книги из ГПНТБ / Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. Введение в теорию интеграла учеб. пособие
.pdfБ. 3. В У Л И X
КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Б. 3. В У Л И Х
КРАТКИЙ КУРС ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ИНТЕГРАЛА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов универі итетов
щ .
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ. РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М о с к в а 1973
517.2
В 88 УДК 517.11
Краткий курс теории функций вещественной пере менной (введение в теорию интеграла), В у л и х Б. 3., Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.
Книга содержит изложение основ теории меры и интеграла (преимущественно — интеграла Лебега).
Второе издание отличается от первого прежде всего развернутым изложением неопределенного интеграла Лебега и теоремы Радона — Никодима, а также схе мой построения меры. Кроме того, введено понятие равностепенной абсолютной непрерывности семейства интегралов, более подробно изучены пространство из меримых функций и интеграл Радона.
Книга может быть использована как при изучении теории функций вещественной переменной в виде от дельной дисциплины, так и при прохождении теории меры и интеграла Лебега внутри общего университет ского курса математического анализа.
Гос. пуй'ичиая
научно- |
!;'«я |
-,.:П ' . |
- Р |
заз~ .
ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА
© Издательство «Наука», 1973.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия |
к первому |
и зд а н и ю |
........................................................... |
|
|
6 |
||||||||
Предисловие ко |
второму |
|
и зд а н и ю |
........................................................... |
|
|
8 |
|||||||
Г л а в а |
I. Общие сведения |
о |
множествах.......................................... |
9 |
|
|||||||||
§ 1. |
Основные |
операции |
над |
м н ........................ож ествам и |
9 |
|
||||||||
§ 2. |
Некоторые |
вспомогательные .................. |
соотнош ения |
15 |
|
|||||||||
§ 3. |
Мощность |
м н о ж ест в а |
........................................................... |
|
|
|
17 |
|
||||||
§ 4. |
Счетные м н ож еств а |
................................................................ |
|
|
|
|
20 |
|
||||||
§ 5. |
Множества мощности к он ти .................................н уум а |
25 |
|
|||||||||||
§ 6. |
Сравнение |
м ощ н остей |
алгебры........................................................... |
м н о ж ест в |
32 |
|
||||||||
§ 7. |
Кольца, |
полукольца |
и |
33 |
|
|||||||||
Г л а в а |
II. Точечные множества |
в евклидовом пространстве . . |
39 |
|||||||||||
§ 1. |
л-мерное евклидово пространство.................................... |
39 |
|
|||||||||||
§ 2. Предельные |
точки |
................................................................... |
м н ож еств а |
. |
42 |
|||||||||
§ 3. |
Замкнутые |
и открытые |
46 |
|||||||||||
§ 4. |
Структура |
линейного |
открытого |
множества |
. . . . |
49 |
||||||||
§ 5. Структура |
открытого |
множества |
в л-мерном простран |
|
||||||||||
§ 6. |
стве ............................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
..........................52 |
|
|
Теорема о покрытиях замкнутого множества |
. , . . 54 |
|||||||||||||
§ 7. Непрерывные |
ф у н к ц и и .............................................................. |
|
|
|
|
56 |
||||||||
§ 8. |
Борелевы |
м н о ж е с т в а .............................................. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Г л а в а |
III. Метрические |
пространства.................................................... |
|
|
60 |
|||||||||
§ 1. |
Определение |
метрического |
пространства....................... |
60 |
|
|||||||||
§ 2. |
Сходимость |
в |
метрическом .................. |
пространстве |
64 |
|
||||||||
§ 3. |
Замкнутые |
и |
открытые |
м н о .................................ж еств а |
67 |
|
||||||||
§ 4. |
Полные |
метрические |
пространства................................. |
69 |
|
|||||||||
§ 5. |
Сепарабельные |
п ростран ства............................................ |
|
72 |
|
|||||||||
§ 6. |
Нормированные |
|
функциональные |
пространства . . . |
74 |
|||||||||
§ 7. |
Линейные |
функционалы |
в |
нормированных |
простран |
78 |
||||||||
|
ствах |
.................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г л а в а |
IV. Мера в абстрактных множествах.................................... |
85 |
|
|||||||||||
§ 1. |
Аддитивные |
функции |
множества . . . . . |
. . . . |
85 |
|||||||||
§ 2. |
Мера и ее св ой ств а |
................................................................. |
|
|
|
|
88 |
90 |
||||||
§ 3. |
Внешняя |
мера |
|
|
............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|||
§ 4. |
Стандартное |
|
распространение меры |
с полукольца на |
95 |
||||||||
§ 5. |
сг-алгйбру |
|
........................................................................................ |
распространения |
м е р ы |
|
|
|
|||||
Единственность |
............................... |
|
|
99 |
|||||||||
Г л а в а |
V. Мера Лебега .....................в евклидовом пространстве |
103 |
|||||||||||
§ 1. |
я-мерные параллелепипеды ....................................................... |
|
|
|
|
|
103 |
||||||
§ 2. Объем параллелепипеда............................................................ |
|
|
|
|
|
106 |
|||||||
§ 3. |
Полукольцо |
я .......................................................................ч е е к |
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
||
§ 4. |
Представление открытого множества с помощью ячеек |
114 |
|||||||||||
§ 5. Измеримые множества ................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
116 |
||||
Г л а в а |
VI. Измеримые .......................... .................................функции |
|
|
|
■ |
|
|
|
123 |
||||
§ 1. |
Определение |
........................................ |
измеримых |
|
ф у н к ц и й |
|
|
|
|
123 |
|||
§ 2. Арифметические |
действия |
над измеримыми |
функциями |
128 |
|||||||||
§ 3. |
Предельный переход в классе измеримых |
функций . |
. |
130 |
|||||||||
§ 4. |
Эквивалентные функции. Сходимость |
почти всюду . |
. 133 |
||||||||||
§ 5. |
Сходимость |
по |
мере . . |
|
|
|
|
|
136 |
||||
§ 6. |
Регулятор |
сходимости. |
|
Теоремы |
Д. |
Ф. Егорова, |
142 |
||||||
|
H. Н. Лузина ....................................................... |
и М. Ф р е ш е |
|
|
|
|
|
||||||
Г л а в а |
VII. Интеграл Лебега от ограниченной функции . . . |
|
151 |
||||||||||
§ 1. |
Определение |
............................................. |
интеграла |
Л е б е г а |
|
|
|
|
|
151 |
|||
§ 2. |
Простейшие |
свойства ............................................. |
и н тегр ал а |
интеграла . . . . |
|
157 |
|||||||
§ 3. |
Предельный |
переход |
под |
знаком |
|
136 |
|||||||
§ 4. Пространство ................................... |
S |
измеримых ф ун к ц и й |
|
|
|
168 |
|||||||
Г л а в а |
VIII. Суммируемые .......................................................функции |
|
|
|
|
|
179 |
||||||
§ 1. Расширение |
понятия |
интеграла Лебега |
и |
определение |
179 |
||||||||
|
суммируемой |
..................... |
ф ун к ц и и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 2. Леммы об интегралах от |
неотрицательных |
функций |
. |
182 |
|||||||||
§ 3. Распространение простейших свойств |
интеграла . . . |
|
191 |
||||||||||
§ 4. Предельный |
переход |
под |
знаком |
интеграла . . . |
. 199 |
||||||||
§ 5. Пространство |
L суммируемых функций . . . . . . |
|
209 |
||||||||||
§ 6. Геометрический |
смысл интеграла |
Лебега |
в евклидовом |
216 |
|||||||||
§ 7. |
пространстве |
.............................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повторные интегралы ................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
221 |
|||||
§ 8. |
Произведение ...................................................................... |
м |
е р |
|
|
|
|
|
|
|
|
230 |
|
Г л а в а |
IX. Функции, ..........................суммируемые с квадратом |
|
233 |
||||||||||
§ 1. Пространство ........................................................................... |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
233 |
|||
§ 2. Скалярное произведение............................................................ |
|
|
|
|
|
237 |
|||||||
§ 3. Ортогональные ................................................................. |
р я д ы |
|
|
|
|
|
|
|
242 |
||||
§ 4. Линейные функционалы ....................................в L2 |
|
|
|
|
|
249 |
|||||||
Г л а в а |
X. Пространства ......................................................................Lp |
|
|
|
|
|
|
|
|
254 |
|||
§ 1. Определение |
|
пространств |
L p. Основные |
неравенства |
|
254 |
|||||||
§ 2. Интегральные |
средние . |
|
|
|
|
|
|
|
259 |
||||
§ 3. Одно неравенство для повторных |
интегралов . . . . |
|
262 |
||||||||||
§ 4. Линейные функционалы .................................................. |
в I P |
|
|
|
|
|
264 |
||||||
Г л а в а |
XI. Интеграл |
Р а д о н а .................................................................. |
|
|
|
|
267 |
|||
§ 1. |
Вариации аддитивных |
функций |
множества . . . . |
|
267 |
|||||
§ 2. |
Интеграл Радона ................................................................ |
|
|
|
|
|
|
277 |
||
§ 3. |
Интегрирование по конечно-аддитивной функции мно |
|
283 |
|||||||
|
жества |
............................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4. Линейные функционалы |
в пространстве ограниченных |
|
||||||||
§ 5. |
функций |
Стилтьеса.................................................................. |
на |
о т р е з к е |
|
. |
290 |
|||
Интеграл |
..... |
|||||||||
§ 6. |
Функции |
распределения |
на п р я м о й ...................................... |
|
|
,295 |
||||
Г л а в а |
XII. Абсолютно непрерывные функции множества . . |
|
.302 |
|||||||
§ 1. |
Определение |
абсолютно |
непрерывных функций . . |
. |
302 |
|||||
§ 2. Теорема |
Радона — Н и к о д и м а ................................................. |
функции по Гану . |
|
304 |
||||||
§ 3. |
Разложение счетно-аддитивной |
. 310 |
||||||||
Г л а в а |
XIII. Неопределенный |
интеграл |
Лебега . . . . . . |
|
312 |
|||||
§ 1. Абсолютно непрерывные функции т о ч к и ............................. |
|
|
312 |
|||||||
§ 2. |
Характеристика функций, представимых в виде инте |
316 |
||||||||
|
грала ................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
. |
. |
|
§ 3. |
Дифференцирование непрерывных монотонных |
функций 318 |
||||||||
§ 4. Дифференцирование |
разрывных |
монотонных |
функций 328 |
|||||||
§ 5. |
Производная |
от и н тегр ал а ...................................................... |
|
|
|
333 |
||||
§ 6. |
Критерий |
Ф. Р и с с а |
...................................................................... |
|
|
|
|
|
338 |
|
§ 7. |
Точки плотности линейного м н о ж еств а ............................. |
|
|
342 |
||||||
Литература ..................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
346 |
|
У к а за т ел ь .......................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
348 |
|
При написании этой книги автор ставил своей целью дать краткое изложение тех вопросов теории функций вещественной переменной, которые наиболее широко ис пользуются в других математических дисциплинах, в первую очередь — в теории дифференциальных уравне ний с частными производными и теории интегральных уравнений. Этим определилось основное содержание книги — теория меры и интеграла Лебега. Сведения из общей теории множеств даются здесь лишь в том не большом объеме, в котором они необходимы для пони мания основных вопросов, излагаемых в книге.
В настоящее время теория функций вещественной пе ременной все теснее переплетается с другой математиче ской дисциплиной — функциональным анализом. С од ной стороны, теория функций вещественной переменной дает аппарат, необходимый для изучения многих кон кретных функциональных пространств. С другой сторо ны, функциональный анализ позволяет более глубоко, с современной точки зрения, разобрать некоторые вопросы теории функций вещественной переменной. Учитывая та кое взаимопроникновение теории функций вещественной переменной и функционального анализа в современной математике, автор ввел в эту книгу некоторые элементы функционального анализа. Именно, в книге излагаются основные понятия теории общих метрических про странств, а также теории нормированных пространств, которые затем прилагаются к изучению с позиций функционального анализа различных классов веще ственных функций.
Ряд вопросов теории функций вещественной перемен ной, например, вся так называемая дескриптивная тео рия функций, совершенно не затронуты в настоящей
книге. Читатель может познакомиться с этими вопроса ми по другим пособиям. Список основных учебных руко водств и некоторых научных монографий, посвященных полностью или частично теории функций вещественной переменной, помещен в конце этой книги. Обращаем особое внимание читателя на очень интересную книгу И. П. Натансона «Теория функций вещественной пере менной», где можно найти не только много материала, не включенного автором в настоящий курс, но и боль
шое количество задач, приведенных в виде упражнений для читателя.
От изучающего этот курс требуется знание универ ситетского курса математического анализа. Впрочем, книга может быть использована и лицами, освоившими
курс математического анализа в педагогических инсти тутах.
Для удобства ссылок теоремы и леммы имеют нуме рацию внутри каждого параграфа в отдельности. На
пример, теорема |
VIII. 3.4 означает — четвертая теорема |
§ 3 главы VIII. При этом теоремы и леммы нумеруются |
|
независимо друг |
от друга. Нумерация формул — сквоз |
ная в пределах каждіэй главы; при ссылках на фор мулу из этой же главы указывается только ее номер. При ссылках на параграф указывается двойной номер, первая часть которого означает номер главы, а вто рая— номер параграфа.
В конце книги помещен алфавитный указатель всех терминов, определение которых дается в тексте.
Автор приносит глубокую благодарность Г. И. На тансону, внимательно прочитавшему всю рукопись и давшему ряд ценных советов.
Сентябрь 1964 г. Б. Вулих
Во втором издании внесены следующие изменения и дополнения. Заново написана глава IV; теория меры из лагается по схеме Каратеодори. Дополнена глава VI о свойствах измеримых функций. Теория интеграла Ле бега (главы VII и VIII) строится в произвольном аб страктном пространстве с мерой, и лишь некоторые вопросы рассматриваются специально для интеграла Лебега в евклидовом пространстве. Добавлен параграф о произведении мер. Заново написана глава XI об ин теграле Радона. В частности, в нее включены некото рые приложения к теории вероятностей. Вместо крат кой главы о неопределенном интеграле Лебега, напи санной в первом издании в обзорном порядке, даны две новые главы XII и XIII, содержащие развернутое изло жение теории абсолютно непрерывных функций с дока зательством теоремы Радона — Никодима, а также ряда вопросов, связанных с интегралом Лебега на прямой. Небольшие изменения коснулись глав I и V. Сокращена глава III о метрических пространствах; в ней оставлены только те сведения, которые непосредственно исполь зуются в этой книге.
Мои товарищи по кафедре математического ана лиза Ленинградского университета Д. А. Владимиров, Б. М. Макаров и Г. И. Натансон прочитали в рукописи все измененные по сравнению с первым изданием главы и сделали ряд ценных замечаний, за что я приношу им мою благодарность. Также благодарю Д. А. Владими рова за предварительное обсуждение плана второго из дания этой книги.
Декабрь 1970 г. |
Б. Вулих |
Г Л А В А I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ
§1. Основные операции над множествами
Вэтой главе мы познакомимся с некоторыми началь ными сведениями из общей теории множеств, необходи
мыми для дальнейшего*). Само понятие множества яв ляется настолько общим, что было бы затруднительно дать для него формальное определение. Но в таком оп ределении нет необходимости. Мы и так совершенно сво бодно оперируем понятием множества и в повседнев
ных |
житейских |
разговорах, и в научной литературе. |
Так, |
каждому |
ясно, что понимать под множеством |
всех книг, стоящих в его книжном шкафу, или под мно жеством всех людей, живущих на такой-то улице или в таком-то городе. В курсе математического анализа на шему читателю постоянно приходилось иметь дело с множеством всех вещественных чисел или с различными его частями. Очень часто вместо термина множество употребляется равносильный термин совокупность.
Говоря о некотором множестве, мы называем его элементами те предметы или математические объекты, из которых оно составлено. Если множество обозначено буквой А, а общее обозначение произвольного его эле мента — X, то пишут
А = {*}.
Далее, если нужно указать, что какой-нибудь объект а есть один из элементов множества А, то употребляют
*) Основы общей теории множеств были заложены немецким математиком Г. К а н т о р о м (1845— 1918) во второй половине XIX столетия.