книги из ГПНТБ / Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вкниге рассматриваются методы решения двумерных задач теории упругости, основанные на применении аппарата теории функций комплексного аргумента. Наиболее важные и принципи­

альные из этих методов связаны с именем Н. И. Мусхелишвили и изложены в его классической монографии «Некоторые основ­ ные задачи математической теории упругости», вышедшей не­ давно пятым изданием. Благодаря изяществу аналитических средств, а также чрезвычайному удобству в приложениях, эти методы приобрели широкую известность и постоянно использу­ ются широким кругом специалистов, занимающихся самыми различными областями математической физики от теории упру­ гости и гидродинамики до квантовой теории поля.

Идея применения комплексного переменного к решению бнгармонического уравнения, зародившаяся в начале нашего столетия, была впоследствии широко использована и существен­ но развита в разных направлениях. Именно на этой основе был найден новый перспективный подход к выявлению важных структурных свойств решения обширного класса эллиптических

с целью приспособления их к эффективному рассмотрению клас­ са новых задач, особо важных для приложений. Наблюдавший­ ся за последние десятилетия значительный прогресс вычисли­ тельной математики, обусловленный появлением быстродейству­ ющих электронных вычислительных машин, позволил предста­

выполнить пожелание, сделанное А. Н. Крыловым в его знаме­ нитом предисловии к первому изданию книги Н. И. Мусхелиш­ вили. В этом направлении следует особо отметить усилия совет­ ских и американских ученых.

5

Предлагаемую вниманию читателей книгу автор рассматри­ вает как свои вклад в развитие этого общего направления. Книга, более полное представление о содержании которой можно составить по подробному оглавлению, основана, за небольшим исключением, на результатах работ автора, выполненных в Математическом институте имени. А. М. Размадзе и Вычисли­ тельном центре АН Грузинской ССР. В ней, если не считать первой главы, посвященной теоретическому исследованию сме­ шанных задач, предлагаются эффективные решения различных задач о напряжениях в двумерных однородных и неоднород­ ных упругих телах, относящихся к плоской деформации, обоб­ щенному плоскому напряженному состоянию, а также к теории изгиба тонких пластинок под действием нормальных усилий.

Во второй главе на трех примерах нестандартного типа иллю­ стрируется применение методов Мусхелишвилл к решению в строгом математическом смысле задач, не допускающих полу­ чение решения в замкнутой форме, с построением заодно приб­ лиженного решения с любой заданной точностью,

В третьей главе предлагается метод решения задач о сопри­ касании двух тел с цилиндрическими поверхностями, когда лини­ ей контакта служит дуга окружности, причем допущение

омалости участка контакта заведомо не имеет места.

Вчетвертой главе, значительно превышающей по объему все остальные, предлагаются специальные методы решения различ­ ного рода задач о напряжениях, приспособленные к тому или иному классу областей.

Несколько особняком стоит последняя, пятая глава. В ней делается попытка применения комплексного переменного к тео­ рии несимметричной упругости и дается решение соответствую­ щих граничных задач в некоторых простейших случаях.

Изложение почти всюду сопровождается конкретными при­

мерами, решение которых дается в явной аналитической форме и в ряде случаев доводится до численных результатов. Результа­ ты параграфов 16, 29*, 31, 33—36, 42 и 44 публикуются впервые.

Вопросы адекватности получаемых решений с точки зрения применимости исходных соотношений линейной теории при всей их важности в книге не обслуждаются. Основную свою цель автор видел в демонстрации эффективности применяемых мето­ дов и подробному их изложению уделил главное внимание.

Автор пользуется приятной возможностью выразить здесь глубокое уважение и благодарность своим учителям, академикам Николаю Ивановичу Мусхелишвилп и Илье Несторовичу Векуа, работа с которыми определила направление его научных иссле­ дований. Автор весьма признателен также своим коллегам и

(А. Каландия)

Глава первая

МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ПЛОСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ)

дов классической математической физики,—-пользовался в свое время огромной популярностью. Сразу же после появления пер­ вых фундаментальных работ этот метод привлек к себе внима­ ние широкого круга ученых и стал одним из основных методов для теоретического исследования граничных задач. Особое ув­ лечение этим методом при изучении задач математической тео­ рии упругости наблюдалось у нас в 30-х годах и в начале 40-х годов, когда и были построены интегральные уравнения Фредгольма почти для всех основных случаев.

Метод теории потенциала, безусловно, представляет боль­ шие удобства для общих исследований граничных задач. Одна­ ко для практических применений он не совсем удобен. Те же самые свойства ядер потенциалов, которые позволяют произве­ сти сведение граничной задачи к уравнению второго рода, дела­ ют эти потенциалы почти бесполезными для количественного анализа изучаемого явления вблизи границы. Для практических целей метод интегральных уравнений с его стандартной схемой вычисления, основанной на использовании дискретного аналога интегрального уравнения, мало эффективен даже при современ­ ном уровне вычислительной техники. Метод потенциала, за исключением весьма немногих случаев, дает лишь теоремы существования решений, а это в классических задачах приклад­ ного характера, в частности, в задачах теории упругости, види­ мо, не самое главное. Поэтому в таких случаях приходится разыскивать специальные методы (эффективного) решения, приспособленные к тем пли иным классам задач.

Предлагаемое исследование смешанных задач представляет на наш взгляд известный теоретический интерес.

7

Дело в том, что смешанные задачи естественным образом приводят к интегральным уравнениям с ядром типа Коши, имею­ щим разрывные коэффициенты. Подобные уравнения, согласно их общей теории, имеют, вообще говоря, разрывные решения, а механическое содержание задачи требует в достаточной степе­ ни гладкого решения получаемых сингулярных уравнений.

§ 1. Общие формулы плоской теории упругости. Основные граничные задачи. Некоторые вспомогательные предложения

1°. Для облегчения ссылок приведем хорошо известные формулы плоской теории упругости в статическом случае и да­ дим формулировку основных граничных задач. Вывод этих формул имеется в книге H. I I . Мусхелишвплн [1], к которой нам придется не раз обращаться.

Под плоским упругим состоянием обычно понимают плоскую деформацию упругой среды, параллельную заданной плоскости (деформация длинного цилиндра со свободными основаниями) либо ее обобщенное плоское напряженное состояние (деформа­ ция тонкой пластинки силами, лежащими в ее плоскости).

удовлетворяющего определенным граничным условиям. В при­ ближенном рассмотрении к ангармоническому же уравнению сводятся задачи о равновесии тонкой упругой пластинки, под­ верженной действию нормальных нагрузок. Плоские задачи н

смотрение этих двух типов задач, что мы и будем делать в даль­ нейшем.

Физическую область, т. е. область, занятую упругой средой, будем обозначать через S, В основном мы будем заниматься упругими средами, заполняющими конечные или бесконечные

8

иого аргумента z=xJriy по известным формулам Колосова-- Мусхелишвнли:

где ц,— модуль сдвига, a ѵ, — константа H. I I . Мусхелншвили — упругие постоянные. При этом

X = 3 — 4ѵ в случае плоской деформации,

3— V

к— 7—,— в случае тонкой пластинки,

где V — коэффициент Пуассона.

Формулы (1.2) основываются на известной формуле Гурса, дающей общее комплексное представление функции напряжения

Пусть AB— произвольная линия, мысленно проведенная внутри тела (в области S) и Xnds, Ynds— компоненты вектора напряжения Fnds, приложенного к элементу дуги ds профиля AB справа (с положительной стороны нормали). Тогда имеет место равенство

в

упругого равновесия тела равносильна нахождению двух анали­

9