книги из ГПНТБ / Петрова С.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения учеб. пособие

Ь Б Ж Й О В Й Й Я Ы * ДЮФЙШІАІЬШЙ

ГСШЙЙЯ

1 9

7 3

4 4- + мня = о

(і )

V-°-

уравнение. Например, уравнение

(2) есть уравнение

первого, а урав­

нение ( I ) второго порядка,

*

Пусть функция F [х, у, у',...

, у ( л > ) (причем у""}

явно входит

f O - M ' "

- f ^ ' O

(з)

будет обыкновенным дифференциальным уравнением /ь -го порядка,

Всякая функция у- f(xj

, обращающая в некотором интервале

(в,, і) і

ев

в нуль, называется

л Ую часть уравнения (3) тождественно

решением

или

интегралом уравнения (3) в указанном

интервале, а гра­

фик функции у-

jCx-) - интегральной кривой уравнения

(3).

^= ?Н

(4)

где <ffr} -функция, непрерывная на некотором

.сегменте-

Z"e> Ю.

Для того

чтобы решить

уравнение ( 4 ) , надо

найти такую функцию

,

производная

которой на

£ a, ij

равна

веданной

функции

*{(*)•

Как

известно,

вта вадача^основная

решений, представииых

в виде

+.С

где

JfCx)etK —

некоторая первообразная функции

представляет

аобой

неопределенный

интеграл функции

..

Поетому-то реинияі

дифференциальных уравнений часто навива­

ют

их интегралами а

вадачу нахождения

решений

-

интегрирование

ем дифференциальных

уравнений,

Рассмотрим

теперь

две

задача, сводящиеся

к решению

неко­

торых

дифференциальных

уравнений.

I»

Точка

массы

#t-

под действием силы тяжести падает с высо­

ты

її,

с

начальной

скоростью ь>ї.

Найден

гекон движения

точки.

Считая, что падение происходит по прямой, примем эту

прямую

ва

ось

°У

^поместив

начало координат

0

на

поверхности

земли и направив

ось

6У

вертикально

вверх*

уравнения (7).

Легко

проверить, что Любая функция вида

у* Ct

>

(8)

где С - произвольная постоянная,

будет решением уравнений (7).

Определим С

йз того условия, что при

Ь0 у ' у,.

Тогда

Подставляя найденное значение С

в (8),

получим искомую функ­

ции в виде

Глава J_.

Уравнения

первого

порядка

§1. Вопросы

существования решений.

Классификация

решений.

Выше мы видели, что дифференциальные уравнения имеют

бесчисленное множество решений и ети решения

представляют

собой функции, зависящие также от проиевольных постоянных.

Основной эадачей теории дифференциальных уравнений явля­

ется

нахождение

их решений "и исследование

свойств, втих

решений*

Рассмотрим

дифференциальное

уравнение

первого

порядка

и иеучйм сначала тот случай, когда ето уравнение однозначно

раврешимо относительно проиеводной ]f'

,

т . е . рассмотрим,

уравнение

•

OJ

где функция

у о п р е д е л е н а

в

некоторой

області

2)

плос­

кости

Х»У

. ,

В каждой точке

правая

часть

уравнения

( I )

определяет

значение

проивводной

искомой функции

ш, сле­

кривой уравнения ( I ) , проходящей

черев точку

*WKf)(mcnt

конечно, уравнение ( I ) имеет решение, проходящее червя вту

точку), Таким обравом, уравнение

( I ) яадает

в обнести 2>

- б -

черев некоторую

точку

tM.eS>

? Сколько

таких

решений

сувввт-

вует? Если существует решение,( проходящее черев

точку

<^6- t

то будет ля оно элементарной функцией я как его

нейти?

Те нля иные ответы ш

етн

вонросы

вавислт, конечно, от

свой­

ств

функции

. \

Сначала

мы рассмотрим

вопросы

существования,

единствен­

ности і

классификациям

решений

уравнения ( I ) , а

ватем

еаймем-

ся задачей эффективного отыскания ревекий некоторых классов

уравнений первого

порядка,

Рассмотрим

некоторую, точку

ifa,

поставим

сле ­

дующую вадачу: найти

решение

\/(*)

уравнения

( I ) ,

удовлет­

воряющее

условию

</СУ°) =

. (і)

8ту вадачу называют вадачей Коми или вадачей с начальным

уаловием для уравнения ( О ,

а

условие

(2)

жавывают

начальным

уеловием. Справедлива следующая теорема существования:

Теорема I . Если функция

J(*>y) непрерывна

(как

функция

двух

переменных)

в

области

,

то

при

любых

У»

и

,

для

которых

и/»(*;У°)

e-S)

,

существует решение

уравнения (1),

удовлетворяющее

начальному

условию

(2) .

С геометрической точки врения эта теорема

утверждает,

что оря выполнении укаванных условий черев каждую точку

2>

проходит, по крайней мере, одна интегральная кривая уравне­

ния ( I ) .

Ножно указать примеры, когда ори выполнении

условий теоремы

черв* некоторые

точки

области

Я>

проходит

больше

чем

одно

решение.

С прикладной

точки врения интересным является

только

то* случай, когда чаре» жаждую точку

U*e%>

проходит

лишь

одно ренение. {всеет место

следующая теорема

существования

Я единственности:

Теорема

2,

Если функция

^(">Ю

непрерывна

в

области

S>

' • имеет

в

непрерывную

частную

производную

, то

при

любых

-X»

и

У*

, для

которых

ytSo (у>,ftJ с-2)

,

сущест­

вует

единственное

решение

уравнения

(1),

удовлетворяющее

начальному

условию ( 2 ) .

Иными словами, при выполнении условий теоремы

2.

,

черев

каждую точку

«л^; ^

> у ^ 2)

проходит

одна

и

только

одна

интег­

ральная

кривая

уравнения

( ! ) .

Теоремы

I

и 2 мы в нашем курсе не докавываем»

Пусть

теперь

функция

у - <{(*)

представляет

собой

неко­

торое решение уравнения ( I ) в интервале

CL<X*€.

Определение

I . Решение

у- <f(/j

уравнения

( I )

будем

навывать

его

частным решением,

если

на

интегральной

кривой

у- f(t) найдется

хотя бы одна

такая

точка

tAt

,

в

некоторой

окрестности

которой

рассматриваемое

решение

у ^ у д - у

явля­

ется

единственным

решением

уравнения

( О ,

проходящим черев

ету

точку.

; .

•

Определение

2 . Решение

у =

уравнения

(1)

будем

точки

UL

,

лежащей

на интегральной кривой

у ^ у у у /

,

найдется решение уравнения (I)f

отличное от

рассматриваемого

• проходящее

черев точку

.

Ив данных определений следует, что любое решение урав­

нения

( і ) будет либо

частным,

либо особым,

и что если в неко­

торой

области

ob

для уравнения ( I ) выполняются

условия

теоремы 2,

то

любое

решение уравнения ( I ) ,

лежащее

в области

, является его частным решением.

Очевидно также, что во всех точках любого особого реше­

ния уравнения

( I ) нарушается единственность, т . е .

черва

любую

точку, лежащую на особом решении, проходит не менее двух

интегральных

кривых

уравнения

(1).

Определение 3.

Точку ы&О f/o„y.) , принадлежащую интег-

радьной кривой

уравнения

( I ) ,

будем

навивать

точ ­

кой единственности

решения

у - ffy

,

если в

некоторой

окрест­

ности этой

точки решение

y-fd)

.является

единственным

решением уравнения

(1),

проходящим

черед

точку

<^SQ .

Определение 4.

Функцию

у^оо(х^с)

.

(з)

будем называть общим решением уравнения

(1),

если

она

удов­

летворяет

следующим

двум

требованиям;

1)

при

любом

значении

\ параметра

С

(при

котором

с)

вещественна), (функция!

(8)

удовлетворяет

уравнению

(1);

2"? всякое

частное

решение

уравнения ( I ) в некоторой окрестности любой своей точки

единст­

венности

представимо в виде

функции

единст-

венным обравом ( т . е . может быть ввписано в виде (8) при опре­

деленном значении

параметра__С_),

Замечания. J .

Условие 2) определения 4 при вылолнени»

условия I )

вквивалентно

следующему:

8) для,всякой точки единст-

венности/^^решения

среди

р"ешвні:Я"уравненияіо(&Є>^о~суцесУв'уех

единственное

решение Со- С\.х»,^о) ,

для которого в

некоторой

окрестности

точки JJo

Действительно, очевидно,

что

la условия 8) сраау следу­

ет выполнение уолови* 2 ) .

Если же

выполняется

условие

г ) , то

существует единственное эндчение

С -С

гаков,

что в

неко­

торой окрестности точки

іМо

имеет

МСТО

(4).