книги из ГПНТБ / Актуальные проблемы аналитической теории чисел [сборник]
..pdfИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АН БССР
АКТУАЛЬНЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
ЧИСЕЛ
Под редакцией В. Г. Спринджука ч
\
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА |
И ТЕХНИКА» |
V |
М II Н С К 19 |
7 4 |
A4
^5I\ PÖÖ. ПУБЛИЧНАЯ-
научно-тех - ая
ДИБЛИОТЕ,,а
Сборник составлен на основе материалов работы Всесоюз ной школы по аналитической теории чисел. В него вошли статьи ведущих советских математиков о новейших результа тах. проблематике и перспективах развития ряда актуальных областей теории чисел.
Представляет интерес не только для математиков, но и для научных работников, интересующихся современным состояни ем теории чисел и ее применений.
іу 0223—010 96—74
М316—74
Издательство «Наука и техника». Минск, 1974.
ПРЕДИСЛОВИЕ
С 12 по 21 июня 1972 года в Минске проходила Всесоюзная школа по аналитической теории чисел, организованная лабо
раторией теории чисел |
Института математики |
АН БССР |
|
и отделом теории |
чисел |
Математического |
института |
им. В. А. Стеклова АН СССР. Целью проведения школы было обсуждение и пропаганда новейших достижений аналитиче ской теории чисел, способствовавших тому, что эта область ма тематики в последние годы существенно изменила свой облик.
Оргкомитет школы предложил ряду ведущих советских математиков выступить с обзорной лекцией по теме, где авто ритет докладчика хорошо известен, или осветить отдельную проблему, недавно решенную докладчиком или над которой он работает. Лекции вызвали большой интерес слушателей, и было решено после определенной доработки сделать их до стоянием более широкой аудитории. Настоящий сборник и яв ляется материальным воплощением этого решения.
Помещенные в сборнике статьи касаются не только тради ционных областей аналитической теории чисел, но и ее новей ших направлений, где понятие величины тесно переплетается с понятиями арифметической, алгебраической или топологи ческой структур.
Каждая статья является независимой от остальных, хотя некоторые статьи связаны между собой идейно или примы кают друг к другу тематически. Поэтому читатель может ограничиться чтением лишь той статьи, которая его непосред ственно интересует. Однако он лучше поймет новейшие тен денции современного развития теории чисел, если ознакомит ся с содержанием всех статей.
Конечно, сборник не претендует на то, чтобы дать скольконибудь полное представление о современной аналитической теории чисел. Он не охватывает даже всех лекций, прочитан ных в школе (в него не вошли лекции А. Ф. Лаврика,. А. А. Карацубы и Н. М. Коробова). Тем не менее составители
I* |
3 |
сборника надеются, что он будет полезен широкому кругу ма тематиков и, может быть, поможет привлечь новые силы к творческой работе над глубокими и красивыми задачами тео рии чисел.
В наши дни область математики, называемая аналитиче ской теорией чисел, объединяет в себе неизмеримо более ши рокую совокупность теоретико-числовых фактов, чем это было еще 10— 15 лет назад, когда с понятием «аналитическая теория чисел» по традиции, идущей от математиков XIX века, связы вали почти исключительно вопросы распределения простых чисел, решаемые методами теории аналитических функций. Бурный прогресс теории чисел в 20—30-е годы, в частности создание метода тригонометрических сумм и решение ряда проблем аддитивной и дистрибутивной арифметической при роды, пополнил арсенал фактов, получаемых применением аналитических методов. Изучение теоретико-числовых объек тов методами теории меры дало метрическую теорию чисел, в частности метрическую теорию диофантовых приближений. Развитие р-адического анализа привело к созданию теории аналитических функций в р-адических полях, а затем и к со зданию неархимедова анализа, где достигается органический синтез идей классического анализа и теории чисел.
Хотя современный теоретико-числоЕой аналитик, как и его предшественники, работает с неравенствами, оценками, по рядками величин и т. п., фактическая интерпретация его ре зультатов может быть существенно новой и носить чисто арифметический, структурный характер (например, это так, когда используется хотя бы одна р-адическая метрика).
Плодотворность идей, обилие внутренних и внешних свя зей, конкретность, глубина и значительность решаемых про блем делают аналитическую теорию чисел весьма притяга тельной областью математики для новых и новых поколений
исследователей. |
традиции |
выдающихся |
соотечественников — |
Продолжить |
|||
П. Л. Чебышева, Г. Ф. |
Вороного, |
П. М. Виноградова, |
Ю.В. Линника — почетный долг советских математиков.
В.СПРИНДЖУ К
Б. М. Бредихин, ІО. В. Линник
НОВЫЙ МЕТОД В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Введение
В современной аналитической теории чисел существуют мощные методы для решения аддитивных уравнений — задач о представлении натурального числа суммой слагаемых за данного вида. Значительная часть аддитивных задач решается с помощью кругового метода Харди — Литтлвуда — Виногра
дова в форме метода тригонометрических |
сумм, |
созданного |
И. М. Виноградовым [1]. Этим методом |
И. М. |
Виноградов |
решил, в частности, знаменитую проблему Гольдбаха о пред ставлении нечетного числа суммой трех простых чисел,
Основой метода тригонометрических сумм является фун даментальная идея И. М. Виноградова по оценке двойных сумм посредством неравенства Коши — Буияковского с целью последующего их «сглаживания».
В основе дисперсионного метода (см. [2, 3]), позволивше го решить ряд классических аддитивных задач, недоступных круговому методу, также лежит идея «сглаживания». Эта же идея используется в методе большого решета [4], область применений которого пересекается с областью применения дисперсионного метода (в задачах, решение которых возмож но с помощью расширенной гипотезы Римана).
В 1953 г. И. М. Виноградов [5] применил идею «сглажи вания» для оценки элементарных двойных сумм. В работе [6] нами рассмотрены простейшие применения идеи И. М. Виноградова к диофактовым уравнениям особого типа:
n = |
(ѵі ¥ =ѵ2), |
( 1) |
|
Ѵі — V, |
|
в частности, к уравнению |
|
|
|
п — РіР — Р-гР |
(2) |
|
Рі — Рі |
|
в простых числах ръ р.г, |
р и р'. |
|
5
Доказывается существование решений и выводится оцен ка снизу для числа решений уравнения ( 1) при некоторых ограничениях па плотность чисел ѵ и на распределенность чисел ф в арифметических прогрессиях. Элементарная форма идеи «сглаживания» комбинируется при переходе к уравнению (2) с теоремами о распределении простых чисел в натураль ном ряду и в арифметических прогрессиях.
Целью этой работы является рассмотрение тернарного уравнения
а + ß -г Y = «■, |
(3) |
где а, ß II у пробегают какие-либо последовательности нату ральных чисел, и — достаточно большое натуральное число.
В§ 1 намечается в общих чертах схема исследования уравнения (3) с помощью нового метода, основанного на при менении идеи «сглаживания» к оценкам двойных элементар ных арифметических сумм.
В§ 2—4 показывается, что тернарная проблема Гольдба
ха (для |
чисел п без малых простых делителей) вкладывается |
в схему |
нового метода с привлечением некоторых теорем о |
простых числах.
В § 5 формулируются нерешенные задачи.
Считаем приятным долгом выразить глубокую благодар ность И. М. Виноградову и А. А. Карацубе за ценные замеча ния II пожелания, высказанные ими при обсуждении про граммы по максимальной э'лементаризацііп задач аддитивной теории чисел. Надеемся, что наш первый шаг в этом направ лении сможет привести в дальнейшем к возвращению неко торых классических задач аддитивной теории чисел в их «от чий дом» — элементарную теорию сравнений и, по возможно сти, элементарную теорию распределения простых чисел.
§ I. Общая схема решения тернарных аддитивных задач
Рассмотрим схему решения тернарного уравнения (3) с использованием конструкции ожидаемого числа решений не
которых уравнений. |
|
|
|
свести к серии |
|
Предположим, что уравнение (3) можно |
|||||
уравнений вида |
|
|
|
|
|
|
а -;-Ѵ]Д — РіД; = п, |
(4) |
|||
где Vj |
и Dj. pj II О-: |
пробегают |
некоторые прямоугольные об |
||
ласти |
значений: |
Di е (D,)- щ е ці), |
D 2е (D .A |
||
|
V] е (V), |
||||
Числа |
ѵх и р , — простые. На D, |
п D» |
могут |
быть наложены |
|
разнообразные дополнительные условия: |
f x\Dі) |
и (D3) — коли- |
й
чества повторений чисел Д |
и Do (они ие |
должны |
быть |
слиш |
||||
ком большими). |
а |
|
|
|
|
|
|
|
Переменная |
пробегает |
заданную |
последовательность |
|||||
{а} натуральных |
чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть S — число решений уравнения |
(4). |
|
|
|
||||
Рассмотрим |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а -р vlD1 -гР іД — и |
|
|
|
(5) |
||
при произвольных D! и D2 из |
их интервалов изменения |
(Di) |
||||||
и (Do). Пусть при |
фиксированных D, и D2 число |
решений |
||||||
уравнения (5), найденное из каких-либо |
эвристических |
сооб |
||||||
ражений, будет выражаться |
величиной А (я, D b D2). Тогда |
|||||||
можно ожидать, что число решений уравнения |
(4) |
будет с |
||||||
какой-то степенью точности представлено суммой |
|
|
||||||
Т = |
2 |
2 |
fi (Di) fо (Do) А (п, Di, |
Do), |
|
|
о[еФ,) D’2eiD.)
где Di и Do пробегают свои значения уже без повторений. Оставляя с этого момента область гипотетических рассуж
дений, оценим разность
|
V = S - T = |
2 |
2 |
fl {D[) f, (A) |
X |
|
|
||
|
|
|
£>i'e(ß.) я 2е(£>з) |
|
|
|
|
||
|
|
x ( |
2 |
1 - A ( n , D'u Do) ) |
. |
. |
(6) |
||
|
|
a-rV|Dj-Hi|ß.5=n |
|
|
|
|
|
||
Применяя |
неравенство Коши— Буняковского, находим |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
fl(Dl)fl(Do)-V, |
, |
|
(7) |
|
где |
|
ß,'e(ßi) o2e(ß2) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v ' = |
2 |
2 |
( |
2 |
1 — А (я, |
Di, |
Do) )2. |
(8) |
|
|
DjGlßi) DoE(D,) |
|
|
|
|
|
|
||
Двойную сумму К' будем называть |
дисперсией |
числа |
решений |
||||||
уравнения |
(4). Именно здесь |
мы применим идею |
И. |
М. Вино |
градова по оценке двойных сумм путем их «сглаживания». Рас
пространяя суммирование в |
(8) на все Dj из |
(D}) |
и все |
D2 из |
|||
(І>2), освободимся от всех |
обременительных |
условий, наложен |
|||||
ных на Di ц |
Do в |
(4). Величина дисперсии от этого может толь |
|||||
ко увеличиться. Поэтому |
|
|
|
|
|
||
Ѵ ' < г = |
2 |
2 ( |
2 |
- Л ( я , Д , |
D2)f, |
(9) |
|
|
DiG(ßi) £*з€(^г) |
а-Гѵі^іЧ"і-Іі^2—п |
|
|
|
|
7
где D1 и ß 2 пробегают без повторений |
все |
натуральные значе |
||||
ния соответственно из (ßx) и (D2). |
|
|
|
|||
Имеем |
|
Г = ^ - 2^ + 1^, |
(10) |
|||
где |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
( |
2 |
|
I)5. |
|
D IG (D I ) ß 2e(ß a) |
o H -v ,D ,+ jj,|D 3= n |
|
|||
v 2 = 2 |
|
2 А (п, |
Dlt |
Dt) |
2 |
1 , |
|
D»G(Dа) |
|
OC-j-Viöi-ЬдіОч—/і |
|||
П = |
2 |
2 |
(Л(п, Dlt |
ß,)'f". |
||
|
DiS(Di) D-e(Dt) |
|
|
|
|
Основную трудность при решении конкретных тернарных проблем представляет вычисление суммы Vt. Эта сумма совпа дает с количеством решений системы линейных (относитель но Di и ß 2) уравнений:
|
|
сс-і-vyD.-i-ppD, = //, |
I |
||
|
|
“ i + |
v|Dj + piß, = и. |
J |
|
В (11) |
Dl £ (Dj), |
D, £ (D2); |
простые |
числа |
vy и ѵІ£(ѵ), іу и pi £ |
6 (p); а |
и «1 6 М - |
|
погрешностью пренебречь в |
||
Пусть мы можем с допустимой |
|||||
(11) значениями |
лу, \у, рх й рі, при которых определитель си |
стемы А = лурі — ѵірх равен нулю, а также значениями лу = ѵ[ . Нетрудно видеть, что система уравнений (11) при сделанных до пущениях будет равносильна одному уравнению
Vj'cc = ѵусу |
(ѵі — Vj) n -f Aß, |
|
|
или сравнению |
(vl — vx) n (mod | A |), |
|
|
vja = луоу + |
(12) |
||
в котором, кроме условий для ѵх, ѵь рх и рі |
из (11), |
появля |
|
ются ограничения геометрического характера |
для а и су. |
Если |А| имеет достаточное понижение относительно п, на пример, такое, при котором последовательность {а} равномер но распределена в арифметических прогрессиях по mod |Д| в среднем, то Ѵ\ удается асимптотически рассчитать.
Вычисление сумм Ѵ2 и Ѵ3 является, вообще говоря, более простой задачей, чем вычисление Ѵ\. Пусть асимптотический расчет показывает, что суммы Ѵу, Ѵ2 и К3 совпадают с допу стимой погрешностью. Тогда V”, а следовательно, н дисперсия V' будут не слишком велики.
В результате из (6) п (7) получаем асимптотическую фор мулу для числа решений уравнения (4). Собирая числа реше
8
ний всех уравнений вида (4), находим асимптотическую фор мулу для числа решений уравнения (3).
Можно внести некоторые видоизменения в уравнения вида
(4). Например, если требуется просуммировать значения ка
кой-нибудь теоретико-числовой функции F (а) |
по всем реше |
ниям уравнения (4), то это уравнение нужно |
заменить сум |
мой |
|
2, *■(“) “-rViDj+mOa^
сочевидными коррективами в последующих формулах, содер жащих а.
Рассмотрим теперь модификацию предыдущей схемы, осно ванную на использовании «когерентных» чисел. Эта модифи кация может быть полезной в случае, когда п не имеет малых простых делителей.
Вместо одного уравнения (3) возьмем |
много |
|
уравнений |
||||||||
вида |
|
|
ос + |
ß + |
У = Пі, |
|
|
|
(13) |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
где п-і— квазипростые числа, т. е. |
числа, |
не имеющие малых |
|||||||||
простых |
делителей. |
Числа |
/г= f |
п, |
II |
|
п |
, і=1, 2, . . . |
|||
(1п«.)С |
|||||||||||
. . ., s, |
пх = |
п; Сх > |
|
|
|
|
|
|
|||
0 — большая константа. |
|
|
|
||||||||
Пусть Qi — число решений уравнения (13); Q; = Q — число |
|||||||||||
решений уравнения |
(3). |
сводится |
при |
данном |
і к серин |
||||||
Каждое |
уравнение (13) |
||||||||||
уравнений |
вида |
а 4- VjDi' 4- |
|
= |
лг. |
|
|
(14) |
|||
|
|
|
|
|
|
При подсчете дисперсии уравнения (14) сравниваем число решений этого уравнения при произвольном і с числом реше ний уравнения при і= 1. Если дисперсия будет не очень боль шой, то отсюда можно вывести, что количества решений уравнений (13) будут совпадать с допустимой погрешностью. Числа ііі в связи с обнаруженным свойством уравнений (13) назовем когерентными числами.
Таким образом,
Q = Qi 4- доп. погрешность
при і = 1 , 2, . .. , S. Отсюда следует
5 |
|
Qi 4- доп. погрешность. |
(15) |
s
9