)

от

F (х)

.

.

7

§

2.

Леммы о производящих функциях и преобразованиях

Лапласа

..................................................

14

§

3.

Распределение

статистики

D+ (0!, 6а)

. .

.

24

§ 4 .

Распределение

статистики

£\,(6i, 0г)

. . .

.

48

Г л а в а

II. Непараметрическаяоценкаплотностираспределения

67

§

I. Равномерная

сходимость у~п

к f (х)

■

■

68

§

2.

Лемма о

вероятностяхбольших

уклонений

. .

.

70

§ 3.

Построение доверительных областей для плотности рас­

пределения

96

§

4.

Непараметрическая

оценка плотности

двумерного

рас­

пределения . . .

. .

96

Г л а в а

III.

Непараметрическая оценка плотности распределения

в

случае двух неизвестных мер-

.

.

. 1 0 5

§

1.

Состоятельные

оценки

п л о т н о с т и .......................................

105

§

2.

Асимптотическое поведение

распределений

.

.

. 1 1 5

§

3.

Дополнения

128

Г л а в а

IV.

Параметрическая

оценка

функции

нормального

рас­

пределения

133

§

1.

Моменты

и

максимальная абсолютная

погрешность

па­

раметрической оценки функции нормального распределения

134

§

2.

Некоторые

свойства

максимального

абсолютного

рас­

хождений двух параметрических оценок функции нор­

мального

распределения .

.

.

. . .

.

136

§

3.

Предельное

распределение

максимального

абсолют­

ного расхождения двух параметрических оценок функ­

ции нормального распределения

........................................

139

Г л а в а

V.

Свойства

параметрической

оценки

плотности

распреде­

ления

146

§

1.

Статистики,

связанные с

параметрической

оценкой

плотности

распределения

146

§

2.

Моменты

параметрической

оценки

плотности

распре­

деления

149

§

3.

Распределение

некоторых

функций

от нормальных

и

асимптотически

нормальных

случайных векторов

.

. 154

пределения

................................................

169

§

1.

Параметрическая

оценка

плотности

одномерного

нор­

мального

распределения

170

§

2.

Параметрическая

оценка

плотности

многомерного

нор­

мального

распределения

снезависимыми компонентами . 180

§

3.

Моменты

параметрической оценки плотности много­

мерного

нормального распределени я........................................

186

ного

распределения ...............................................................

207

§ 6.

Параметрическая оценка плотности логнормального рас­

пределения

209

§ 7.

Один случай асимптотического анализа мощности кри­

терия

с участием параметрической

оценки плотности

распределения

212

П р и л о ж е н и е

.

.

.

.

.

.

.

.

. . .

219

Л и т е р а т у р а

...................................................................

...........

.

. 2 3 1

У к а з а т е л ь ............................................

..

.

.

. 238

доказаны теоремы

о распределении супремумов одностороннего

и двустороннего отклонений эмпирической функции распределе­

ния — простейшей

непараметрической оценки неизвестной функ­

говой,

а

по неизвестной вероятностной

мере,

информация о

которой

содержится

в выборке

из соответствую шей генеральной

совокупности. Такие оценки рассматриваются в

главе

III.

В главе IV, посвященной параметрической оценке функции

нормального распределения посредством

выборочной

средней и

дисперсии,

наряду с

изложением известных результатов о мо­

ментах

оценки и

предельном

распределении

максимального

точность приближения и взаимное расхождение

нескольких оц е­

нок, построенных по независимым

выборкам.

Доказанные в

гл. V общие теоремы используются

для подробного изучения

свойств параметрической

оценки плотности нормального рас­

пределения, которой целиком посвящена гл. VI. Исходя из

предельных распределений

средней квадратической погрешности

можно

строить

различные

критерии согласия и

однородности.

В конце гл. VI мощность такого критерия на простом

примере

сравнивается с мощностью критерия Пирсона.

В приложении

к

книге

помещены таблицы функций не­

которых

предельных распределений из глав I, IV и VI.

Считаю своим

приятным

долгом с чувством огромной бла­

годарности

вспомнить имя одного из основоположников

совет­

ской

школы математической

статистики

члена-корреспондента

АН

СССР

Н. В. Смирнова,

который ввёл

меня в круг

задач,

рассматриваемых в этой книге.

Пользуясь

случаем, выражаю признательность действитель -

ному члену АН УССР Б.

В.

Гнеденко,

ознакомившемуся

с

книгой в рукописи, за полезные

обсуждения и советы.

Хочу

выразить

искреннюю

благодарность моим

коллегам

К. В. Манджгаладзе,

Э.

А.

Надарая,

Р. Я.

Читашвили

и

Г Л А В А

I

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА эмпирической функции

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Самой естественной оценкой функции распределения F (х)

случайной величины X по выборке

Х х, ... ,Хп из генеральной

совокупности X является эмпирическая функция распределения

S n(%), равная относительной частоте

тех выборочных значений,

которые меньше х.

Sn(x),

Детальное изучение свойств

заключающееся в

исследовании мер отклонения Sn(х)

от F (х),

с помощью кото­

заслугой советских математиков В. И. Г л и в е н к о ,

А. Н. К о л ­

м о г о р о в а , Н. В. С м и р н о в а , Б. В. Г н е д е н к о ,

Ю. В. П р о ­

х о р о в а ,

А. А. Б о р о в к о в а ,

И. И.

Г и х м а н а ,

В. С. К о ­

р о л ю к а,

В. С. М и х а л е в и ч а ,

Н. Н. Ч е н ц о в а и др.

В этой главе, после краткого обзора основных

результатов

о распределении мер отклонения

Sn (х) от F (х),

изучено

рас­

пределение супремумов одностороннего

и двустороннего откло­

нений Sn(x) от F (х) на заданном участке роста

F(x).

Не­

степень согласия

Sn (x) с

F(х) часто бывает

разной на раз­

ных частях прямой, имея

тенденцию ухудшаться

на «хвостах»

распределения.

Знание их

свойств

позволяет

решить вопрос о

пригодности F (х) на том участке ее роста, где имеющийся

статистический

материал

наиболее

надёжен

для

проводимого

сравнения.

§ 1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МЕР ОТКЛОНЕНИЯ

Sn (х)

ОТ F (х)

В качестве

меры отклонения Sn (х) от

F (х)

в разное время

Dn(0!, е2) =

sup

|Sn (x) — F (x)\ ,

x£M( e1( 02)

F>n(0lt 02) =

sup

[Sn (*)

— F{x)\r

X

(Ox,

62)

D~ (0!, 02) =

sup

[F(x) — Sn (x) ],

х£М(Ъи 0a)

Rn (01, 02) =

sup

sn(*) — F (x)

62)

F(x)

X ^ M (0i,

R+n(0i, 02)

=

sup

'

Sn (*) -

F(x)

F(x)

x£M(Oi, 0a)

Rn (0i, 02)

=

SUP

0a)

R(x)

-

sn (x)

F(x)

где

x£M (0„

V ^

V2 ^

1

И

: 01< f ( x ) < 0 2) .

M (0la 0a)

=

{x

Предполагая

F (x)

непрерывной, легко обнаружить, что

распределение

перечисленных

статистик не зависит от вида

F (х).

Поэтому

с

их помощью

могут

быть

построены непара­

метрические критерии согласия.

Исследование

распределения этих

статистик прошло нес­

колько этапов. Сначала были получены предельные при

п -> о о

распределения для

Dn(0, 1),

D+ (0,

1)

и

D ~(0, 1),

а

потом

для

Dn(Q1, 021,

D* (01, 02)

и

D ~(01( 02)

при

произвольных

и

02. Позже

были

найдены

предельные

распределения

Rn (0, 1), Rn (0, 1)

и

Д „(0,

1)-

В

дальнейшем,

в связи

с ус­

тановлением точных распределений упомянутых

статистик, поя­

вилась возможность значительно уточнить

имеющиеся

асимпто-

В 1933

г.

В. И. Г л и в е н к о [82] доказал, что Sn (x) с

вероятностью

1

сходится к F (х) равномерно на всей прямой

Этот

качественный

результат

уточнил

А. Н.

К о л м о г о ­

р о в [86],

установивший

предельное

распределение D „(0, 1)

p { d „ ( 0, l x ^ L } = К(Х) ,

( 1. 1. 1)

где

со

— 2 г2 л2

( - I)'-1

Х > 0

,

sup

|Sn (х) -

F(x) |<

~~==

x^R1-

У п

с вероятностью

а.

Для статистики D „(0, 1)

В.

С. К о р о л ю к о м

[13]

было

установлено

точное распределение,

асимптотическое

разложение

которого содержится в работах [12] и [74].

С целью детального изучения поведения S „(x) Н. В. С м и р ­

н о в

исследовал

односторонние

отклонения Sn (х) от F(x).

В

1939

г.

им было найдено предельное распределение

ста­

тистики

DX (0,

1)

[56]

lim

Р

At( 0, 1) < ~гт==

[ 1 - е- 2Х2, X > о ,

1. 1.2)

( О ,

(

Я—оо

у я

Х < 0 .

Несколько позднее Н. В.

Смирнову удалось

найти и точ­

ное

распределение

D+(0, 1) [57]

X \п

п— 1

, , г—

у (n-i-yx УП г -'-1

1 - 1

] / T V

У я

i=r-\-1

О< X ^ я ,

X >

v Я ,

(1.1.3)

где г = [X У