книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

I ’Я

л ЕНИНГРАД

В книге излагаются основные положения метода конечных элементов приме­ нительно к задачам строительной механики корабля.

Приведены различные пути получения матриц жесткости и податливости конеч­ ного элемента. Показаны особенности использования МКЭ при учете геометриче­ ской и физической нелинейности материала конструкций. Указана связь между МКЭ и вариационными методами.

Излагаются вопросы использования МКЭ для расчета стержней и стержневых конструкций. Даются примеры расчетов стержневых систем на изгиб, устойчивость и колебания.

Особое внимание уделено вопросам применения ЭВМ в методе конечных эле­ ментов: решению ленточных систем алгебраических уравнений, получению ленты минимальной ширины и нахождению погрешностей округления при решении систем уравнений высокого порядка. Приведено несколько программ на языке «Алгол-60».

Показано использование МКЭ для решения плоской задачи теории упругости. Дается вывод матриц жесткости и напряжений для треугольного и прямоугольного конечных элементов из упругого и упруго-пластического материалов. Приведены примеры решения задач, связанных с концентрацией напряжений около отверстий.

Рассматривается объемная задача теории упругости. Получены выражения для матриц жесткости тетраэдра и параллелепипеда. Освещен вопрос использования МКЭ для расчета напряженно-деформированного состояния тел вращения в упругой и упруго-пластической областях. Приводится расчет толстых оболочек вращения и цилиндрических тел с кольцевыми выточками.

Показано применение МКЭ в расчете пластин на изгиб, устойчивость и колеба­ ния. Дается вывод матриц жесткости, устойчивости и масс для треугольного и прямо­ угольного элементов пластин.

Рассмотрены вопросы расчета пластин средней толщины и оболочек вращения. Приводятся матрицы жесткости для конического элемента оболочки, примеры рас­ чета тонких оболочек вращения, оболочек средней толщины, оболочек большого прогиба и др.

Освещены вопросы использования метода конечных элементов при решении задач теплопроводности, гидромеханики и др.

Илл. 155. Табл. 22. Литерат. 156 назв.

т

Рецензенты Н. Н. Кайдалов, В. С. Чувиковский

31804—038 П 048 (01)—74 7—74

<&>Издательство «Судостроение». 1971 г.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

§ 1

Основные сведения о матрицах и матричных операциях

Поскольку сведения о матрицах и матричных операциях известны широкому кругу читателей, целью этого параграфа является не столько повторение этих сведений, сколько введение в курс обозна­ чений матриц, широко используемых ниже на протяжении всей книги.

М а т р и ц е й называется совокупность чисел а(1-, расположен­ ных в виде прямоугольной таблицы, содержащей п строк и т столб­ цов. Матрица записывается в виде

столбца, называют столбцами или векторами. Для экономии места

К в а д р а т н а я м а т р и ц а . Если число п строк прямо­ угольной матрицы равно числу ее столбцов т, то такая матрица называется квадратной. В этом случае число п называется порядком матрицы.

7

Д и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а . Среди квадратных матриц важную роль играют так называемые диагональные матрицы, т. е. матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы, стоящие на диагонали:

гональная матрица (1.5) обращается в единичную, имеющую особое обозначение: [Е ]. Эта матрица играет в матричной алгебре такую же роль, какую в обычной алгебре играет единица.

Л е н т о ч н а я м а т р и ц а . Если в квадратной матрице порядка п отличными от нуля являются элементы, расположенные на главной диагонали и иа примыкающих к ней с каждой из сторон (сверху и снизу) к параллельных линиях, то такую матрицу назы­

оан-1, п-1 Я/.-1, п

ап, /1-1 аПп

В дальнейшем, для ясности, у квадратных матриц мы будем иногда выделять главную диагональ «лесенкой».

Т р е у г о л ь н а я м а т р и ц а . Квадратная матрица, все элементы которой, расположенные выше (или ниже) главной диаго­

| ®лл

8

С и м м е т р и ч н а я м а т р и ц а . Квадратная матрица назы­ вается симметричной, если ее элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны один другому, т. е.

зонтальные и (или) вертикальные перегородки, то матрица разби­ вается на некоторое число прямоугольных блоков; примером может служить матрица

К в а з ид и а г о н а л ь н а я м а т р и ц а . Диагональная ма­ трица, у которой роль элементов на главной диагонали играют под­ матрицы [Лг], называется квазидиагональной:

отношению к матрице [Л ]. Символ «т» обозначает операцию транспо­ нирования.

9

П р о и з в о д н а я от м а т р и ц ы . Под производной от матрицы условно понимают матрицу, получаемую из данной путем замены всех ее элементов их производными:

О п р е д е л и т е л ь к в а д р а т н о й м а т р и ц ы . Опреде­ лителем квадратной матрицы называется определитель, элементы

значения матриц, транспонированных по отношению к матрицамсомножителям:

О б р а т н а я м а т р и ц а п р о и з в е д е н и я н е с к о л ь ­

изменения последовательности выполнения транспонирования и

10