Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

2.65 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

ф-

Ле н и н г р а д с к ий ордена Ленина электротехнический институт

имени В. И. Ульянова (Ленина)

А. Д. Ч Е С Н О К О В

С Б О Р Н И К З А Д А Ч ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ И

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

Учебное пособие

Под редакцией профессора А. И. Губанова

Ленинград

J973

УДК 536.7(076.1) —539.2(076.1).

В настоящее времія отсутствуют сборники задач по нере лятивистской квантовой механике, термодинамике и статисти

ческой	физике равновесных состояний с задачами, доступны
ми для	самостоятельной работы студентов, аспирантов и

инженеров, специализирующихся в области физики твердого тела, физической химии и микроэлектроники. Ц е л ь настоя щего сборника — подбор з а д а ч по у к а з а н н ы м р а з д е л а м тео ретической физики, позволяющий -при сравнительной просто те расчетов получить результаты, понимание которых доступ но, по крайней мере, качественно, и лучше разобраться в фи зической стороне рассматриваемых явлений.

ПР Е Д И С Л О В ИЕ

На с т о я щ ий сборник состоит из задач по нерелятивистской квантовой механике — часть I , термодинамике и статистиче ской физике (главным образом, равновесные состояния)

часть

I I , которые в течение

ряда

лет

решались на

практиче

ских

занятиях

студентами I I I и

IV . курсов

электрофизическо

го факультета

Ленинградского

ордена

Ленина

электротехни

ческого института имени В. И. Ульянова

( Л е н и н а ) .

З а д а ч и , различные

по трудности,

подобраны

соответ

ствии с рабочими программами курсов «Квантовая

механи

ка» и «Статистическая

физика»,

т а к ж е

курса

лекций

А. И. Губалова

«Квантовая

механика».

Результаты,

получаемые

при

вычислениях,

легко

понять,

по крайней мере, качественно, что позволяет

студентам

луч

ше разобраться в физической стороне

рассматриваемых

явле

ний. Таким образом, цель сборника —.подбор конкретных фи зических задач на основе учебников и пособий [1—20] для не посредственного применения и более глубокого усвоения сту дентами электрофизического факультета методов и принци пов указанных разделов теоретической физики. Автор считает

своим	приятным долгом		выразить искреннюю	благодарность
докт.	физ.-мат. наук,	проф. А. И. Губанову и		сотруднику		ка
федры	диэлектриков	и	полупроводников Л Э Т И		докт. техн.
наук,	проф. Ю. М.	Волокобиінскоміу за критические замеча
ния и ценные советы.				А.	Д. Чесно	ков

Ч А С Т Ь I

	З А Д А ЧИ			ПО КВАНТОВОЙ			МЕХАНИК Е
			( Н Е Р Е Л Я Т И В И С Т С К О Й )
			§	1. Тепловое излучение
				Основные формулы
1.	З а к о н	распределения энергии				излучения		по	частотам
в ы р а ж а е т с я		формулой
			rf£,(7-)		= - j r - - — к		^
					е"	-	\ •
где Т—абсолютная				температура;		h — постоянная			П л а н к а ;
к — постоянная			Б о л ь ц м а н а .
2.	Формула		П л а н к а ,		в ы р а ж а ю щ а я		функцию	распределе

ния спектральной объемной плотности энергии чермого излу чения, им/еет вид

		—	8 л : / г у 3		1
				ekT	- 1
3.	З а к о н С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а :				£(7")		= аТ4,	где	а — по
стоянная С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а ;				Е(Т) — п о л н а я				энергия		излу
чения	в полости со стенками, нагретыми						до данной темпера
туры	Т.					— д л и н а волны,
4.	З а к о н Вина: XMaK0		Т = Ь, где А,м а к с			— д л и н а волны,				отве
ч а ю щ а я максимуму функции распределения р А								в спектре		чер
ного	излучения;	b — постоянная		Вина.
			Задачи
1.1.1. Исходя		из формулы П л а н к а ,				найти среднюю			часто
ту и	соответствующую		дли,ну	волны		в	спектре р„		черного
излучения при температуре Т =				6000К.
4

Указание. При расчете воспользоваться численными зна чениями интеграла:

1.1.2. Показать, что закон Вина является следствием фор мулы П л а н к а для функции распределения р х .

1.1.3. Очевидно, интегральная плотность излучения не должна зависеть от того, какой функцией описывается ха

рактер

распределения

энергии

спектре: pv

или р Л . Это на

лагает

следующее

условие

на

функции

распределения:

o4dx

= pxdk.

Убедиться, что следствием

этого условия

явля

ется

тот факт,

что положение

максимумов

обеих

функций

соответствует различным длинам волн.

Д о к а з а т е л ь с т в о

про

вести

дл я

функции

распределения,

в ы р а ж а е м о й

формулой

П л а н к а .

1.1.4. Вывести

из

формулы П л а н к а

интегральный

закон

С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а

дл я удельной мощности излучения. Вы

разить постоянную о в формуле закона

С т е ф а н а — Б о л ь ц м а н а

через

универсальные

постоянные

с, k

и найти ее

численное

значение.

1.1.5. Найти

температуру,

которая

соответствует

инте

гральной

объемной

плотности

энергии

£ ,

равной

7,6 X

10~3

эрг/см 3

(см. задачу

1.1.4).

§ 2.

Квантовая

природа

света

Основные формулы

Соотношение

между

энергией

частотой

v фотона:

= hv,

где h — постоянная

П л а н к а .

Соотношение

между импульсом р и длиной волны

/. фо

тона:

р = Л/л.

Формула

Эйнштейна

для

внешнего

фотоэффекта:

где v — скорость фотоэлектрона; т0 — его міасса; А — работа выхода.

4. Комптоновское рассеяние				света:
		2ft		. 2		8	,
		М. = — — sin			2
где А/. — изменение		длины	волны			фотонов,		рассеянных под
углом 6	к первоначальному		направлению;					т0 — масса покоя
электрона.			Задачи

1.2.1.	П о к а з а т ь ,	исходя	из	законов			сохранения, что сво
бодный	электрон (опыт К о м п т о н а ) : а)						не может полностью

поглощать энергию кванта, б) не может излучать энергию.

1.2.2. Определить величину						комптоновского		смещения и
угол, под которьімі				рассеивается фотон,			если известно,				что
первоначальная			длина		волны	фотона ло = 0,ОЗА,		а	скорость
электрона		отдачи		составляет		р — часть	скорости	света			(р =
= 0,6).
1.2.3. Д л и н а			волны		первоначального		кванта	равна		0,5 А.
К а к у ю	энергию приобретает электрон отдачи при рассеянии
кванта	под углом 60, 90 и 180°?
1.2.4. Вычислить величину импульса электрона отдачи при
рассеянии фотона под прямым углом к направлению										перво
начального		движения . Д л и н а				волны падающего		фотона			рав
на 0,05 А.
1.2.5. Пользуясь законом сохранения количества									д в и ж е
ния и формулой Комптона, найти зависимость м е ж д у										углом
рассеяния фотона б и углом						а, под которым отлетает				элек
трон отдачи.

1.2.6.Р а б о т а выхода электрона из серебра равна 4,28 эВ . Определить, до какого потенциала зарядится серебряный ша рик, удаленный от других тел, если его облучить монохроматическимі светом с длиной волны X = 10~~5 см.

1.2.7.Определить частоту красной границы фотоэффекта

серебра, если			работа	выхода электрона из этого металла
равна	"4,28 эВ .
		§ 3. Волновые свойства микрочастиц
				Основные формулы
1. Формула			волны де Б р о й л я :
/ —	—		О (г,	t) = Ce*
/ —	—	р а д и у с - в е к т о р		произвольной точки пространства;
где г		р а д и у с - в е к т о р		произвольной точки пространства;

время.

Частота		этой волны <» и ее					волновой			вектор k	связаны
с энергией		и импульсом		частицы			формулами:
			Е =	//ш,		р = Ш .
2. Формула			длины волны			де	Бройля:
			/	2тпЕ			У	U
			h = - А - =		1,05-10~2 7				э р г - с е к ,
где	L/ — у с к о р я ю щ а я частицу					разность			потенциалов,		измерен
ная	в вольтах;		Е — энергия		частицы;			т 0 — ее масса.
3. Формула			В у л ь ф а — Б р е г г о в :
			2dsin8 = я Х			(п = 1,		2,	3	. . .),
где	d — расстояние между				о т р а ж а ю щ и м и					плоскостями; 6 —
угол	скольжения лучей.

Задачи

1.3.1.Вычислить длину волны электрона, движущегося со скоростью v = 7,4 • 108 см/сек.

1.3.2.Какова длина волны де Бройля у протона и элек трона, если их энергия .равна средней кинетической энергии теплового движения молекул при комнатной температуре?

1.3.3.Постоянная кристаллической решетки равна d = 3A . Пучок электронов падает на естественную грань монокри

сталлов. Угол скольжения электронного пучка равен 6 = 30°. Наблюдение отраженных электронов производится под углом, равным углу падения. Пренебрегая преломлением электронных'волн в кристалле, определить энергии электро нов, при которых наблюдаются два первых максимума отра жения.

1.3.4. В опытах по дифракции электронов на поликристал лической фольге найдено, что диаметр дифракционного коль ца, соответствующего отражению первого порядка от плос

костей	с межплоскостным	расстоянием!	d,	равен г — 3 см.
Расстояние от фольги до		экрана равно	/ =	15 см. Найти ве
личину	d. Энергия электронов равна 200 эВ .

§ 4. Операторы, перестановочные соотношения. Собственные значения и собственные функции

1.4.1. Д о к а з а т ь ,	что	а)	(хрх—	рхх) фО, т. е. л- и рх		не
коммутируют; б)	(ург — ргу)		= 0,	т. е. у и рг	коммутируют.
1.4.2. Гамильтониан		з а р я ж е н н о й частицы,			д в и ж у щ е й с я	в
магнитномі поле, имеет вид
	И =	1		•А
	И =	2 т 0		•А
		2 т 0

Найти оператор скорости v частицы в магнитном поле и пра


вила	коммутации		различных компонентов	оператора ско
рости	между собой.
1.4.3.		Найти оператор ускорения да дл я		частицы гамиль
тониан,		который	имеет вид

" - т = г ( г - - г * Г


1.4.4. П о к а з а т ь ,		что a) [Mz,	cpJ^O ,	т. е. не	коммутируют
(ф — азимутальный		угол); б)	[Мх, г] = 0, т. е. коммутируют.
1.4.5. Н а й т и собственную			функцию	оператора		проекции
импульса	на ось х-	Провести и о р м и р ш к у		найденной		функции.
1.4.6.	В ы р а з и т ь	оператор	параллельного		переноса на

конечное расстояние а через оператор имиульса.

Решение.

П о определению

оператора

д о л ж н о

быть

-г

Т-^^(г)

= \$(г +

а). Р а з л а г а я

функцию

\|э(г +

а)

в ря д

Тей

лора,

имеем

b(r

+ a) = ф(г) +

1Щ- +

дг

или, вводя

оператор

р =

—iti^,

Ф ( г + а )

і \

tap

1 - f -rap

-f-к-1

2 \

Выражение,

стоящее

квадратных

скобках,

представляет

собой

оператор

7£~

e t n

p i h

Это и есть

искомый

оператор ко

нечного смещения.

1.4.7. Найти собственные значения оператора проекции момента импульса на ось z к задаче о ротаторе (г = const).

Собственные

функции Mz

имеют

вид г|з(ф)

= const eimf,

где

т = 0, ± 1 , ± 2 , . . . , ±1;

ф — а з и м у т а л ь н ы й '

угол.

Провести

ноірмировку собственной

функции

Mz.

1.4.8.

Найти

возможные

значения момента, их вероятности

и среднее значение момента в плоском ротаторе,

описывае

мом волновой

функцией

4f) (ф) = A oos2<p.

1.4.9.

Найти

возможные

значения

проекции момента

на

ось г'', наклонную

под углом

а к оси г,

их вероятности и сред

нее значение

М/.

Известно,

что

пространственный

ротатор

находится в состоянии с моментом

I = 1 и проекцией

момента

:ia ось z

т =

1.4.10.

Найти

волновые

функции стационарных

состояний

и уровня энергии плоского ротатора с моментом инерции / .

Примечание.		I = ца2, где ^ — приведенная масса частиц;
а — расстояние		м е ж д у ними.
1.4.11.	Найти	волновые функции	стационарных		состояний
и уровни	энергии пространственного			ротатора с	момеитомі
инерции / .
1.4.12. Найти кратность вырождения уровней энергии про
странственного		изотропного (©і =	«г =	соз) осциллятора .
1.4.13. Найти		волновые функции	стационарных		состояний

и уровни энергии линейного гармонического осциллятора, на ходящегося в однородном электрическом поле.

1.4.14.Определить зависящий от времени оператор коор динаты х в координатном представлении дл я а) свободного движения частицы, б) осциллятора .

1.4.15.Воспользовавшись результатами предыдущей з а д а

чи, определить зависимость от времени дисперсии			координа
ты в случае свободного		движения .
1.4.16. Вывести	правило дифференцирования по			времени
произведения двух	операторов А и В дл я системы		с	гамиль
тонианом Н.
1.4.17. П о к а з а т ь ,	что среднее значение к в а д р а т а			самосо
пряженного оператора		положительно .
1.4.18. Д а н ы три оператора А, В и С. Выразить			коммута

тор произведения (А, В) и С через коммутаторы [А, С] и Г Я. С1.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ