книги из ГПНТБ / Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию учеб. пособие

ОГЛАВЛЕНИЕ

а в а

3. Обоснование метода прогонки

56

§

6. Свойства

хорошо

обусловленных

краевых задач

56

1. Оценки решений краевой задачи с возмущенными коэффициентами (56).

2. Доказательство критерия

хорошей

обусловленности (60). 3. Свойства

хорошо обусловленных задач (64).

§ 7. Обоснование

метода

прогонки

для

хорошо

обусловленных

краевых задач

65

1. Оценки прогоночных коэффициентов

(65). 2. Оценка влияния на резуль­

тат ошибок

округления в процессе

вычислений (67).

ЧАСТЬ

ВТОРАЯ

Р А З Н О С Т Н Ы Е С Х Е М Ы Д Л Я О Б Ы К Н О В Е Н Н Ы Х

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

а в а

4. Элементарные примеры разностных схем

71

§

8. Понятие о порядке точности и об аппроксимации

71

1. Порядок

точности разностной

схемы (71). 2. Скорость сходимости

раз­

ностного решения (75). 3. Порядок аппроксимации (77).

§ 9. Неустойчивая

разностная

схема

78

1. Способы

аппроксимации

производной

(78). 2. Пример

неустойчивой

разностной

схемы (78),

а в а

5. Сходимость решений разностных уравнений как

следствие

аппроксимации

и устойчивости

82

§

10. Сходимость

разностной

схемы

82

1. Понятие о сетке и сеточной

функции

(82). 2. Сходящиеся разностные

схемы (87). 3. Проверка сходимости разностной схемы (90).

Задачи

92

§

11. Аппроксимация

дифференциальной

краевой

задачи разно­

стной схемой

92

1. Невязка 6fW (92). 2. Вычисление невязки (94). 3. Аппроксимация по

рядка ft* (96). 4. Примеры (97). 5. Разбиение

разностной схемы на под­

системы (100) 6. Замена производных

разностными отношениями

(103).

7. Доугие способы построения разностных схем (105).

Задачи

106

§

12. Определение

устойчивости

разностной

схемы. Сходимость

как следствие аппроксимации и устойчивости

106

1. Определение

устойчивости(105).

2. Зависимость

между

аппроксима­

цией, устойчивостью и

сходимостью (10S). 3.

Сходящаяся

разностная

схема для интегрального

уравнения (114).

§ 13. О выборе норм

.

115

§

14. Достаточный

признак устойчивости разностных схем реше­

ния задачи Коши

123

1. Вводный пример (124). 2. Каноническая запись разностной схемы (125).

3, Устойчивость как ограниченность

но,рм степеней, оператора

пере-

ОГЛАВЛЕНИЕ

5

хода (127). 4. Примеры исследозания устойчивости (128). 5. Неединствен­

ность канонической записи (133).

Задачи

135

§

15. Необходимый

спектральный признак

устойчивости . . . . .

136

1. Ограниченность норм степеней оператора

перехода

необходима для

устойчивости (136). 2. Спектральный признак устойчивости (138). 3.

Обсуж­

дение спектрального признака устойчивости (139).

Задачи

143

§

16. Ошибки округления

144

I. Ошибки в коэффициентах (144).

2. Ошибки в вычислениях (147).

§ 17. Количественная характеристика устойчивости

•

149

§ 18. Прием исследования устойчивости нелинейных

задач . . . .

155

Г л а в а

6. Употребительные разностные

схемы

157

§

19. Схемы Рунге — Кутта

и Адамса

157

1.

Схемы Рунге —Кутта

(158). 2.

Схемы

Адамса

(160). 3.

Замечания

об

устойчивости (163). 4. Обобщение на системы уравнений (164).

§ 20. Методы решения краевых задач

166

1. Метод стрельбы (167). 2. Метод прогонки (169).

3. Метод

Нью­

тона (169).

~"

ЧАСТЬ

ТРЕТЬЯ

Р А З Н О С Т Н Ы Е С Х Е М Ы Д Л Я У Р А В Н Е Н И Й

С Ч А С Т Н Ы М И П Р О И З В О Д Н Ы М И . О С Н О В Н Ы Е п о н я т и я

Г л а в а

7. Простейшие

приемы

построения и

исследования

разност­

ных схем

171

§ 21. Напоминание

и иллюстрация-основных определений

. . . .

171

1. Определение

сходимости (171). 2. Определение

аппроксимации (172).

3. Определение устойчивости (175).

Задачи

182

§

22. Простейшие

приемы

построения аппроксимирующих разно­

стных схем

183

1. Замена производных разностными отношениями (183). 2. Метод неоп­

ределенных коэффициентов (191).

3. Схемы с пересчетом,

или схемы

предиктор-корректор (201).

Задачи

202

§ 23. Примеры конструирования граничных условий при построе­

нии разностных схем

204

Задачи

,

209

§

24. Условие Куранта, Фридрихса и Леви,

необходимое для

схо­

димости

210

1. Условие Куранта. Фридрихса и

Леви (211). 2. Примеры

разностных

схем для задачи Коши (212). 3. Примеры разностных

схем для задачи

Дирихле (217).

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а

8.

Некоторые

основные

приемы

исследования

устойчивости . 221

§ 25. Спектральный

анализ

разностной задачи Коши

221

I. Устойчивость

но начальным данным (221). 2. Необходимое спектраль­

ное условие устойчивости (222). 3. Примеры (224). 4. Интегральное пред­

ставление

решения (232). 5. Выглаживание

разностного

решения как

действие аппроксимационной вязкости (236).

Задачи

238

§ 26. Принцип

замороженных

коэффициентов

239

1. Замораживание

коэффициентов во внутренних точках (240). 2.

Приз­

нак Бабенко и Гельфанда (242).

Задачи

:

249

§ 27. Представление решений некоторых модельных задач в виде

конечных

рядов Фурье

250

1. Ряды Фурье для сеточных

функций (250). 2. Представление решений

разностных схем

для уравнения теплопрозодности

на отрезке

(253).

3.

Представление

решений

разностных

схем

для двумерной

задачи

теплопрозодности

(257). 4.

Представление

решения разностной

схемы

для задачи о колебаниях струны (259).

Задачи

261

§ 28.

Принцип

максимума

262

1.

Явная разностная схема

(262). 2. Неявная

разностная

схема (265).

3.

Сопо:тавление

явной и неявной разностных

схем (266).

Г л а в а

9.

Понятие

о

разностных

схемах

для

расчета

обобщенных

решений

267

§ 29.

Обобщенное

решение

267

1. Механизм

возникновения

разрывов (268). 2. Определение обобщен­

ного решения (270). 3. Условие на линии

разрыва решения

(271). 4. Рас­

пад произвольного

разрыва

(273). 5. Другое

определение

обобщенного

решения (274).

§ 30. Построение

разностных

схем

274

1. Схема с искусственной вязкостью (276). 2. Метод характеристик (276).

3. Дивергентные

разностные

схемы (278).

ЧАСТЬ

ЧЕТВЕРТАЯ

З А Д А Ч И С Д В У М Я П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы М И П Е Р Е М Е Н Н Ы М И

Г л а в а

10.

Понятие

о разностных

схемах

расщепления

284

§ 31. Конструкция схем расщепления

284

Задачи

288.

§ 32.

Экономичные

разностные схемы

289

Задачи

295

§ 33.

Расщепление

по физическим факторам

297

ОГЛАВЛЕНИЕ

7

л а в а

11.

Эллиптические

задачи

298

§

34.

Простейшая разностная

схема для задачи Дирихле . . . .

298

1. Аппроксимация (298). 2. Устойчивость (239).

Задачи

303

§

35.

Метод

установления

304

1. Идея

метода

установления (304). 2. Анализ

явной схемы

установле­

ния (307). 3. Схема

переменных направлений

(309). 4.

Выбор

точно­

сти (311). 5. Границы

применимости методов (312).

Задачи

312

§ 36. Итерации с переменным

шагом

313

1. Идея

Ричардсона

(313).

2.

Чебышевский

набор

параметров

(314).

3. Нумерация итерационных

параметров (317). 4. Метод Дугласа — Рэк-

форда (321).

Задачи

323

§ 37.

Метод

Федоренко

324

1. Идея

метода

(325). 2. Описание алгоритма (327).

ЧАСТЬ

ПЯТАЯ

У С Т О Й Ч И В О С Т Ь Э В О Л Ю Ц И О Н Н Ы Х Р А З Н О С Т Н Ы Х

К Р А Е В Ы Х З А Д А Ч К А К О Г Р А Н И Ч Е Н Н О С Т Ь Н О Р М С Т Е П Е Н Е Й

Н Е К О Т О Р О Г О О П Е Р А Т О Р А

л а в а

12.

Конструкция

оператора перехода

329

§ 38.

Слоистая структура решений эволюционных

задач . .

. .

329

Задачи

332

§ 39.

Запись разностных краевых задач в виде и р + 1

= R/1up

+

т р р

• 333

1. Канонический

вид (333). 2. Устойчивость

как равномерная

ограничен­

ность норм степеней

Rh (336). 3. Пример (339).

Задачи

341

§ 40.

Использование частных

решений при конструировании

опе­

ратора перехода

343

§

41.

Некоторые способы оценки

норм степеней операторов . . .

355

1. Необходимые

спектральные

услозия

ограниченности

| ^ | |

(355).

2. Спектральный критерий ограниченности степеней

самосопряженного

оператора (357). 3. Признаки самосопряженности (358). 4. Оценки

собст­

венных

значений

оператора

(359). 5. Выбор скалярного умноже-

ния (361). 6. Критерии устойчивости Самарского (362).

Задачи

363

л а в а

13.

Спектральный

признак

устойчивости

несамосопряженных

эволюционных

краевых

задач

364

§

42. Спектр

семейства

операторов

364

1. Необходимость

усовершенствования спектрального признака

устой­

чивости (364). 2. Определение

спектра

семейства

операторов

(366).

3. Необходимое условие устойчивости (367).

4. Обсуждение понятия

спектра

семейства операторов

(368). 5.

Близость

необходимого

признака устойчивости к достаточ (ому (369).

8

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 43.

Алгоритм вычисления спектра семейства разностных опера­

торов

над сеточными функциями на отрезке

372

1. Характерный пример (372). 2. Алгоритм вычисления спектра в общем

случае (379).

Задачи

380

§ 44.

Ядра

спектров семейств

операторов

381

Д о п о л н е н и е .

Метод внутренних

граничных условий

. . . . . . . .

384

Библиографические комментарии

393

Литература

397

Предметный указатель

398

ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие

вопросы естествознания приводят

к краевым за­

дачам для

дифференциальных уравнений. С

целью решения

Современная вычислительная техника и накопленный опыт

позволяют с помощью разностных схем приближенно

вычис­

лять решения очень сложных и плохо поддающихся

исследо­

решения которых заранее известны, сопоставлением

результа­

тов расчета с физическим экспериментом в том

диапазоне