книги из ГПНТБ / Методы оптимизации в статистических задачах управления
..pdf• *
V*-
m i
\JL/St
г
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
М о с к в а «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 197 4
М41 |
|
УДК 62.505 |
I чит? .-НОІ О ЗАЛА |
К Щ
Методы оптимизации в статистических задачах управления. Батков А. М. и др. М., «Машиностроение», 1974, 240 с.
Книга посвящена вопросам проектирования систем автомати ческого управления в условиях случайных воздействий. Изложены методы расчета показателей точности нелинейных стохастических систем управления. Рассмотрены также задачи анализа специаль ного класса автоматических систем, описываемых линейными диф ференциальными уравнениями со случайными коэффициентами.
В книге представлены современные методы параметрической оптимизации, позволяющие выбрать оптимальные значения пара метров системы управления при заданной структуре. Приведены основные методы расчета оптимального управления стохастическим объектом: динамическое программирование и стохастический прин цип максимума.
Книга рассчитана на инженеров, работающих в области проек тирования систем автоматического управления, научных работни ков, преподавателей и аспирантов.
Табл. 2. Ил. 49. Список лит. 157 назв.
А в т о р ы к н и г и :
А. Л4. Батков, д-р техн. наук (п. 1—5 гл. V); В. М. Александров, канд. техн.
наук (п. |
5 гл. |
I, |
гл. Ill, приложение); А ■ О. Мишулина, канд. техн. наук |
|||
(п. |
4 гл. I, гл. II, |
п. |
1—В гл. IV, п. |
6 гл. V); А. Н. Староверов, [канд. техн. наук |
||
(п. |
1—3 |
гл. 1); |
Б. |
А. |
Щукин, канд. |
техн. на^к (п. 7, 8 гл. IV). |
Рецензент д-р техн. наук проф. Н. И. Андреев
30501-74
М038 (01)—74 270—74
©Издательство «Машиностроение», 1974
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проблема проектирования системы управления в значительной степени сво дится к проблеме оптимизации. Эта проблема охватывает широкий круг задач, некоторые из которых, как, например, принципы формирования критерия опти мальности системы или выбора совокупности параметров, подлежащих настройке, решаются в настоящее время на неформальном уровне. Проблема оптимизации включает в себя также расчет заданных показателей функционирования системы в у'словиях случайных возмущений, выбор оптимальных значений параметров системы, определение оптимального управления динамическими объектами, для которых разработаны аналитические методы.
Современный этап развития теории оптимизации систем автоматического управления характеризуется совершенствованием и широким внедрением ана литических и численных методов расчета систем. Дальнейшее развитие получили теория аналитического конструирования регуляторов, динамическое програм мирование, стохастический принцип максимума. Все более широкое применение находят методы оптимизации, основанные на использовании возможностей циф ровых вычислительных машин.
Предлагаемая читателю работа содержит описание ряда методов решения статистических задач оптимизации, развитых в последние годы и нашедших применение в инженерной практике. Авторы не ставили перед собой задачи обоб щения и описания всех методов оптимизации в статистических задачах и основ ное внимание обратили на наименее освещенные в монографиях приемы и ме тоды расчета оптимальных систем управления.
В теории оптимизации могут быть выделены два класса задач:
задачи параметрической оптимизации, в которых производится выбор ко нечного числа параметров в системе управления при заданной ее структуре; задачи вариационного исчисления, в которых производится выбор конечного
числа операторов или функций.
Оба класса задач характеризуются определенным видом функции или функ ционала, подлежащего оптимизации. Для вычисления функционала необходимо решить задачу анализа системы управления. Широкий класс систем управления описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений конечного порядка. Этот класс систем управления и является предметом исследования в на стоящей книге. Решение задачи анализа детерминированных систем управления не вызывает принципиальных затруднений и может быть сведено к численному решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений на вычислитель ной машине. Проведение анализа стохастических систем управления представляет сложную задачу. Строгое решение этой задачи получено только для линейных систем при гауссовых воздействиях. Если система содержит нелинейные безы нерционные преобразования, то в общем случае возможен лишь приближенный расчет статистических характеристик фазовых координат этой системы. Изло женный в работе приближенный метод, эквивалентный методу статистической линеаризации, позволяет составить конечную систему обыкновенных дифферен циальных уравнений относительно моментных функций выходных координат
анализируемой системы. |
Кроме того, эффективным является подход, основанный |
1* |
3 |
на теории процессов Маркова и приближенном решении уравнения А. Н. Колмо горова.
Из класса нелинейных систем управления можно выделить класс систем, которые содержат мультипликативные помехи. К этому классу относятся, в ча стности, системы, описываемые линейными дисЭДзеренциальными уравнениями со случайными коэффициентами. Для систем управления данного класса разра ботаны специальные методы анализа, позволяющие рассчитать статистические характеристики выходных координат при различных статистических свойствах случайных коэффициентов.
Указанные методы анализа стохастических систем управления позволяют рассчитать статистические характеристики выходных координат путем одно кратного решения на вычислительной машине конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и тем самым существенно сократить время ана лиза.
В инженерной практике широко применяется также метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), требующий проведения многократного модели рования исследуемой системы управления на вычислительной машине. Ряд прие мов, изложенных в работе, позволяет более эффективно организовать процедуру статистических испытаний на вычислительной машине.
Изложенные методы анализа систем управления используются в задачах параметрической оптимизации. Методы параметрической оптимизации систем управления могут быть разделены на три группы:
методы безусловной минимизации; методы оптимизации при наличии ограничений на переменные (задачи не
линейного программирования); методы оптимизации в статистическом случае (стохастическая аппроксима
ция).
Если структура стохастической системы управления объектном не задана, то оптимизация системы производится методами, основанными на достижениях современного вариационного исчисления. Широкое применение нашли метод динамического программирования и стохастический принцип максимума.
В работе рассматриваются не только теоретические положения, но и вопросы практического применения методов.
Авторы надеются, что книга окажет помощь инженерам в деле внедрения в практику современных методов оптимизации систем управления.
Г Л А В А I
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.Применение метода статистической линеаризации
внелинейных статистических задачах
Современные автоматические системы, как правило, работают в условиях помех. Поэтому для анализа точности работы таких систем широко используются теоретико-вероятностные и стати стические методы исследования. Задача анализа точности работы динамической системы состоит в определении статистических ха рактеристик выходных координат системы по известным характе ристикам входного сигнала. При анализе точности сложных дина мических систем иногда достаточно определить первые два мо мента выходных координат системы.
Практически все современные системы управления являются нелинейными, поэтому наибольший интерес представляют методы исследования именно таких систем. Существуют точные и прибли женные методы исследования нелинейных систем. Однако задача точного исследования нелинейной системы чрезвычайно сложна, и применение точных методов ограничено простейшими системами. Поэтому для исследования точности нелинейных систем широкое применение в инженерной практике находят приближенные ме тоды, из которых наибольшее распространение получил метод статистической линеаризации [39].
Сущность метода статистической линеаризации заключается в том, что нелинейная зависимость между случайными функциями
|
*(Й = Ф {*(*)} |
(О |
|
приближенно заменяется |
линейной |
|
|
2л(0 = Фо + М (0 , |
(2) |
||
где фо — математическое |
ожидание |
нелинейной функции |
(1); |
— эквивалентный коэффициент |
усиления нелинейного |
эле- |
|
|
|
о |
|
мента по случайной составляющей процесса на входе; х (t) — слу чайная составляющая процесса на входе нелинейного элемента.
Существуют различные способы определения ф0 и k x. Первый способ основан на том, что эти величины определяются из условия равенства математических ожиданий и дисперсий нелинейной
5
функции |
и приближенной |
линейной [40]. |
При таком |
подходе |
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
Фо = |
= |
44 [ф (х)]; k[1) = ± |
^ - > |
|
где ог я |
ах — среднеквадратические отклонения случайных функ |
||||
ций z (t) и X (t) соответственно. |
|
что при |
|||
Второй способ определения ф0 и k 1 основан на том, |
|||||
ближенная зависимость между случайными функциями опре деляется из условия минимума среднего кавдрата отклонения нелинейной функции и приближенной линейной [40], т. е.
*Л4[(ф(х)— фо — М2)х(0)2] = min. |
(3) |
||
Выражение (3) достигает минимума, если |
|
||
Фо = Л4[ф(х)]; 1 |
|
||
|
М2) = К |
) |
(4) |
|
“XX |
|
|
где dzx — корреляционный |
момент |
случайных функций |
z (t) и |
X (t)\ dxx — дисперсия случайной |
функции х (t). |
|
|
Числовые значения ф0 и |
для определенного вида нелинейной |
||
функции (1) можно вычислить, если известен закон распределе ния X (t). При анализе точности сложных нелинейных систем с использованием метода статистической линеаризации предпо лагают нормальным закон распределения процесса на входе нели нейного элемента. Методы анализа стационарных нелинейных
систем хорошо разработаны и описаны в литературе |
[39, 74, 82]. |
|
Рассмотрим применение |
метода статистической |
линеаризации |
к анализу точности нестационарных систем. |
|
|
Пусть нестационарная |
система ь содержит в своей структуре |
|
безынерционный нелинейный элемент. Широкий класс таких нели нейных систем с использованием метода формирующих фильтров [10, 62] можно описать дифференциальным управлением в век
торной форме: |
|
§ - = Mt) X(1f) + ІіѵФ (хѵ, t) + Вг (t) r(t) + |
B (t) I it)- |
X (0) = *o, |
(5) |
где г (t) — неслучайное воздействие; £ (t) — распределенный нор мально белый шум с интесивностью Q; х (t) — вектор фазовых координат системы; х 0— нормально распределенный вектор на чальных условий, некоррелированный с возмущающим воздей ствием \ (t); А (t) — квадратная матрица переменных коэффи циентов размерности [«, л]; В (t) и B 1 (t) — прямоугольные матрицы переменных коэффициентов системы размерности [л, 1];
6