книги из ГПНТБ / Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли

СОВРЕМЕННЫ Е

ПРОБЛЕМЫ

МА Т Е М А Т И К И

Серия выпускается под общим руководством редакционной коллегии журнала « Успехи математических наук»

ГЛАВШД РЕДАКЦИЯ.

•ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

М О С К В А 1974

Д. П. Ж Е Л О Б Е Н К О

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

НА ПОЛУПРОСТЫХ

КОМПЛЕКСНЫХ

ГРУППАХ Ж

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ Р р д В Д я ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ!

М О С К В А 1974

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Идея гармонического анализа претерпела за 300 лет удиви­ тельные превращения — от призмы Ньютона до абстрактной формулы Планшереля.

Современный гармонический анализ возник из классической теории интеграла Фурье путем выделения и развития основных алгебраических аспектов этой теории. Основное алгебраическое свойство интеграла Фурье можно выразить следующим образом', этот интеграл осуществляет диагонализацию оператора сдвига на прямой. Соответственно, интеграл Фурье осуществляет двой­ ственность между сверткой и умножением, а также диагонализа­ цию оператора дифференцирования.

Значение свертки в теории представлений групп было отме­ чено в 20-х годах Г. Вейлем. Замечательный аналог классиче­ ской теории рядов Фурье был создан в известной работе Ф. Пе­ тера и Г. Вейля [90]. Обобщение свертки на локально компакт­ ные группы оказалось возможным благодаря работам А . Хаара [93], фон Неймана [87], А . Вейля [5]. Дальнейшее развитие тео­ рии естественно связано с развитием общих идей функциональ­ ного анализа (спектральная теория линейных операторов, тео­ рия алгебр фон Неймана). Алгебраическая сущность спектраль­ ной теории была осмыслена и развита в теории банаховых алгебр (нормированных колец) И . М . Гельфанда и его сотрудников. В частности, теория двойственности Л. С. Понтрягина для локально компактных абелевых групп была изложена И . М . Гель­

М . А . Наймарка, которые существенно определили дальнейшее развитие гармонического анализа. Эти работы касаются, с одной стороны, специального класса банаховых алгебр (С*-алгебры) и, с другой стороны, теории унитарных представлений класси­ ческих матричных групп. Установление формулы Планшереля (см. [9]) для этих групп дало конструктивную возможность раз­ вития гармонического анализа в классе функций на группах. В 1950 г. И . Сегалом [911 была установлена абстрактная формула Планшереля для сепарабельных локально компактных унимодулярных групп. Фундаментальные работы по общей теории унитарных представлений полупростых групп Ли принадлежат Хариш-Чандре [96] — [101]. Крупнейшими итогами этих работ

7

явились результаты по описанию характеров представлений дис­ кретных серий и анонсированные недавно результаты по описа­ нию меры Планшереля (см. [101]). В последние годы развивается также общая теория унитарных представлений произвольных групп Ли.

Благодаря созданию теории распределений (обобщенных функций) Л. Шварца, оказалось возможным развитие общей тео­ рии представлений групп Ли в локально выпуклых векторных пространствах. Действительно, именно в рамках теории распре­ делений становится наиболее полным и естественным понятие свертки. Первые результаты в этом направлении естественно

Содержание этой книги ограничено, с одной стороны, рас­ смотрением класса полупростых комплексных групп Ли и, с дру­ гой стороны, вопросами теории двойственности в классах финит­ ных и быстро убывающих, основных и обобщенных функций на группе. Первые результаты в этом направлении были получены в 1958— 1959 гг. в работах автора по финитным функциям и в

жена программа дальнейшего развития этой теории в духе «инте­ гральной геометрии» [8]. В этой книге мы следуем иным, алгебраи­ ческим путем, который основан на анализе Фурье ассоциативной оболочки U(д) алгебры Ли g группы G.

Алгебраический подход к изучению операторных образов Фурье был предложен автором в работах [58] — [61]. Этот под­ ход позволяет свести исследование операторного интеграла Фурье к рассмотрению его специального частного случая — сфериче­ ского преобразования Фурье, которое для рассматриваемого класса групп сводится, в свою очередь, к классическому интегралу Фурье. Это позволяет получить теоремы двойственности (ана­ логи классических теорем Пэли — Винера) для различных классов функций на G. Принципиальным моментом теории является анализ Фурье алгебры U(<}) (операционное исчисление в термино­ логии [60], см. также [47]). Эти результаты позволяют, в част­ ности, дать классификацию неприводимых д-модулей ХаришЧандры и неприводимых представлений группы G в локально выпуклых векторных пространствах.

Пользуюсь случаем выразить свою признательность проф. М . А . Наймарку, беседы с которым стимулировали мой интерес к данному кругу вопросов, М . Дюфло, приславшему препринт своей статьи, а также моей жене за неоценимую помощь при на­ писании этой книги.

Надеюсь, что эта книга может послужить введением в об­ щую теорию представлений полупростых вещественных групп Ли, которая интенсивно развивается в последние годы.

Ч А С Т Ь I

ВВЕДЕНИЕ

В этой части напоминаются известные сведения о представ­ лениях групп и алгебр Ли, а также о структуре полупростых комплексных групп и алгебр Ли. В главе 3 вводятся основные объ­ екты исследования — элементарные G-модули, изучению которых посвящается часть II.

Г л а в а 1. АЛГЕБРА «7(а)

Начнем с описапия хорошо известных фактов о строении комплексной полупростоД алгебры Ли g и ее ассоциативной обо­ лочки] U (д). Несколько более специальным является § 3, в котором изучается градуировка U (д), порожденная присоеди­

ненным представлением полупростой нормально вложенной под­ алгебры g0c g .

§ 1. Алгебра дс

Мы будем рассматривать конечномерные алгебры Ли над классическими полями R и С. Алгебра g назы­ вается простой, если dim g 1 и g не имеет собствен­ ных идеалов (отличных от (0) и д). Алгебра д называется полупростой, если она не имеет коммутативных идеа­ лов, отличных от (0).

По известному критерию Э. Картана, алгебра g полупроста тогда и только тогда, когда билинейная форма Киллинга — Картана невырождена в g (т. е. (0) — ортогональное дополнение к д). Напомним, что форма Киллинга — Картана имеет вид (.х, у У= sp я (х) я (у), х, у е= д, где я (х) — оператор присоединенного пред­ ставления алгебры g (я (х) z = [х , z], [х, у] — комму­ татор в д). Отсюда легко получить, что всякая нолупростая алгебра Ли является прямой суммой простых

9