книги из ГПНТБ / Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования
.pdf
В. И. З у б о в
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Издание второе переработанное н дополненное
ЛЕНИНГРАД «МАШИНОСТРОЕНИЕ» ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1974
3-91
УДК 517.2
З у б о в В. И. Математические методы исследо вания систем автоматического регулирования. Изд. 2-е, перераб. и доп. Л ., «Машиностроение» (Ле-
нингр. отд-ние), 1974. 336 с .
В книге рассмотрены математические методы ис следования управляемых систем, а также исследо вания устойчивости программных и установившихся движений. Приведены численные методы анализа пере ходных процессов и аналитические методы построения решений некоторых нестационарных систем дифферен циальных уравнений. Описаны способы нахождения вероятностных характеристик стохастических пере ходных процессов, а также методы нахождения об ластей устойчивости в пространстве начальных дан ных и в пространстве допустимых значений параметров. Даны методы применения электронных вычислитель ных машин для решения различных проблем анализа и синтеза систем автоматического управления.
Книга предназначена для инженерно-технических работников, специализирующихся в области автома тического регулирования.
Ил. 4. Список лит. 51 назв.
Р е ц е н з е н т |
д-р техн. наук проф. В. И. Чернецкий |
Р е д а к т о р |
канд. физ.-мат. наук В. Ф. Горьковой |
© Издательство «Машиностроение», 1974 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Втеорий автоматического регулирования возникают задачи, сводящиеся к изучению поведения интегральных кривых нелиней ных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти задачи вытекают из рассмотрения поведения пере ходных процессов относительно установившегося режима. Оценка отклонения переходных процессов от этого установившегося режима, время окончания переходного процесса, его вероятност ные характеристики в случае воздействия на систему регулирова ния случайных сил — вот те основные показатели, которые имеют важное практическое значение.
Начиная с работ И. А. Вышнеградского, для изучения поведе ния переходных процессов относительно установившегося режима стали использовать теорию устойчивости. В случае, когда рас сматриваемые системы уравнений являются стационарными, в не критических случаях удается относительно просто выяснить, будут ли переходные процессы в системе автоматического регули рования затухать. Если переходные процессы затухают, то воз никает существенный для практики вопрос о виде области началь ных возмущений, для которых переходные процессы обладают указанным свойством, т. е. после решения локальной задачи об устойчивости установившегося режима появляется задача об отыскании области притяжения.
Если система уравнений является нестационарной и пренебречь влиянием времени нельзя, то решение описанных выше задач зна чительно осложняется.
Впредлагаемой работе основное внимание уделено следующим вопросам: исследованию устойчивости установившихся движений
внестационарных системах; оценке отклонений переходных про цессов от установившихся движений; построению решений неко торых нестационарных систем дифференциальных уравнений,
1* |
3 |
к исследованию которых сводится довольно широкий класс си стем автоматического регулирования; нахождению вероятностных характеристик стохастических переходных процессов; исследова нию устойчивости установившихся движений в критических слу чаях; нахождению областей устойчивости в пространстве началь ных данных и в пространстве допустимых значений параметров.
Первое издание книги вышло в 1959 году, в английском пере воде— в 1962 году. Настоящее второе издание в основном сохра няет содержание предыдущего. Исключение составляют лишь те разделы книги, которые за время, прошедшее с момента первого издания, пополнились новыми результатами. Так, гл. V первого издания дополнена четырьмя параграфами, в которых исследуются стохастические системы дифференциальных уравнений; целиком изменилась гл. II; в конце книги помещены три новых приложения.
Г п а в а I
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
1. Постановка задачи об устойчивости движения. Основные определения
Предположим, что некоторая механическая система описы вается системой обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка следующего вида:
- j f - — fs (К xi, ■• -,хп), |
(Ы ) |
правые части которой заданы в области
О |
t < оо; — оо < xs < +оо (s = 1, . . n) |
инепрерывны там.
Вэтом случае, как следует из теории обыкновенных дифферен циальных уравнений [35, 40], каждому набору вещественных
чисел ^0, х 10, • • •> хп о из указанной выше области отвечает п непрерывно дифференцируемых по t функций
xs |
xs (/, x ^ Q f , . . , хп о , t0) (s |
1, . . . , ti)y |
(1.2) |
удовлетворяющих системе (1.1) и условиям
xs = xs0 при t = t0 (s = 1, . . ., n).
Предположим, что механическая система своими свойствами определяет (при некотором выборе величин t 0 = 0, Хю, . . .
. . ., хп о) некоторое движение, которое описывается функциями (1.2) и называется невозмущенным.
Определение 1
Невозмущенное движение (1.2) называется устойчивым по Ляпунову [26 ], если по любому е > 0 и t0 ^ 0 можно указать такое число б (tо , в) > 0, что при
S (xio — x'io? < i==l
5
будет
П
21 [xi (^> *10*• ■м XnO>to) — Xi (^» *10>• • •> Xn0yto]* <С fi2 (t ^ to) _ |
|
<=1 |
|
Если имеет место свойство, |
обратное устойчивости, то говорят, |
что невозмущенное движение |
неустойчиво по Ляпунову. |
Определение 2
Невозмущенное движение (1.2) называется неустойчивым по
Ляпунову, если существует по |
крайней |
мере одно |
число |
е Д> 0 |
|
и tо 5> 0, при котором, какое бы число б >■ 0 мы ни взяли, |
най |
||||
дется такой набор чисел х'ю, . . ., |
х'по, что при |
|
|
||
|
S (x jQ— А£о)2< 62 |
|
|
|
|
будет |
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
хп0, to) — Xt (t, xlo, |
|
|
|
|
21 [хI (t, *ю, . . ., |
... ,x;0, ^0)]2 > 82 |
||||
/=1 |
|
|
|
|
|
хотя бы для одного значения t |
> t0. |
|
движения |
||
Непосредственное |
исследование невозмущенного |
||||
обычно сводится к исследованию нулевого решения системы обы кновенных дифференциальных уравнений. Для этого в системе (1.1) делают замену
xs = ys + xs(t,x10, .. ,,xn0, t 0) ( s = l ........п), |
(1.3) |
где gs —- новые искомые функции, иногда называемые возмуще ниями. В результате этой замены получают так называемую воз мущенную систему дифференциальных уравнений
■^jjf- = g,(t,yi---,yn) (s |
(1.4) |
которая получается из системы (1.1) следующим образом. Считая, что функции xs в равенствах (1.3) удовлетворяют системе (1.1), продифференцируем эти равенства по t. Тогда получим
|
dxs |
— dys |
, |
d |
,, |
’ •’ |
, . |
|
dt |
dt |
' |
dt s |
10’ ' |
"O’ o', |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
fs {t, Xi, . . ., Xn) |
f s [^, X i (t , Xi q, . . ., |
Xn 0, t 0) , |
. , |
,, Xn (t, X^Q, . . ., Xn o,^o)] — |
|||
|
|
■ . |
|
_ |
dys |
|
|
|
|
|
|
" |
di ’ |
|
|
6
откуда окончательно имеем
~ fs \t, Х 1 (^1 М.0> • ■•> х п 0>^о) "Ф l/li • ■ч-^п |
-Уць • • |
•> х п о, ^о) "Т" |
||||||
“Ь */rt] |
|
/ s |
[Ф М ( t, Х 10> • • ->Хп oJo )t ■■ •tXn {tj Х 1 0 » ■• - 1 х п 0) ^о)1 |
~ |
||||
|
|
|
= gs(t, Уъ ■■;Уп)- |
|
|
|
||
Как видно |
из последней формулы, функции gs (t, |
y lf . |
. ., уп), |
|||||
стоящие |
в |
правой части |
системы (1.4), |
вообще говоря, |
заданы |
|||
в области |
t ^ |
0, — оо < |
ys <С + оо (s = |
1, |
. . ., п) |
и непрерывны |
||
там.
Невозмущенное движение (1.2) системы (1.1) перешло при пре образовании (1.3) в нулевое решение системы (1.4). В дальнейшем вся теория будет изложена применительно к исследованию устой чивости нулевого решения системы (1.4). Поэтому рационально отдельно сформулировать определения устойчивости нулевого решения системы (1.4).
Определение 3
Нулевое решение системы (1.4) называется устойчивым по Ляпунову, если по любому е > 0 и t0 ^ 0. Можно указать такое число б (t0, е), что при
t У%<82 |
|
|
1= 1 |
|
|
будет |
|
|
п |
|
|
Ъ у\ (t, У х о , У п о , to) > |
z ( t ^ |
/о). |
Если к тому же |
|
|
П |
|
|
Ъ у Н Ь У ю, • • . , 0» о Л ) — |
0 ( f — + |
о о ) , |
1=1 |
|
|
то нулевое решение системы (1.4) будем называть асимптотически устойчивым.
Если в определении 3 число б (£0, е) можно выбрать не завися щим от tо, то говорят, что нулевое решение системы (1.4) равно мерно устойчиво относительно t0 ^ 0.
Определение 4
Нулевое решение системы (1.4) называется равномерно асимп тотически устойчивым, если по любому г >-0 можно указать такое число б (е) > 0, что при
S у1о< s2
7
будет
2 у! < е2 ( / ^ / 0) |
|
2 У^—>О (t — to—>-j- оо) |
|
i=1 |
|
равномерно относительно величин ^0, г/10..........уп о- |
|
В определениях 3 и 4 и всюду в дальнейшем через |
|
Уь = «/s (*, г/ю, ■■ Уп о, to) (s = 1, • • л) |
(1.5) |
будем обозначать систему функций, удовлетворяющих уравне ниям (1.4) и условиям ys = ysо при t — t0.
В случае асимптотической устойчивости все решения системы (1.4), начинающиеся в достаточно малой окрестности точки у х = = у ъ — . . . = уп = 0, стремятся к положению равновесия при t -> +оо. Однако характер стремления может существенно зави сеть от выбора начальных данных t0, Ую> ■■•> Уп о- В этом случае, когда такая резкая зависимость не наблюдается, нулевое решение будем называть равномерно притягивающим.
Определение 5
Асимптотически устойчивое нулевое решение системы (1.4) называется равномерно притягивающим, если по данному числу h > 0 можно указать такие числа а > 0,Т > 0, что при
2 y l o ^ h 2
<=1
будет |
|
П |
|
2 y2i(t,y w, . . . , y n0, t o ) > a 2 (t0<:t ^ |
t Q+ T). |
i—l |
|
Если нулевое решение системы (1.4) обладает свойством, про |
|
тивоположным устойчивости, то говорят, что |
нулевое решение |
системы (1.4) неустойчиво. Точное определение без труда может быть выведено из определения 2.
Проведем предварительный анализ понятий устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого реше ния системы (1.4) путем рассмотрения данных выше определений на конкретных примерах.
Для того чтобы этот предварительный анализ не загромождать посторонними вычислениями, рассмотрим одно линейное уравне
ние вида |
|
W = s(t)y, |
(1.6) |
8
где g (t) — функция, заданная при t ^ 0 и кусочно-непрерывная в промежутке [0, оо) (точнее, она на каждом конечном промежутке
может иметь лишь конечное число разрывов первого рода). |
|
|
Общее решение уравнения |
(1.6) имеет вид |
|
t |
g (х) dx |
|
J |
|
|
y = t l« |
Уд . |
(1.7) |
Нулевое решение системы (1.6) устойчиво тогда и только тогда,
когда функция tJ g (т) dx ограничена при t 5» 0. Случай устойчи-
to
вости может быть пояснен рис. 1. Покажем, что ограниченность
Отсюда |
следует, что |
нулевое решение |
рис i |
системы |
(1.6) устойчиво. |
установлено наличие |
|
Если |
в какой-либо |
реальной системе |
|
устойчивости невозмущенного движения, то это еще само по себе не может означать хорошего качества выбранной системы. Про демонстрируем это математическим примером. Пусть
g(t) = |
In 10 |
при |
0 |
^ |
t ^ 10 |
|
0 |
при |
t |
> |
10 |
||
|
Тогда решение системы (1.6), удовлетворяющее условию у = у 0 при t — 0, имеет вид
| Ю^о |
при |
[0, |
10] |
j 1010 |
у 0 при |
t > |
10 |
Из вышесказанного следует, что в этом случае нулевое решение t
уравнения (1.6) устойчиво, ибо J g (т) dx ограничен. Однако при
fo
начальных отклонениях у 0 = 10_6, лежащих, вообще говоря, вне
9