книги из ГПНТБ / Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения

в * у ч к о - т в х н и , б ' к а к

і и б л й о т в к а С О С Р

Э Н . З Е И * П Л Я Р

Ч И Т А Л Ь Н О Г О , З А Л А

,

СОДЕРЖАНИЕ,

Ъ

'

О П Р Е Д Е Л Е Н И Й И Н Т Е Г Р А Л

§

I . Некоторые

задачи,

приводящие к формированию

^/^"У

понятия определенного интеграла

I

§

2. Определение

понятия определенного

интеграла . .

. H

§

3. Геометрический смысл определенного

интеграла. .

. Ѳ

§ Ч. Свойства определенного интеграла

9

§

5. О вычислении

определенного интеграла

13

§

б . Определенный

интеграл с переменным

верхним

пределом

,

14

§ 7. Формула Ньютона - Лейбница

16

§

8. Замена переменной

в определенном интеграле . . .

17

§

9. Интегрирование по

частям

19

И^ГЕОиЕТРИЧИСК".1! И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОІЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

I

I . Вычисление площадей плоских фигур в прямоуголь­

ных координатах

21

§

2. Вычисление

площади фигуры, криволинейная грани­

ца которой

задана

параметрическими

уравнениями.

25

§

3. Вычисление

площади в полярных координатах . . .

26

§ 4 , Вычисление

объема

тела по площадям параллель­

ных оечений

29

§

5. Вычисление объема тела вращения

32

5

б . Вычисление работы переменной силы

33

§ 7. Вычисление

давления жидкости на вертикальную

пластину

• . . j

36

§

8.

Нахождение

центра тяжести плоской фигуры . . . .

39

§

9. Вычисление ноиента инерции

.

44

§

10. Вычисление

длины дуги плоской

кривой

47

§

I I . Вычисление

площади поверхности

вращения . . . .

52

I I I . ПРИБЛИШІНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

ИНТЕГРАЛОВ.

§

I . Формула

прямоугольников .

58

§

2.

Формула

трапеций

•

,

60

§

3. Формула

параболических трапеций

(формула

Сиипсона)

61

ІУ . НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§

I . Интегралы

с

бесконечными пределами

66

§

2.

Интегралы

от

неограниченных фупкций

69

I . О П Р Е Д Е Л Е Н Н Ы Й

И Н Т Е Г Р А Л .

ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Задача

I . Тело

движется

прямолинейно с

переменной

ско­

р о с т и

. Какой

путь О

пройдет

оно

за время

от

момента

І =

Ь

до

иоиента

t a

T .

(

T > t D

)

?

Рассмотрим

числовуи ось

Ot

и отложим

значения t

~

tc

о

еЛ^

&ta

аі„

і

* 4

4

%

— '

^

~

и І- =

Т

. Разделил

интервал

f

t

T J

на

И,

частей

точ­

ками

с

абсциссами

t<

,

t t

,

t ,

tn t

и

обоз­

начим

Т=

Ьл

. Длину

каждого

из

полученных элементарных

интервалов

обозначим

через

& tK

(

К=

-/, 2,...

іг

) ,

т . е .

Предположим теперь,

что

в

пределах

каждого

элементарного

интервала

времени

Л t,,.

тело

движется равномерно

с пос­

тоянной

cKopocTbD

lfK

~

Ii itj)

,

соответствующей

его

правому

концу

"t^

, т . е . предположим, что в пределах

интервала

A t ,

тело движется

со

скоростью

Ѵ^-

V(tJ

,

в

пределах

интервала

à t%

- с о

скоростью 1ft

- V

ІІг)

и

т . д .

В таком

случае

путь

S п

,

пройденный

телои

за

время

от

t 0

до Т

представится

формулой:

Подсчитанный по этой формуле путь,

понятно

не отвечает на

вопрос поставленный в задаче, т . к .

скорость

Vit}

-

непрерывная

функция времени

t

,

а мы считали,

что ско ­

рость изменяется

скачкаыи»

Однако,

при

неограниченной

уменьшении

длин

всех элементарных

интервалов

и,

следова­

тельно, при

неограниченной

увеличении

П.

,

скачкообраз­

Тогда

естественно

за

величину истинного пути $

принять

предел

3l t

при

неограниченной уменьшении длин

всех эле -

иентарных

интервалов,

т . е . считать, что

S-Üm

T.f(tM

max

i

t

0

где

maxùt„-

длина наибольшего из

элементарных ин-

Итак, решение поставленной задачи свелось к вычисле­

нию полученногоA t /

предела. Если

функция

V(iJ

известна,

то можно попытаться этот предел найти

непосредственно,

но

атс не всегда

легко сделать.

В дальнейшем

»ы увидка,

что

можно

найти

другой прин

-

3

-

ципиадьно новый путь вычисления пределов такого вида.

Задача 2.

Найти

площадь фигуры,

ограниченной графикой

функ-

^

ции

,

осьс

ОХ , и пряиыии Х=0.

и

х-Ь

с а< 5

).

Разделим

интервал

jf Q, 6 ]

на M

частей

точками

с

а б ­

сциссами

Xt , Хг

Х п і

и положим

Q -

CtD

,

Ь - ЗГ^

. Проведем через

точки

деления

соответствушцие

ординаты:

Длины элементарных

интервалов обозначим через

А ОС

, т . е .

Заменим теперь каждуи из элементарных полосок

с

основани­

ем. Л J,,

прямоугольником с теи

же

основанием

и высотой

равной значении

функции j~ (0Сп)

в

правой

граничной

точке. Площадь

$ п

полученной

ступенчатой

фигурь пред­

ставится

формулой:

- ч -

или

Sn=tf(xJäX„

.

тервалов и,

следовательно,

при

h.—- о<э .

mo.1 Л: - • О

Снова решение задачи свелось к

вычислению предела ухе зна ­

комого нам

вида.

Ножно еще рассмотреть

иного

геометрических, физичес­

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть задана функция f(JC)

,

непрерывная

в замкну­

том интервале

[0.,Ь]

конечной

длины

и пусть

й<

^

Разделим этот

интервал

произвольным

способом

на

I t эле ­

&ХЙ

( K " H , 2 , . . . , f t

) .

щ

л х ,

л х г

д х

3

а—I—в

ДТСП

1 о-ч ѳ—I—«

1

м9 fc

Выберем теперь внутри или на границе

каждого

элементарно­

го гнтепвала

точку

с абсциссой

X f

( К - іг

2 , . . . И

),

-

5

-

вычислим

значения функции

f

(X)

в

этих точках,

т . е . най­

дем / ( X j

. f(X2)

>•••>

и составим

сумму

произведений этих значений на длины

соответствующих эле ­

ментарных

интервалов:

Эта

сумма

навивается

и н т е г р а л ь

н о

й

с у м ­

м о й , составленной

для функции

f(^)

в

интервале

.

Рассмотрим теперь предел интегральной суммы при неог-

раниченвон

увеличении

чиола

IX

элементарных

интерва­

лов

и'при

стремлении

к нулп

наибольшего

из

них,

т . е .

функции

^ (х)

в интервале

[о.,Ь] ,

ОПРіДВіШЕ.

О п р е д е л е н н ы м

и н т е г ­

р а л о м

о т

ф у н к ц и и

f

(%]

в

и н т е р ­

в а л е

jTci.SJ

н а з ы

в а е

т с

я

п р е д е л

и н т е г р а л ь н о й

с у м м ы . с о с т а в л е н -

н о і

д л я f f l )

в

и н т е р в а л е

п р и

н е о г р а н и ч е н н о м

у в е л и ч е ­

н и и

ч и с л а

э л е м е н т а р н ы х

и н т е р -

-

б

-

в a і о в

и

п р и

с т р е м л е н и и

к

н у ­

л и

н а и б о л ь ш е г о

и з

н и х .

Определенный

интеграл

от

функции

f($)

в

интерва-

ле

[а,Ь]

обозначается

символом

т . е .

а

ь

h.

$(з)~

подинтегральная

функция,

Х-

подинтегральное

выражение,

Cl

-

нижний

предел,

Ь

-

верхний предел,

JC

-

переменная

интегрирования.

Заметим, что

для данной

функции

на

данной

интервале

[ & ,

можно

составить бесчисленное

множест­

во

интегральных

сумм, т . к .

способ разбиения

интервала

f Q , ß J

на

элементарные

интервалы

и

выбор

в них

точек

JC^

-

произвольны.

и<СЦс Д Х~>-0

?

к

2) . Не

будет ли этот предел (если

он существует)

зависеть

от

способа разбиения

интервала

f o . , 6 ] на элементар­

ные

интервалы

Л' ЗС

" и от выбора в них точек

JC,«с

На поставленные вопросы

отвечает ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ