Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.27 Mб

Скачать

☆

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ДЛЯ СЛОЖНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Д. С. СИЛЬВЕСТРОВ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ

ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛОЖНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ

ФУНКЦИЙ

ИЗДАТЕЛЬСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ «ВИЩА ШКОЛА» ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ КИЕВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ

КИЕВ — 1974

517.8
С36	і
УДК 519.21
Предельные теоремы для	сложных случайных функций. С и л ь

в е с т р о в Д. С., Издательское объединение «Вища школа», 1974, 320 с.

Монография посвящена систематическому изложению теории предельных теорем для суперпозиций случайных процессов. Как ча стный случай эта схема включает в себя процессы ступенчатых сумм случайного числа случайных величин. Изучаются условия сходимо сти распределений суперпозиций случайных процессов и условия сходимости суперпозиций случайных процессов в топологиях U и J. Рассматриваются основные приложения полученных результатов к обобщенным процессам восстановления, к процессам ступенчатых сумм случайных величин, определенных на полумарковских процес сах с конечным и счетным множеством состояний, дискретным слу чайным блужданиям, суммам управляемых случайных величин, функционалам аддитивного типа от диффузионных процессов и не которым другим классам случайных процессов.

Рассчитана на научных сотрудников, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области теории вероятностей и ее приложений, а также на исследователей в области кибернетики, экономики, техники и физики, использующих в своей работе методы теории случайных процессов.

Библиогр. ПО.

Редакция естественной литературы

Зав. редакцией Б. Н. Фляшников

20203—068

С13—74

М224(04)—74

©Издательское объединение «Вища школа», 1974

				О Г Л А В Л Е Н И Е
П р е д и с л о в и е .........................................................................................................................										5
В в е д е н и е			................................................................................................................................. Общие	предельные теоремы для случайных процессов						6
Г л а в а	1.									9
§	1.		Слабая сходимость случайных величин в метрических простран
§ 2.			ствах ..................................................................................................................					.	.	9
			Сходимость случайных процессов в топологиях U и J							13
§	3.		Функционалы , непрерывные в топологиях U и J . .					.	.	20
§ 4.			Сходимость в топологиях U и J процессов с независимыми при							30
		................................................................................................	ращениями
§ 5.			Сходимость в топологиях		U и J марковских процессов .				.	35
Г л а в а 2.			Сходимость распределений сложных случайных функций							37
§	1.	Общие предельные теоремы о сходимости распределений						су
§	2.	..................................................	перпозиции случайных процессов						37
			Сходимость распределений суперпозиции полунезависимых слу
§	3.	...............................................................................	чайных ф у н к ц и й						48
			Условия	сходимости распределений суперпозиции			асимптоти
§	4.	..................................	чески независимых случайных ф у н к ц и й						55
		Асимптотически вырожденные моменты остановки. Центриро
§	5.	..........................................	вание сложных случайных ф у н к ц и й						60
			Предельные распределения для суперпозиции независимых
		..................................................	случайных последовательностей						69
§ 6.			Условия сходимости распределений процессов ступенчатых							77
§	7.		сумм случайного числа независимых случайных величин .						.
		Сходимость распределений				случайных процессов,	остановлен
Г л а в а 3.			ных в случайные моменты			марковского типа . . . .				81
			Сходимость сложных случайных функций в топологиях U и J							92
§	1. Сходимость суперпозиций случайных процессов в топологии U									92
§ 2. Сходимость суперпозиций случайных процессов в топологии J										96
§	3.		Условия сходимости в топологии J монотонных процессов .						. 1 1 5
§ 4.		Условия		сходимости в топологиях U и J процессов ступенча						126
§ 5.		...................................	тых сумм управляемых случайных в е л и ч и н
		Сходимость в топологии U обобщенных регенерирующих про								149
		.......................................................................................................	цессов
Г л а в а 4.			Предельные теоремы для обобщенных процессов восстанов							161
		.......................................................................................................	ления
§	1.	Общие предельные теоремы о сходимости распределений обоб								161
§ 2.		..................................................	щенных	процессов восстан овлен и я
		Условия сходимости обобщенных процессов восстановления в								182
§	3.	........................................................................................	топологиях U и J		семейства функционалов . .
			Однородные марковские						. 1 8 9
§	4.	Предельные теоремы для			обобщенных процессов		восстановле			192
§ 5.			ния , построенных по процессам с независимыми приращениями
			Предельные теоремы для обобщенных процессов восстановления ,							200
		..........................................	построенных по марковским п р о ц ессам

Г л а в а	5.	Предельные теоремы для конечных полумарковских схем сум
§	1.	мирования	случайных в ел и ч и н ....................................................	206
		Сходимость процессов ступенчатых сумм случайных величин,			206
		определенных на конечной цепи Маркова в топологии J		. .
§ 2.		Марковские моменты остановки для процессов ступенчатых			215
§ 3.		сумм случайных величин на конечной цепи Маркова		. .
		Предельные теоремы для процессов ступенчатых сумм		случай	220
		ных величин, определенных на полумарковском процессе . .
§	4.	Предельные теоремы для сумм случайных величин,		опреде	224
Г л а в а	6.	ленных на	цепи Маркова с поглощ ением .................................
		Сходимость в топологиях U и J процессов ступенчатых сумм
		случайных величин, определенных на счетных цепях Маркова
		и дискретных случайных блуж даниях..........................................			230

§1. Сходимость процессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на счетной цепи Маркова в топологии J . . 230

§2. Сходимость в топологии J процессов ступенчатых сумм слу чайных величин, определенных на дискретном случайном блу

ждании ..........................................................................	234
§ 3. Сходимость процессов ступенчатых сумм случайных величин,
определенных на полумарковском процессе со счетным множе
ством состояний в топологии U .........................................................	238

§4. Сходимость в топологии U процессов ступенчатых сумм слу чайных величин, определенных на дискретном случайном блу

Г л а в а	7.	ждании		......................................................................................................							247
		Общие предельные теоремы о сходимости распределений сумм
		случайного числа случайных величин,						определенных на одно
§	1.	родной цепи Маркова........................................................................					суммирования			253
		Случайные		моменты		остановки			марковского
		т и п а ......................................................................................................								253
§ 2. Циклические условия сходимости сумм случайных величин,
§ 3.		определенных на однородной цепи М а р к о в а ...........................								267	273
		Асимптотическая			возвратность		однородных цепейМаркова
§	4. Сходимость распределений процессов ступенчатых сумм слу
§		чайных	величин,		определенных		на цепи Маркова .			. .	278
	5. Предельные теоремы для сумм случайных величин, опреде
§ 6.		ленных на цепи Маркова до момента в ы х о д а ...........................								281
		Общие предельные теоремы о сходимости распределений								про
		цессов	ступенчатых сумм случайных					величин,	определенных
		на ПМП в схеме с е р и й ................................................................								284
П р и л о ж е н и е			1.	Замечания		к центральному		критерию сходимости
		сумм независимых			случайных в е к т о р о в ..................................					288	297
П р и л о ж е н и е			2.	Одно обобщение принципа				эквивалентности		. .
Библиографические			з а м е ч а н и я			........................................................................				305
Л и т е р а т у р а .............................................................................................................										310
Предметный у к азател ь ..............................................................................................										315
Вспомогательные о б о з н а ч е н и я						........................................................................				317

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предельные теоремы являются одной из наиболее важных и раз витых частей современной теории вероятностей.

Потребности приложений и внутренняя логика развития теории требуют изучения все более сложных предельных схем.

В последнее время интенсивно изучаются предельные теоремы для различного рода сложных случайных функций (суперпозиций случайных процессов), в частности, для схем суммирования случай ного числа случайных величин [18—20, 38, 41, 51, 73—78, 80, 82, 83, 85, 95—97, 101— 107].

Интерес к подобной проблематике первоначально возник в свя зи с рядом задач в физике, статистике, теории массового обслужива ния и теории надежности [17, 18, 26, 27, 89, 94, 98].

Настоящая монография посвящена систематическому изучению общих условий слабой сходимости распределений и условий сходи мости в топологиях U и J сложных случайных функций, представ ляющих собой суперпозицию случайных процессов без разрывов второго рода, а также применениям этих условий к суммам случай ных величин, определенных на цепи Маркова, полумарковском процессе, дискретном случайном блуждании и некоторым другим классам случайных процессов.

Значительная часть результатов публикуется впервые. Пользуясь случаем, автор приносит глубокую благодарность

И. И. Гихману, В. С. Королюку, А. В. Скороходу и М. И. Ядренко, чьи советы и замечания оказали большое влияние на эту работу и способствовали значительному улучшению ее.

Автор благодарит также ІО. Е. Кострицу и Р. И. Милешину, внимательно прочитавших рукопись, что позволило избежать многих технических неточностей и способствовало улучшению текста.

В В Е Д Е Н И Е
Сформулируем более точно общую постановку задачи.
Пусть £в (t), t > 0 и Ve (f), t > О — случайные процессы	без
разрывов второго рода. Предположим, что выполняется условие
(5е (). ѵе (0). t > 0 =>(So (), vo(0).1 > 0 при 8-^ 0.	(а)

Нас интересуют условия, которые достаточно наложить допол нительно к (а) на случайные процессы \&{t) и vE (t) для того, чтобы

выполнялось соотношение
(Ѵе (/)), t > 0 = b t Q(v0(0), t > 0 при е 0.	(б)

Нетрудно построить примеры, показывающие, что даже в том случае, когда случайные процессы | 8 (t) и ѵе (і) независимы, выпол нение условия (а) в общем случае недостаточно для того, чтобы име

ло место соотношение (б).
Если	£е (/) представляют собой процессы ступенчатых сумм слу-
	[to(e)]
чайных	величин i e(t) = 2	у (е, k ) , t ^ 0 (здесь ѵ(е) — неслучайная,
	£ = 1
неотрицательная функция		такая, что у (е) — оо при е — 0; у (е, к),

к > 1 — случайные величины), то £ (vg (/)), t > 0 — процесс ступен

чатых сумм случайного числа случайных величин. Как уже отмеча лось в предисловии, предельные распределения для сумм случайно го числа случайных величин в различных постановках изучались многими авторами [18—20,38,41,43,51,73 —78,80,82,83,95 —97, 101—105].

Предположим теперь, что соотношение (б) выполняется. В этом случае возникает вопрос о том, какие еще дополнительные условия достаточно наложить на случайные процессы £е (/) и ve (t) (здесь процесс Vf (t) монотонно не убывает) для того, чтобы

/té e(ve(/)))=S>/(É0(v<>(*))) ПРИ 8 у 0	(в)
для достаточно широких классов измеримых	функционалов,

* Символ =ф означает слабую сходимость конечномерных распределе ний случайных процессов и функций распределения случайных величин.

определенных на пространстве функций без разрывов второго рода

(на промежутке [0, 71).

В настоящее время достаточно хорошо изучены общие условия сходимости случайных процессов без разрывов второго рода в то пологии равномерной сходимости U и топологии Скорохода (J) (условия, обеспечивающие выполнение соотношения (в) для функ ционалов, непрерывных в топологии U или J почти всюду по мере, соответствующей предельному процессу), а также условия сходи мости в топологиях U и J процессов с независимыми приращениями, марковских процессов, процессов со слабо зависимыми приращени ями и некоторых других классов случайных процессов [8— 11, 13— 16, 34—36, 50, 58—65, 73, 74 , 78, 901.

Эти условия состоят, по существу, в требовании слабой сходи мости конечномерных распределений случайных процессов и ком пактности процессов в соответствующей топологии: равномерной малости, в том или ином смысле, приращений процессов за малые промежутки времени.

Внекоторых случаях удается представить сложные случайные процессы в виде суперпозиции более простых процессов, для кото рых условия сходимости в топологиях U и J известны или могут быть сравнительно легко получены (например, в виде суперпозиции про цессов с независимыми приращениями и монотонных процессов).

Всвязи с этим возникает задача: получить эффективные общие условия сходимости в топологиях U и J суперпозиций случайных процессов без разрывов второго рода в терминах компонент, участ вующих в суперпозиции. При этом условия сходимости конечномер ных распределений более целесообразно и эффективно заменить до статочными условиями слабой сходимости распределений супер позиций случайных процессов, о которых говорилось выше.

Книга состоит из семи глав и двух приложений.

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней кратко сформу лированы основные результаты, касающиеся общих предельных тео рем для случайных процессов, необходимые для дальнейшего из ложения. Подробное изложение материала первой главы можно най

ти в монографиях [15, 16].

Глава 2 посвящена систематическому изучению различных об щих условий сходимости распределений суперпозиций случайных процессов.

В главе 3 изучаются общие условия сходимости суперпозиций процессов без разрывов второго рода в топологиях 1) и J. Эти усло вия применяются затем для получения общих условий сходимости в топологии U обобщенных регенерирующих процессов.

Глава 4 посвящена более детальному изучению условий сходи мости распределений и сходимости в топологиях U и J обобщенных процессов восстановления — ситуации, в которой моменты останов ки ѵ„ (t) = inf (s : [i, (£e (и)) > t), t = 0 представляют собой мо менты «перескока», построенные по некоторым семействам функ ционалов у. — (щ (•), s > 0) от процессов (и), обладающих

определенными свойствами однородности и непрерывности по отно шению к топологии U.

Такие моменты остановки охватывают значительную часть прак тически важных случаев суперпозиции случайных процессов.

Дополнительная информация о структуре моментов остановки позволяет в некоторых случаях ослабить для обобщенных процессов восстановления общие условия сходимости распределений и схо димости в топологиях U и J суперпозиций случайных процессов, полученные во второй и третьей главах.

Главы 5— 7 содержат приложения общих предельных теорем о сходимости распределений и сходимости в топологиях U и J супер позиций случайных процессов к полумарковским схемам суммиро вания случайных величин и написаны более сжато.

В главах 5 и 6 изучаются условия сходимости в топологиях 0 и J процессов ступенчатых сумм случайных величин, определенных на однородной цепи Маркова, полумарковском процессе и дискрет ных случайных блужданиях, и ряд конкретных схем суммирования случайного числа случайных величин, определенных на цепи Мар кова.

Глава 7 содержит ряд общих предельных теорем о сходимости распределений сумм случайных величин, определенных на однород ной цепи Маркова с конечным или счетным множеством состояний, остановленных в случайные моменты времени марковского типа.

Приложения 1 и 2 включают некоторые вспомогательные резуль таты, существенно используемые в основном тексте.

Внутри параграфа используется автономная нумерация. Ссылки на утверждения и формулы в пределах одной главы идут с указанием параграфа этой главы (лемма 2 § 4 — лемма 2 в § 4). В остальных случаях используется тройная нумерация (теорема 2. 4.3 — теоре ма 2 в § 4 главы 3).

Г Л А В А 1

ОБЩИЕ ПРЕДЕЛЬНЫ Е ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

§1. Слабая сходимость случайных величин

вметрических пространствах

Пусть (й, F, Р) — некоторое вероятностное пространство, X — полное сепарабельное метрическое пространство и $Вх — о-алгебра борелевских подмножеств X (минимальная а-алгебра, содержащая

все сферы в пространстве X).
Случайной величиной, определенной			на	пространстве			(й, F, Р) и
принимающей	значения в X, будем	называть			любое 83х-измеримое
отображение	і = \| (со) пространства	й	в	X,	то есть	отображение,
для которого	{со : £ (со) £ А} £ F для всех		А £ Ü8X.
Функция /^(А ) = Р {со : \|(со) 6 А},		А £ ЭЗХ называется					распределе
нием случайной величины
Если X =	Rrt, то случайные величины,			принимающие			значения в
Rn, часто называют случайными векторами				и вместо		распределения
Fg(A), A£Ü8Rn используют функцию

f è(xi, ■■•.*„) = Р { Ш — °o»*i) X . ■• X (— оо, xn)},(xlt... ,xJ£Rn,

которая называется функцией распределения случайного вектора £. В дальнейшем мы будем постоянно оперировать с совокупностью случайных величин £е, зависящих от некоторого числового парамет

ра серии е > 0.

Определение 1.	Будем	говорить,		что случайные		величины £е,
е > 0, принимающие	значения в		X, сходятся		слабо к	£0 при е -> Q
	1е=$>10 при			е->-0,
если	F, (А)	F	(А)	при е	0

сво

для всех А 6 33х таких, что Р {£0 6 Гр. А} = 0.

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ