книги из ГПНТБ / Васильева М.В. Лекции по проективной геометрии учеб. пособие для студентов мат. фак
.pdf
Министерство Просвещения РСФСР
Московский ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственный педагогический институт имени В.И.Ленина
Кафедра геометрии
М.В.ВАСИЛЬЕВА
Л Е К Ц И И
ПО ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие для студентов математического факультета
Москва - 1973
Гее. n>блинная научно - телнгі .в • пая библиотѳл.ч СССР
ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНО'О ЗАЛА
|
Г л а в а |
п е р в а я |
|
|
|
ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО |
|
|
|
|
$ 1. Введение |
|
|
|
Гѳоыѳтрня - |
очень древняя, eon не оаыая древняя |
от |
- |
|
раоль математики. |
За время ее |
существования накопилось |
в |
н а | |
очень много фактов. Появилаоь потребность их расклассифици ровать. Во-первых, ив-аа их обилия, во-вторых, что более важно, ив практических, чиото утилитарных соображений.Вѳдь геометрия, как и воякая настоящая наука, очень сильно свявана о жианью, практикой, а именно, изображением. Практика дик тует и принцип втой классификации. Характерным привнаком ки вни является ивменение: вое живое течет, изменяется,преобравуѳтся, отображается. При определенных преобразованиях, ото бражениях некоторые свойства утрачиваются, некоторые,более стойкие к ним сохраняются. Очень важно ш а т ь какие овойотва при данных преобравов.аннях сохраняются. Их • собирают в один класс.
|
Для большей точнооти напомним терминологию. |
|
|
|
|||||||||||
|
Определенжа.Пуоть |
àtfl |
и |
Wl |
|
- два мнокеотва. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Природа |
элементов(то |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чек) , составляющих |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вти множѳотва неваж |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на. Говорят, что вада- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но отображение множе |
|||||
ства |
і¥і |
в множество |
ЗД,' |
, если |
по |
какому-либо |
правилу |
||||||||
каждому |
влѳменту |
M |
|
множества |
Wi |
|
поставлен |
в |
соотве |
||||||
тствие |
определенный |
(один) |
вхамѳнт M ' |
множества |
fàï' |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j(M) |
= n: |
|
|
|
|
( l ) |
||
M' |
|
- |
обрав |
M |
, |
M |
- |
прообраа |
M ' |
. П о |
опреде |
||||
ленно отображения каждая точка |
|
M |
|
мнокеотва |
Wi |
ш ѳ ет |
|||||||||
вполне |
определенны! |
один |
обрав |
M ' |
. Не так |
будет |
для |
точ |
|||||||
ки |
М' |
|
множества |
№ / |
. 1) |
Не воякая точка |
М' же |
ttï' |
|||||||
имеет прообраз, |
2) |
если |
имеет, |
то может бнть не |
один. |
|
|||||||||
3
Например, 1) отображение, описываемое формулой
(2)
у = son ОС,
можно трактовать как отображение числовой прямой х в число вую прямуюу
1) не все являются образами,
2) а какие являются образами, то образами многих прообразов.
Эти два свойства могут не выполняться пороань. |
|
|
Например, каждой точке і M |
плоскости Wi |
отнесем |
Щоснование М' перпендику
|
|
|
|
|
ляра, опущенного |
ив |
M |
|
на |
||||||
|
м' |
|
|
|
прямую |
№ь |
|
. Обрата |
запол - |
||||||
|
|
|
|
нят |
всю прямую |
|
rtV |
, |
одна |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
J |
ко |
каждой точке |
M ' |
соотве |
|||||||
тствует много точек, |
M |
. |
Отображение множества |
Wi |
|
||||||||||
в множество |
j f t ' -, |
|
когда |
каждая точка |
M ' е |
«ftf |
является |
||||||||
образом не более одной точки |
M *з |
tft,^ |
называется |
взаимно |
|||||||||||
однозначным.Тогда |
разным точкам |
из |
цѴі |
будут |
соответство |
||||||||||
вать равные |
точки |
ив |
Wi/ |
|
. |
Если |
образы не |
|
заполняют |
все |
|||||
» *о такое взаимно однозначное отображение |
$h*Wi |
||||||||||||||
называется вложением |
èftt |
в |
М / |
|
. Бола |
же.кроме |
того, |
||||||||
образы точек |
Wt |
заполняют |
вое множество |
ftif |
, |
то |
та |
- |
|||||||
кое вванмно |
однозначное отображение |
<&Ѵ |
|
на |
|
tfs\/ |
бу |
||||||||
дем называть наложением. В дальнейшем нао |
будут |
интересовать |
|||||||||||||
взаимно однозначные |
отображения |
множества |
ПЛ. |
|
m |
àïl' |
. |
||||||||
для~каждого тая1)гсПэтобрадеюія естественно определяется обрат ное отображение г-1 / •
оно,очевидно,также будет |
взаимно однозначным отображением |
|
на |
(наложением). |
|
4 . |
|
|
Часто мы будем рассматривать наложение множества |
на себя |
- |
|||||
преобразование. Итак, преобразование - взаимно однозначное |
|
||||||
отображение множества на себя. |
|
|
|
|
|
||
Определенным совокупностям преобразований |
будем |
ставить |
|||||
в соответствие |
геометрию, которая |
изучает свойства, |
сохраняю |
||||
щиеся при |
этих |
преобразованиях. |
|
|
|
|
|
§ |
2. Примеры отображений, |
преобразований |
|
|
|||
|
|
и соответствующих |
геометрий |
|
|
|
|
|
I . |
Движения |
|
|
|
|
|
Движения - |
преобразования пространства |
или |
плоскости, |
со |
|||
храняющие |
все расстояния. |
|
|
|
|
|
|
Если какой-нибудь предмет передвинули, |
то |
по передвинуто |
|||||
му можно судить |
об исходном в том что у них |
общего, |
что сохра |
||||
нилось: очевидно, углы, непрерывность, длины, может быть что-
нибудь еще. Значит, имеет смысл в |
один отдел собрать |
все |
свой |
|||||||||
ства, |
сохраняющиеся |
при движении. Совокупность |
таких |
свойств |
||||||||
образует |
метрическую |
геометрию на плоскости или в пространстве. |
||||||||||
|
|
|
2. |
Подобные |
отображения, |
преобразования |
|
|
|
|||
Подобные отображения - отображения, изменяющие все рассто |
||||||||||||
яния в одно |
и то же |
число раз . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подобные отображения естественно появились исторически |
|||||||||||
при создании планов земельных участков. Например, можно пред |
||||||||||||
ставить себе Древний Египет: у крестьян - феллахов имеются |
||||||||||||
земельные участки по берегу Нила, |
ежегодно Нил разливается и |
|||||||||||
смывает все вехи. Чтобы восстановить |
участки, |
нужно иметь |
ка |
|||||||||
кое-то изображение их на |
бумаге, |
папирусе. В первом |
приближе |
|||||||||
нии можно считать, что земельные |
участки - плоские, |
такхе |
|
|||||||||
как и бумага, но нельзя |
же изображать в натуральную величину, |
|||||||||||
поэтому все |
уменьшают в |
одно и то |
же число^ раз |
и получают |
план. |
|||||||
Чтобы |
план |
использовать |
- по плану судить об оригинале, |
нужно |
||||||||
знать, |
чему на чертеже можно верить, |
то есть все понятия |
и свой |
|||||||||
ства, которые сохраняются при уменьшении(подобном преобразова |
||||||||||||
нии); очевидно, |
ими будут |
прямолинейность, параллельность, |
углы, |
|||||||||
отношения отрезков одной прямой или параллельных прямых, может |
||||||||||||
быть еще что-нибудь. Значит,, нужно в один отдел объединить те |
||||||||||||
свойства, |
которые сохраняются при подобных преобразованиях- |
|||||||||||
получим элементарную геометрию, которая, как известно, |
изучает |
|||||||||||
свойства |
фигур, |
которые |
не зависят ни от положения, ни от |
раз |
||||||||
меров, |
то есть |
с точностью до подобных преобразований. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, |
Можно различать элентарную геометрию на плоскости - пла ниметрию и в пространстве - стереометрию.
3.Конформные отображения, преобразования
Также исторически из практических соображений возникла конформная геометрия. Когда люди стали путешествовать на бо
лее |
длинные |
расстояния по земле, потребовалась карта, |
причем |
||
уже |
нельзя |
было |
отвлекаться |
от того, что поверхность |
земли не |
являетая куском |
плоскости, |
но можно считать, что она |
является |
||
сферой. Также, путешествуя по морю, люди ориентировались по звездам, а для этого нужно иметь изображение небесного сводасферы. Если сферу уменьшить, то получим глобус; однако, в пу тешествии возить с собой глобус неудобно, нужно получить изо
бражение |
на бумаге |
- куске плоскости. В картографии существу |
ет много |
способов |
отображения сферы на плоскость. Одним из |
них является стереографическая проекция. Она была известна в
Древнем Мире, ею пользовался Гинпарх во П веке |
до н . э . , |
Птоло- |
|||||
мей в I веке н . э . Она заключается в том, что на сфере выбира |
|||||||
ется одна точка - полюс |
Р |
и |
|||||
из |
нее |
проектируются |
точки M |
||||
сферы * |
в точки M'плоскости |
||||||
j t |
перпендикулярной |
диаметру |
|||||
РО, проходящему |
через |
полюс Р. |
|||||
При этом многое |
исказитсяраз |
||||||
меры, отношения, но чтобы мож |
|||||||
но |
было использовать |
карту, |
|||||
нужно знать, |
в |
какой |
мере |
ей |
|||
можно верить, |
то есть |
какие |
|||||
свойства сохраняются при стереографической проекции. Оказыва
ется |
окружность |
сферы, не проходящая через полюс |
Р |
перейдет |
|
в окружность - окружности можно верить; окружности, |
проходя |
||||
щие через |
полюс |
Р - в прямые. Особенно важно |
для |
прокладки |
|
пути |
что |
при стереографической проекции сохраняется угол. |
|||
Отображение, которое получается в результате стереографи ческих проекций и подобий является общим конформным отображе нием сферы на плоскость. Оно наводится на соответствующих по верхностях конформным преобразованием: любым точечным преобра зованием, переводящим сферу и плоскость в сферу или плоскость.
Другим примером конформного отображения плоскости на себя
является инверсия относительно окружности |
к(0,г)} |
6.
когда |
каждой точке |
M |
|
||||
плоскости |
ставится |
в |
со |
|
|||
ответствие |
точка М' |
. л е |
|
||||
жащая на луче ОМ |
и |
та |
|
||||
кая, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОМ-ОЛі' = г* |
|
|
|
|
Окружности,проходящие |
че |
- |
|||||
pes |
полос |
инверсии |
О |
|
|
||
перейдут |
в |
прямые,окружно |
- |
||||
сти, |
не |
проходящие |
черев |
|
|||
О |
- |
в |
|
окружности. Так |
|||
же сохраняется угол. Инверсия и подобие составляют общее |
|
||||||
конформное (мёбиуеово) преобразование |
плоскости. |
|
|
|
|||
Кон^£рмная_геомѳт^ия_И8^ает_свойства ,_сохр^ішшшиеся |
|
||||||
при конфодшых_п2Ѳобразов аниях. |
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку при конформных преобразованиях сферы переходят в сферы, окружности в окружности, то ее называют иногда геометрией сфер и окружностей.
4. Проективные отображения преобразования
Также с давних пор появилась потребность в рисунке -
- пейзаже или портрете. Древние египтяне это делали также как о планаіш земельных участков-умѳньшали натуральные вели чины в одно и то же число pas и все - равные изображали рав ными и рисунок получался неправдоподобным.
Чтобы рисунок был правдоподобным, проиаводил то же впе чатление, что и натура (чтобы было как живое) нужно обратить ся к природе получения изображения в нашем глазу.
7 .
Изображение от любой точки |
M в наш глаз |
S |
попадает |
|||||
по прямой, соединяющей точку H |
с глазом. Поэтому от всех |
|||||||
точек, |
лежащих |
на |
прямой SM |
, |
будет одно и то же изображе |
|||
ние, и, |
значит, |
чтобы картина х |
|
производила |
то же |
впечат |
||
ление, что и натура, точка |
М' |
, |
изображающая |
на картине |
||||
какую-то точку |
M |
натуры, должна |
лежать на пересечении |
|||||
прямой SM с картиной. То же получается при фотографирова |
||||||||
нии от лампы или от вспышки. |
|
|
|
|
||||
Очевидно, |
при |
таком отображении размеры |
исказятся, па |
|||||
раллельность нарушится, углы изменятся. Однако, по картине многое можно узнать, даже, если сделать снимок со снимка - репродукцию. Так что же сохраняется? Важно знать те свойст ва, которые сохраняются при проекциях, чтобы им верить, по
ним судить об оригинале. Соответствие между плоскостями, когда все прямые, соединяющие соответствующие точки, прохо дят через одну точку S называется центральной проекцией. Соответствие между двумя плоскостями, которое получается в результате цепочки центральных проекций называется проек тивным отображением. Оказывается, что при проективном ото бражении сохраняется принадлежность, прямолинейность, слож ное отношение.
Проективная геометрия на плоскости изучает свойства, которые сохраняются при проективных преобразованиях плоскости.
8.
5. Аффинные отображения.преобразования
Аффинные отображения являются частным случаем проектив ных отображений. Аффинное отображение евклидовой плоскости на
пдоокооть состоит ив параллельных проекций: когда прямые, со |
|||||||
6 |
|
точки |
|
параллельны одной прямой I - |
|||
единяющие соответствующие |
|
||||||
|
\ |
|
|
проекций |
с бесконечно |
||
|
~ Л |
\ |
|
удаленным |
центром S* |
||
|
|
\ |
|
оно например, подучаѳт- |
|||
^ |
|
\ |
|
оя |
при |
фотографирова - |
|
* |
|
|
\ |
нии |
на |
солнце. |
|
При аффинном отображении также многое искажается, но мно гое и сохраняется. Во-первых, конечно все, что сохраняется при проективном отображении, то сохранится и при аффинном отображении, но более того, окааываѳтоя что сохраняется па раллельность, проотоѳ отношение. Значит, если сделана фото графия на солнце, то параллельности, проотому отношению мож но верить: также будет и в оригинале.
Аффинное отображение плоскости на себя нааываѳтся аДь финным преобразованием.
Оказывается оно является наиболее общим точечным пре образованием евклидовой плоокости, сохраняющим прямолинейность. Аффинное преобразование пространства наиболее общее,
переводящее евклидову плоскость в плоокооть. Оно наводит на соответствующих плоскостях аффинное отображение.
Аффинная геометрия изучает свойство фигур, сохраняющих ся при аффинных преобразованиях плоскости, пространства.
Итак, в основу классификации геометрий имеет смыол по ложить прѳобравования. По_кдѳѳ Клѳйна_кпждая геометрия объедмняѳт__свойства,_оох^аняидиеся_п£И_ опрѳд;ѳленной_оово- к^таооти_прѳобрааований.
Однако Vне воякоѳ множество G преобразований кладѳтоя в основу такой геометрии. Так как соответствующая геометрия изучает свойства,сохраняющиеся при преобрааовани- ях о из множе"ства^бі,то у фигур, которые сами получаются одна
из другой каким-нибудь преобразованием |
ив Q |
ети |
|
|
9. |