книги из ГПНТБ / Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами

УДК 621.231.311

Исследование динамики плоских механизмов с зазорами. С е р г е е в В. И., Ю д и н К. М. Изд-во «Наука», 1974.

Рассматривается дополнительное движение звеньев плоских механизмов, вызванное наличием зазоров в их кинематических парах. Проводится сравнение величин реакций в кинематических парах идеальных механизмов и механизмов с зазорами. Приведены характерные зависимости величин реакции, угловой ско­ рости дополнительного движения в кинематической паре с зазором, а также ошибок положения, скорости и ускорения кривошипно-ползунного механизма при различных соотношениях параметров, определяющих его закон движения. Рассмотрено влияние различных сил трения на динамику механизмов с зазорами. Результаты численных расчетов, выполненных на ЭЦВМ, приведены в виде гра­ фиков искомых зависимостей и таблиц. Дан анализ точности решения подобного рода задач на ЭЦВМ.

Табл. 7, илл. 43, библ. 80 назв.

Гос. пуб 'ичнпя научно-1 окничь^ая

ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время проблема повышения точности и надежности работы механизмов привлекает к себе пристальное внимание широ­ кого круга специалистов. В процессе эксплуатации разнообразные механизмы должны обладать некоторыми техническими характе­ ристиками, отклонение которых за определенные пределы ведет к нарушению работоспособности и наступлению отказа. Причин отказов может быть много. Так, отказ может произойти в результате конструктивных или технологических дефектов, которые являются следствием несовершенства конструкции' или. отступления от принятой технологии изготовления механизма. Одним из примеров подобных дефектов может служить просчет..в определении возмож­ ных «пиковых» значений сил реакций' в- кинематических парах механизмов. Как правило, силовой расчет механизма [8] ведется в соответствии с некоторой идеализированной схемой последнего, причем выбор приемлемой степени идеализации в каждом конкрет­ ном случае представляет собой достаточно сложную задачу.

Кроме того, как бы точно ни был рассчитан и изготовлен меха­ низм, с течением времени в процессе эксплуатации в нем накап­ ливаются необратимые изменения в результате старения (износа) отдельных узлов и деталей [43, 44], которые нарушают взаимодейст­ вие и координацию движения отдельных звеньев механизма и при­ водят в конечном счете к так называемым постепенным отказам. В работе [24] приведена классификация причин отказов и на осно­ вании статистической обработки большого количества замеров величин и скоростей износа предложена методика расчета надеж­ ности механизмов, а также интенсивности наступления отказов. Показано также, что среди причин возникновения отказов важное место занимает старение отдельных элементов механизмов.

Наибольшему износу, как правило, подвержены шарнирные соединения отдельных звеньев кинематических цепей [3, 68]. В ка­ честве примера такого соединения может служить шатунный под­ шипник кривошипно-ползунного механизма, который является одним из наиболее тяжелонагруженных соединений [4, 9, 50, 59]. При трении элементов кинематических пар механизмов происходят

5

за счет адгезии. Со временем наложение всех этих процессов при­ водит к постепенному износу элементов пары, увеличению зазора и в конечном счете к потере работоспособности подшипников.

Другим аспектом обеспечения надежности механизма является требование сохранения заданной точности его работы. Поскольку с течением времени в результате износа изменяются геометрические размеры и конфигурация отдельных звеньев механизма, заданный закон движения ведомого звена, его скорость и ускорение будут отклоняться от расчетных. Если подобное отклонение выходит за пределы установленных техническими условиями норм, насту­ пает отказ в работе механизма. Вопросам точности и надежности устройств в смысле удовле4ворения выходных координат допускам посвящены работы [15, 16]. В этих работах показан), что теория точности является основой исследования надежности механизмов

жения, скорости и ускорения. При этом существенное значение приобретают разработанные в теории точности методы расчета указанных ошибок как функций первичных ошибок. Вопросам кинематической и динамической точности систем посвящена работа [58], в которой, в частности, показана возможность распростране­ ния предлагаемых в работе способов расчетного обоснования дина­ мической точности на задачи надежности систем. Расчетное обосно­ вание точности и надежности динамических систем проводится в данной работе в предположении, что имеют место только постепен­ ные отказы, которые приводят к медленному изменению некоторых параметров системы. Показано, что подобный подход к вопросам надежности является вполне приемлемым для широкого круга задач.

При решении задач, связанных с надежностью и точностью работы механизмов, большое значение приобретают методы построе­ ния математических моделей, наиболее полно отвечающих физике исследуемых явлений. Вопросам построения адекватной матема­ тической модели механизмов с зазорами посвящено большое число работ [2, 20, 28, 35 -38, 48, 56, 57, 59, 60, 66, 70, 73, 76, 77, 79, 80]. Наличие зазоров в кинематических парах приводит к увеличению степеней свободы механизма, к необходимости проводить исследо­ вание механизмов с переменной структурой. Вопросы исследования плоских механизмов со многими степенями свободы рассматрива­ ются в работах [1,6, 27, 30]. В них показано, что в данном случае одним из наиболее удобных методов решения поставленной задачи является вывод уравнений движения на основе уравнений Лагран­ жа второго рода. В работе [30] приводятся результаты исследования плоских механизмов с двумя степенями свободы с учетом трения в условиях, когда потери на трение в кинематических парах отно­ сительно невелики. Показано, что трение в механизмах с двумя степенями свободы оказывает большее влияние на динамику сис­ темы, чем в механизмах с одной степенью свободы. Некоторые

6

динамические модели, дающие возможность в наглядной форме выяснить особенности влияния зазоров в кинематических парах на динамику и кинематику механизма в целом, приведены в работе

Одной из первых работ, в которой сделана попытка исследовать динамику механизма с зазором, является [73]. Однако предложен­ ные в ней методы исследования были основаны на чрезвычайно громоздком графическом анализе.и дальнейшего развития не полу­ чили.

С развитием линейной теории точности [11, 12, 22] появилась возможность с единообразной (в методологическом отношении) точки зрения исследовать вопросы точности механизмов, в том числе и влияния на точность их работы зазоров в кинематических парах. Однако методы линейной теории точности дают возможность определять ошибки скоростей и ускорений ведомых звеньев меха­ низма в тех случаях, когда эти ошибки сами являются малыми^ величинами. Это накладывает существенные ограничения на воз­ можности динамического анализа механизмов с зазорами, посколь­ ку, как показано в ряде работ [60, 61], ошибки скоростей и ускоре­ ний, вызванные наличием зазоров, могут оказаться соизмеримым_ң.__ с величинами скоростей и ускорений основного движения. В усло­ виях малости указанных ошибок скоростей и ускорений в работах [37, 38] проводилось исследование кинематики и динамики меха­ низмов с зазорами. При этом линеаризация уравнений движения привела к необходимости существенного ограничения области применения предлагаемых методов решения задач исследования механизмов с зазорами.

С развитием вычислительной математики и совершенствованием вычислительной техники наметился качественно новый подход к задачам исследования вопросов точности и надежности механиз­

рами, определения ошибок положения, скорости и ускорения меха­ низмов без каких-либо ограничений на величины первичных оши­ бок, добавочных скоростей и ускорений.

Использование средств вычислительной техники позволило получить значительно более полную информацию относительно процессов, протекающих в зазорах кинематических пар благодаря высокой точности работы вычислительных машин, возможности реализации сложных математических и логических закономер­ ностей, решения сложных нелинейных дифференциальных уравне­ ний [14, 32, 42, 58, 74]. Эти преимущества электронных вычисли­ тельных машин позволяют решать задачи исследования динамики механизмов с зазорами без каких-либо существенных упрощений математической модели реального объекта, выявляя тем самым не только качественную картину явления, но и давая.количествен­ ную оценку процессам, протекающим в механизме с зазором.

7

До последнего времени трудности использования ЭЦВМ для решения подобного рода задач были связаны главным образом со сложностью программирования. Путь от составления уравнений, описывающих динамику механизма с зазорами, до получения траек­ торий движения в наглядной форме был довольно долог. Он заключался в составлении программы работы ЭЦВМ на языке данной вычислительной машины, в довольно трудоемкой отладке программы, в получении результатов решения в виде числовых таблиц с последующим трудоемким процессом обработки огром­ ного числового материала. Совершенствование методов математи­ ческого программирования [29, 31, 34, 45] привело к созданию алгоритмических языков [49, 53]. Развитие средств автоматизации программирования упростило также и процесс отладки программ. Совершенствование средств вычислительной техники и выходных устройств ЭЦВМ привело к возможности получения результатов решения технических задач в наглядной форме в виде графиков, характеризующих искомые закономерности.

Следующий шаг на пути совершенствования средств вычисли­ тельной математики был сделан при разработке метода составления общих моделирующих алгоритмов сложных процессов [21, 51, 65]. В свое время большой качественный скачок в методах исследования реальных объектов был сделан при разработке качественной теории дифференциальных уравнений. При этом появилась возможность по одному виду дифференциального уравнения движения системы, на ос­ новании анализа его коэффициентов, определить основные свойства решений данного уравнения. Также и моделирующие алгоритмы являются наиболее общей формой записи зависимостей, характер­ ных для данной системы. Умелое составление моделирующего ал­ горитма, правильный выбор уровня его детализации, позволяют проводить исследование сложных систем и объектов. Имея состав­ ленный общий моделирующий алгоритм процесса функционирова­ ния исследуемого объекта, проще записывать конкретную програм­ му вычислений на ЭЦВМ.

В настоящей монографии, используя основные положения не­ линейной теории точности [17, 18], на основе современных средств и методов вычислительной техники проводится исследование допол­ нительного движения, вызванного зазорами в кинематических па­ рах механизмов. При исследовании динамики кривошипно-ползун- ного механизма с зазорами в парах кривошип — шатун и шатун — ползун показаны преимущества, которые открываются перед иссле-' дователем при использовании вычислительной техники.

В методическом отношении по своему построению монография может быть разделена на две основные части, в которых изложен процесс исследования рассматриваемого круга задач на примере кривошипно-ползунного механизма.

Первая из них, охватывающая материалы главы I, посвящена выводу уравнений движения кривошипно-ползунного механизма с двумя зазорами и составлению общего моделирующего алгорит-

8

ма исследования поставленной задачи. В этой главе приводится динамическая модель механизма с зазорами при наличии трения в кинематических парах. Показано, что зазоры в кинематических парах вызывают необходимость исследовать механизмы с перемен­ ной структурой. В зависимости от того, замкнута или разомкнута кинематическая цепь, движение механизма описывается разными системами дифференциальных уравнений, решения которых должны определенным образом сопрягаться в точках нарушения и восста­ новления контакта.

Уравнения движения выводятся на основе уравнений Лагранжа ^ второго рода [1, 23, 26, 30, 62]. При этом с помощью надлежащего V выбора обобщенных координат выделяется дополнительное движе­ ние, вызванное зазорами, от основного движения механизма, что значительно повышает точность результатов решения. На основе принципа Даламбера выведены формулы для вычисления величин реакции в кинематических парах с зазорами. При этом не делается никаких упрощений, связанных с разбиением массы шатуна на две сосредоточенные массы. Как показано в работах [4, 26], при разбие­ нии массы некоторого звена на несколько сосредоточенных масс может быть допущена большая погрешность в том случае, когда данное звено совершает не только поступательное, но и вращатель­ ное движение. Применение ЭЦВМ позволяет обойтись без дополни­ тельных упрощений, связанных с громоздкими расчетами.

Проводится выбор метода решения уравнений движения. Пока­ зано, что с точки зрения повышения точности результатов расчета нецелесообразно решать подобного рода задачи на аналоговых вы­ числительных машинах. Перечисленные выше достоинства цифровых вычислительных машин делают их более предпочтительными при решении задач, связанных с исследованием вопросов точности работы механизмов с зазорами.

В этой части монографии приводятся также общий моделирую­ щий алгоритм решения поставленной задачи и блок-схема програм­ мы в такой форме, которая не зависит от конкретного типа исполь­ зуемой при расчетах вычислительной машины. Обший моделирую­ щий алгоритм составлен так, что допускает естественное разделение на стандартную и нестандартную части. Стандартная часть модели­ рующего алгоритма (и соответственно блок-схемы программы) не зависит от конкретного типа исследуемого механизма, она оста­ ется без изменений при исследовании дополнительного движения, вызванного зазорами в любом другом плоском механизме с низшими кинематическими парами. Содержание нестандартной части опреде­ ляется конструкцией конкретного механизма, она содержит опера­ торы решения уравнений движения и вычислений, необходимых в каждом конкретном случае величин, представляющих интерес. Предлагаемый метод построения общего моделирующего алгоритма и соответствующей ему блок-схемы допускает естественное расши­ рение поставленной задачи на случаи, когда в механизме имеется более двух кинематических пар с зазорами.

9

Вторая часть монографии (II и III главы) посвящена исследова­ нию дополнительного движения кривошипно-ползу иного механизма с одним зазором в паре кривошип—шатун на основе общих результа­ тов, полученных в первой части.

Здесь проведено исследование неопределенных положений криво- шипно-ползунного механизма с одним зазором и особых точек уравнений движения. Описан алгоритм изменения обобщенной координаты в определенном положении механизма, который позво­ ляет путем добавления в нестандартную часть моделирующего ал­ горитма арифметического и логического блоков избежать останова вычислительной машины по переполнению в рассматриваемых положениях механизма.

Показано, что решению задачи на ЭЦВМ должно предшествовать определенное аналитическое исследование уравнений движения и преобразование уравнений движения к такому виду, который позволил бы с наименьшими затратами машинного времени полу­ чить необходимую информацию. Так, соответствующей заменой независимого переменного удается сократить время решения задачи на ЭЦВМ примерно в два раза, сохранив при этом высокую точность интегрирования уравнений движения. Преобразование уравнений движения к нормальной форме Коши позволяет воспользоваться для их решения стандартной программой решения систем дифферен­ циальных уравнений методом Рунге —• Кутта [5, 31, 41, 52, 69, 75].

Большое значение с точки зрения повышения точности и сокра­ щения машинного времени решения задачи имеет правильный выбор обобщенных координат в уравнениях Лагранжа. Так, показано, что при решении поставленной задачи целесообразно записывать уравнения движения рассматриваемого механизма при сохранении контакта в паре с зазором в полярной системе коорди­ нат, а уравнения свободного движения пальца шатуна в подшипни­ ке — в декартовой.

С использованием методов нелинейной теории точности получе­ ны зависимости от угла поворота кривошипа ошибок положения, скорости и ускорения кривошипно-ползунного механизма с одним зазором.

Дано описание вычислительной программы для решения постав­ ленной задачи на алгоритмическом языке АВТОКОД-ИНЖЕНЕР [53]. Решение задачи проводилось на ЭЦВМ «Минск-32» в режиме Т [49]. Используются стандартные программы решения системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге — Кутта, четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегри­ рования и вывода результатов расчета в виде графиков, отпечатан­ ных на устройстве широкой печати АЦПУ-128 символами кода Гб. Приводятся результаты решения поставленной задачи на ЭЦВМ в виде графиков зависимостей от угла поворота кривошипа величин реакции в паре кривошип — шатун, ошибок положения, скорости и ускорения рассматриваемого механизма, а также траекторий свободного движения пальца шатуна в поле зазора подшипника,

10