книги из ГПНТБ / Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка
.pdfА К А Д Е М И Я |
Н А У К У К Р А И Н С К О Й |
С С Р |
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ |
|
И . В . С К Р Ы П Н И К
НЕ Л И Н Е Й Н ЫЕ
ЭЛ Л И П Т И Ч Е С Н И Е УРАВНЕНИЯ
В Ы С Ш Е Г О П О Р Я Д Н А
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» КИЕВ — 1.973
|
Г О С . П У Б Л Й ч Т Т А О - |
|
|
Н А У Ч Н О - Т Е Х . . л |
С К А Л |
517.2 |
Б И Б Л И О Т Е К А |
ьсбр |
С45 |
|
|
УДК 517. |
946 |
|
|
|
В |
книге |
излагаются топологические |
мето |
|
ды |
исследования |
квазилинейных эллипти |
||
ческих уравнений высшего порядке и |
о п р е |
|||
деленных |
классов |
нелинейных операторных |
||
уравнений в банаховых пространствах. |
Изу |
чаются разрешимость граничных задач, за дача о собственных значениях, свойства обобщенных решений квазилинейных эл
липтических уравнений |
высшего порядка. |
|
Рассчитана на научных работников и |
сту |
|
дентов старших курсов |
математических |
ф а |
культетов. |
|
|
Ответственный редактор акад. АН УССР Я. Б. Лопэтинский
Рецензенты:
чл.-кор. АН УССР И. И. Данилюк, канд. физ.-мат. наук О. И. Панич
Редакция физико-математической литературы
с МД-»»
М22Ц01] — 73
' © Издательство «Наукова думка>, 1973 г.
Ж
п и в
ВВЕДЕНИЕ
Нелинейные дифференциальные уравнения возникают в многочи сленных задачах современной физики и техники. Важность их исследования особенно велика в настоящее время, когда многие процессы происходят в условиях высокой температуры, больших нагрузок и больших деформаций. Так, нелинейными эллиптиче скими уравнениями описываются задачи о равновесии гибких пла стин и тонких оболочек, задачи об упруго-пластическом изгибе ба лок, о кручении упрочняющихся стержней, трехмерные задачи упруго-пластического равновесия.
В настоящей работе изучаются свойства обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений. Для определенных клас сов нелинейных операторных уравнений устанавливаются тополо гические признаки существования решения, исследуется задача о собственных функциях и бифуркация решений, развита теория Морса для некоторых классов функционалов на гильбертовых мно
гообразиях. Даются |
применения результатов, полученных для |
one- |
||||||
раторных уравнений, как к общим эллиптическим уравнениям, |
так |
|||||||
и к конкретным уравнениям нелинейной механики. |
|
|
||||||
Рассматриваются квазилинейные эллиптические уравнения ди |
||||||||
вергентного |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
£ |
( _ 1 ) | а | |
£ а Л а (х, и, .. |
., Dmu) |
= £ |
(- |
l)MD\, |
|
(1) |
| а | < т |
|
|
|
|<х|<т |
|
|
|
|
где х = (Xj, . . . , xn ), |
Q — ограниченная |
область |
в n-мерном евкли |
|||||
довом пространстве R"; а = (а,, |
ап ) —мультииндекс, |
а. — целые, |
||||||
неотрицательные, | а | — длина мультииндекса |
а, |
| а | = |
а , - | - а п , |
Класс уравнений вида (1) достаточно широк: к нему принадле жат, например, уравнения Эйлера для вариационных задач, не линейные уравнения механики. Отметим, что даже в случае урав нений второго порядка наиболее полно исследованы уравнения ди вергентного вида (см. [84]).
з
Естественными при изучении уравнений вида (1) принято счи тать условие эллиптичности в виде
|ot|=|3l=ni |
В |
V |
|0|=m |
|e|=m |
|
|
условия гладкости |
функций Аа(х, |
£) и оценки на рост при |
||||
сх> функций |
Лц |
например, |
в виде |
|
|
|
|
|
| A e ( x , Q | < C 2 |
( l + |
| E | ) p - 1 |
|
(3) |
и соответствующие |
оценки для производных Аа(х,|). |
В |
условиях |
|||
(2). (3) р > 1, С р С2 —положительные |
постоянные, |
л:£Й, £ = { * а : |
||||
: | а | < т) £RM, |
М — число различных |
мультииндексов |
длины, не |
|||
большей т. |
|
|
|
|
|
|
Дивергентная форма уравнения (1) позволяет определить обоб
щенные |
решения, |
имеющие |
производные только m-го |
порядка, |
||||
принадлежащие пространству |
С. Л. Соболева |
(й) [154]. Функ |
||||||
ция |
u(x)^Wmp |
(Q) называется |
обобщенным решением уравнения (1), |
|||||
если |
для ф £ С~ (Q) |
выполняется |
равенство |
|
|
|||
|
|
£ ^Aa(x,u,...Dmu)Da<pdx= |
£ \fa(x)D^dx, |
(4) |
||||
|
|
\a\<SJn Q |
|
|
|
|a|<m Я |
|
|
здесь |
(Q) — множество бесконечно дифференцируемых |
функций |
||||||
с компактным |
носителем в Q. |
|
|
|
Регулярность обобщенных решений
Проблема регулярности решений квазилинейных эллиптических уравнений идет от Гильберта (девятнадцатая проблема), которым ставился вопрос, должны ли быть все решения регулярной вариа ционной задачи необходимо аналитическими функциями. В даль нейшем, по мере перехода от уравнений с аналитическими функция ми к уравнениям с дифференцируемыми функциями, постановка проблемы регулярности расширялась: «Дифференциальные свой ства решений эллиптического уравнения внутри области их суще ствования определяются дифференциальными свойствами функций, образующих эти уравнения, и не зависят ни от гладкости гранич ных значений, ни от того функционального пространства, в кото ром эти решения первоначально найдены» [84].
Первой работой, посвященной девятнадцатой проблеме Гиль берта, была работа С. Н. Бернштейна [8], в которой доказывалась аналитичность всех трижды непрерывно дифференцируемых реше ний нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, зада-
4
ваемых аналитическими функциями, с двумя независимыми пере менными. Позже требование существования третьей производной решения ослаблялось различными авторами (Л. Лихтенштейн,
Э.Хопф, Ч. Морри).
И.Г. Петровский выделил [123] класс систем дифференциаль ных уравнений, которые теперь принято называть системами, эллип тическими по И. Г. Петровскому, все достаточно гладкие решения которых аналитичиы. Требование на минимальную априорную глад кость решения было ослаблено С. Агмоном, А. Дуглисом, Л. Ниренбергом [1]. Например, для уравнения вида (1) из работы [1] сле дует, что всякое принадлежащее Ст (Q) решение является анали
тическим в Q, если Аа, / а аналитичны.
Все эти результаты сводят девятнадцатую проблему к доказа тельству определенной гладкости решения задачи. Но вместе с тем не дают ее полного решения, так как нет способа построения реше ния с требуемой априорной гладкостью.
Полное решение для многомерной задачи в случае уравнений второго порядка получили для специального функционала де Джор джи [56] и Нэш и в общем случае О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева (см. монографию [84], где дается обзор работ по уравнениям второго порядка).
Проблеме регулярности для квазилинейных уравнений высшего порядка посвящено небольшое число работ.
Для уравнений высшего порядка Морри доказал [105], что для
каждого обобщенного решения и (х) |
существует локально компакт |
|||
ное |
множество Z меры |
нуль такое, |
что « € C m ( Q \ Z ) . |
В дальней |
шем |
при определенных |
условиях доказывалось [58], |
что Z имеет |
|
хаусдорфову меру нуль |
в определенной размерности. |
|
В работах [57, 59, 97] приводятся контрпримеры, показывающие, что уравнения высшего порядка существенно отличаются по свой ствам решений от уравнений второго порядка, и при п > 3, т > 2 можно построить примеры уравнений вида (1) с аналитическими Аа, но имеющими не принадлежащие С" (Q) обобщенные решения.
Гладкость обобщенного решения в случае двух аргументов изу чал И. Нечас [109] при ряде существенных дополнительных огра ничений (предполагалось, что уравнение можно включить в пара метрическое семейство уравнений специального вида, единствен ность решения задачи Дирихле и т. д.).
Уравнения специального |
вида |
рассмотрели А. С. Фохт [159], |
|||
И. Нечас [111]. |
Ограниченность |
обобщенного |
решения доказал |
||
Фрезе [54], а гельдеровость его |
при |
специальных предположе |
|||
ниях— Видман |
[158]. |
|
|
|
|
Проблеме регулярности |
обобщенных |
решений |
посвящены пер |
вая и вторая главы, в которых излагаются результаты, получен ные автором в работах [133—138].
В § 1 главы I строятся примеры эллиптических вариационных квазилинейных уравнений вида (1), которые имеют нерегулярные
5
обобщенные решения, не принадлежащие к определенным классам функций. Все эти примеры показывают, что приводимые ниже ре зультаты неулучшаемы.
В связи с контрпримерами, построенными В. Г. Мазья, де Джор джи, Джусти, Миранда, автором, основным в проблеме регуляр ности стал вопрос: установить минимальную гладкость решения, обеспечивающую его регулярность.
Этот вопрос решается в первой главе, где доказывается, что при естественных предположениях всякое обобщенное решение и (х) уравнения (1) принадлежит Cm(Q), если для произвольной функции <p€Co°(Q) выполняется условие
|
Ф « £ В , |
(Q) |
(5) |
{Вг2—пространство |
О. В. Бесова). |
Контрпримеры |
показывают, |
что условие (5) нельзя ослабить. Дальнейшее повышение гладкости и (х) непосредственно следует из работы [1].
Доказательство ограниченности производных m-го порядка ре шения уравнения (1) основано на получении равномерных оценок норм этих производных в L r при г ->• оо. Доказательство непрерыв ности этих производных основано на том же методе, только приме няющемся к вспомогательной функции, при выборе которой исполь зовалась идея Ю. Мозера [108].
Контрпримеры, о которых говорилось выше, относятся к случаю трех и более независимых переменных. В § 2 второй главы пол ностью исследован плоский случай и показано, что при выполнении естественных предположений всякое обобщенное решение явля ется регулярным.
Отсюда, в частности, следует, что девятнадцатая проблема Гиль берта имеет положительное решение в случае плоской области: всякое решение регулярной вариационной задачи необходимо аналитично, если функции, образующие уравнение, аналитичны.
В § 3 главы I I I доказывается при слабых предположениях, что при п = тр всякое обобщенное решение уравнения (1) непрерывно. Следующее отсюда утверждение о непрерывности обобщенного ре шения линейного уравнения с измеримыми ограниченными коэф фициентами обобщает на уравнения высшего порядка известную
теорему де Джорджи. Примеры показывают, что условие п = |
тр |
|
нельзя ослабить. |
|
|
В § 4 главы II рассмотрены уравнения вида (1) в случае |
не |
|
линейной зависимости Аа(х,и, |
..., Lfu) только от производных |
ви |
да { D 3 m : | р | < £}, k < т, и |
установлено, что при п = 2(т—k) |
всякое обобщенное решение уравнения (1) является классическим. Примеры показывают, что условие п = 2 (т — k) неулучшаемо.
6
Топологические признаки существования решения
Впервые исследование разрешимости задачи Дирихле для уравне ний вида (1) (и систем) было проведено в ряде работ М. И. Вишика [32—35], выделившего класс сильно эллиптических квазилиней ных уравнений. Для таких уравнений доказана теорема об одно значной разрешимости. Также доказана разрешимость для некото рых классов уравнений, являющихся сильно эллиптическими лишь по отношению к вариации старших производных и содержащих под чиненные члены.
Ф. Браудер в ряде работ (см., например, [17]) изучал разреши мость определенных операторных уравнений в банаховых простран ствах, к которым оказалось удобным сводить граничные задачи для
уравнения |
вида (I). Так, задача |
решения |
уравнения |
(1) |
при ус- |
||
|
о |
|
|
|
|
|
|
ловии и € W™ (Q) эквивалентна |
решению |
уравнения |
|
|
|||
|
|
|
Аи = /, |
|
|
(6) |
|
|
|
0 |
0 |
, |
|
|
ет |
где А — оператор из |
(й) в [Wp |
(Щ , определяемый для cp£C0 (Q) |
|||||
равенством |
< Аи, Ф ) |
= j |
£ Аа (х, и,..., Lfu) Daydx, |
|
(7) |
||
|
|
||||||
0 |
, |
Я \а\<т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f£[W^(Q,)) |
. Здесь |
и в дальнейшем для банахова пространства X |
|||||
через (h,u) |
обозначаем |
действие |
функционала Л£Х* |
на |
элементе |
||
и£Х. |
|
|
|
|
|
|
|
Возникающий при этом оператор А обладает свойством монотон ности, либо более общим свойством полуограниченности вариации.
Вопросам разрешимости подобных нелинейных уравнений |
посвя |
|||||
щена |
обширная |
литература |
[27, 47—52,69—73, 76, 92, 99—100, |
|||
118—120]. Здесь |
доказывается |
разрешимость при выполнении ус |
||||
ловия |
коэрцитивности |
|
|
|
|
|
|
•j^(Au, |
и)-+ |
+ |
о о при ||ы||-»-оо. |
(8) |
Изложение этих результатов содержится в монографии Ф. Браудера [17], обзорных статьях Ю. А. Дубинского [47], Р. И. Качуровского [73], Дж. Иллса [66], где и приведена основная литература по этому вопросу.
Разрешимость некоторых классов уравнений с нечетными опера торами, не удовлетворяющими условию коэрцитивности, доказана С. И. Похожаевым [128] (см. также [21, 121]). Им же введено поня тие нормальной разрешимости и доказана нормальная разреши мость определенных операторных уравнений с дифференцируемым оператором [127, 62, 25].
Разрешимость операторных уравнений с монотонными либо сходными с ними по свойствам операторами в упомянутых выше
7
работах получена в случае коэрцитивных или нечетных операторов. В последнее время для изучения подобных уравнений были приме нены топологические методы.
Топологические методы исследования нелинейных уравнений вида и + Ти = 0, где Т—вполне непрерывный оператор, были развиты в работах М. А. Красносельского и его учеников (см. [81]). Они основываются на введенном Лере—Шаудером [91] понятии степени отображения и эквивалентном ему понятии вращения впол не непрерывного векторного поля, введенного М. А. Красносель ским. Теория вращения вполне непрерывного векторного поля обобщена на поля и + Fu, где F — слабо непрерывный [13] либо уплотняющий оператор [16, 311. Введены топологические инвариан ты для фредгольмовых гладких векторных полей [153, 67, 14, 15].
Распространение топологических методов на операторы, не являю щиеся возмущениями единичного, проведено в работах [23, 24, 133,
139—143, 161]. Браудер [23] для отображений |
вида Н+Т, |
где Н— |
||||||
гомеоморфизм, |
а Т—вполне |
непрерывный |
оператор, |
определял |
||||
степень через |
степень Лере — Шаудера отображения |
/ + |
Н~х |
Т. |
||||
Им же совместно с Петришиным |
[24] введена многозначная |
сте |
||||||
пень для более |
широкого класса |
отображений, |
а для |
определен |
||||
ных отображений в гильбертовом |
пространстве |
введена |
степень |
Р.Л. Фрум-Кетковым [1611.
Вработах [133, 139—143] векторное поле аппроксимировалось
конечномерными полями, устанавливалась стабилизация враще ний конечномерных векторных полей и предельное значение этих вращений называлось вращением исходного поля. Изучены свой ства вращения (например, доказано, что вращение — единственный гомотопический инвариант, получена формула индекса критиче ской точки и др.) и даны различные применения этого понятия. Эти результаты излагаются в главе I I I .
Пусть X — действительное сепарабельное рефлексивное банахо во пространство, X* — его сопряженное. В § 2 вводится понятие вращения на границе S ограниченной области D cz X векторного поля Аи, где А : S -> Х*\{0}—ограниченный, деминепрерывный (переводящий сильно сходящиеся последовательности в слабо схо
дящиеся) |
оператор, удовлетворяющий |
условию |
|
|
а) |
для |
произвольной последовательности ип € S, |
слабо сходя |
|
щейся |
к и0 , из lim < Аип, ип — и0 > |
< 0 следует |
сильная схо- |
|
|
|
п->оо |
|
|
димость ип к и0.
Класс таких операторов достаточно широк. Всем этим условиям удовлетворяет определяемый равенством (6) оператор. Этим же условиям удовлетворяет оператор С + В + Т, где С — сильно монотонный, В — ортогональный, слабо непрерывный, Т — вполне непрерывный операторы [50; 72], операторы, порождающие норму [47], и др.
В § 2 вводится вращение и при более слабых предположениях
8
на X, А, а также для некоторых классов отображений из X в X. В § 3 изучаются основные свойства вращения. Здесь доказы вается классификационная теорема, утверждающая, что вращение является единственным гомотопическим инвариантом. Если опе ратор А определен на D и имеет в D только изолированные критиче ские точки (в которых Аи — 0), то вращение поля Аи на S равно сумме индексов всех критических точек. Отсюда, в частности, сле дует принцип ненулевого вращения: для того чтобы уравнение Лы=
= 0 |
было разрешимо в D, |
достаточно, чтобы вращение |
поля |
Аи |
на S |
было отличным от нуля. Доказывается нечетность |
вращения |
||
определенных векторных |
полей. |
|
Аи. |
|
В § 4 получена формула для индекса критической точки поля |
Общий принцип ненулевого вращения применяется в § 5 для получения признаков существования критических точек. Отсюда в качестве следствий получаются известные результаты о разреши мости уравнения (6) при условии (8). Обобщаются результаты С. И. Похожаева по разрешимости уравнений с нечетными опера торами. Изучается разрешимость асимптотически однородных опе раторов. Некоторые признаки получены для операторов А, дей ствующих в X. Отметим, что в качестве следствия дано обобщение принципа М. А. Красносельского существования неподвижной точки отображения К + F, где К — строго сжимающий, a F — впол
не непрерывный операторы. В заключение § 5 дается |
обоснование |
|
сходимости |
метода Галеркина для рассматриваемых |
операторных |
уравнений. |
|
|
В § 6 даются приложения развитых топологических методов к изучению граничных задач для нелинейных эллиптических урав нений. В частности, доказана при естественных условиях разреши мость нелинейной задачи Неймана для уравнений второго порядка (отметим, что обычный метод Лере — Шаудера к этой задаче не применим [84, гл. X]).
Разрешимость и обоснование метода Галеркина для ряда нели нейных задач механики дается в § 7.
Задача о собственных функциях
Топологические методы, развитые в третьей главе, позволили в
четвертой главе |
обобщить |
результаты |
М. А. Красносельского [81] |
|
о собственных |
функциях |
уравнения |
и + 'kFu = 0 на |
уравнения |
вида |
|
Аи + \Ти = |
0. |
(9) |
|
|
Здесь А — ограниченный деминепрерывный оператор, удовлетво ряющий условию а, Т, F — вполне непрерывные операторы.
Существование собственных функций уравнения вида (8) в слу чае потенциальных операторов А, Т (являющихся градиентами не-
9