книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

высшая

математика

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А. А. ЖДАНОВА

Н. А . Сахарников

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР

в качестве учебника для естественных факультетов университетов

ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1 9 7 3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга является учебником для студентов естественных фа­ культетов университетов: химического, геологического, биолого­ почвенного и географического. Она соответствует курсу высшей математики объемом до 500 учебных часов.

Отбор материала книги, его расположение и характер изложе­ ния определены задачами математического образования студентов на естественных факультетах университетов.

Математические методы исследования получили широкое рас­ пространение в естествознании, в связи с чем повысилось значение математической подготовки исследователей природы. Одна из задач состоит в том, чтобы учащийся овладел определенным запа­ сом сведений по высшей математике (понятий, теорем, методов), необходимых ему для изучения наук, и научился применению этих знаний. Главная же задача состоит в развитии у учащегося точ­ ного научного мышления и, в частности, в повышении уровня логи­ ческого мышления и математической культуры.

В соответствии с этим в книге соблюдается должный уровень как в отношении математической строгости рассуждений, так и в отношении простоты и ясности изложения.

Особое внимание автор стремился обратить на выявление кон­ кретного содержания математических понятий и на методику при­ менения математики в естествознании. С этой целью в книге поме­ щены примеры и задачи из области естественных наук (физики, химии, механики, биологии и др.), иллюстрирующие понятия выс­ шей математики и ее методы.

Книга содержит основы математического анализа, аналитиче­

геометрия и векторная алгебра (главы IV, V, VI), функции несколь­ ких переменных (глава VII), неопределенный интеграл (глава VIII), определенный интеграл и кратные интегралы (главы IX и X), векторный анализ и теория поля (глава XI), ряды (глава XII), обыкновенные дифференциальные уравнения (глава XIII), теория вероятностей (глава XIV), линейная алгебра (глава XV). В книге рассмотрены элементы высшей алгебры (главы III и XV), числен­ ные методы (главы VII, IX и XIII), элементы дифференциальной геометрии (главы II и VII) и начальные сведения о рядах Фурье (глава XII).

Книга написана на основе курса лекций по высшей математике, который читается автором в течение ряда лет в Ленинградском университете. Предложенное в книге расположение материала в основном соответствует этому курсу. Раннее введение производной (до аналитической геометрии) вызвано потребностью изучения смежных наук, прежде всего физики и химии; оно оказалось целе­ сообразным и при изучении самой математики.

На некоторых факультетах* изучается сокращенный курс выс­ шей математики. В этом случае определенная часть материала книги может быть опущена без ущерба для понимания оставшейся части и без нарушения целостности курса.

Книга разбита на 15 глав, 43 параграфа и 252 пункта. Нумера­ ция глав, параграфов и пунктов сплошная.

Автор приносит глубокую благодарность ответственному ре­ дактору книги проф. М. М. Смирнову и рецензентам проф. Я. С. Уфлянду и проф. Ю. С. Богданову за ряд предложений, спо­ собствующих значительному улучшению книги.

Автор благодарит всех лиц, принявших участие в обсуждении рукописи книги. При этом особую благодарность автор выра­ жает преподавателю кафедры общей матетатики ЛГУ А. К. Поно­ маренко.

Глава I

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§1. ФУНКЦИЯ

1.Множество. Одним из основных понятий математики является понятие множества. Это понятие первоначально, и его не определяют с помощью более простых понятий. Можно сказать, что множество — это семейство, совокупность, класс, система, собрание. Но такая замена одного слова другим не выясняет самую идею этого понятия. Ниже приведены примеры, поясняющие со­ держание понятия множества: 1) множество букв в данной книге,

2)множество страусов в Африке, 3) множество всех точек данной окружности, 4) множество всех правильных дробей, 5) множество

Объекты или предметы, составляющие данное множество, назы­ ваются его элементами. Если х есть элемент множества А , то говорят, что X принадлежит А и записывают х Ç А. Например, если А есть множество всех точек плоскости, а М — какая-нибудь из этих точек, то пишут М Ç А.

Задать множество — это значит указать, из каких элементов оно состоит. Элементами множеств могут быть объекты любой природы (буквы, атомы, числа, страусы и т. д.). Однако каждое конкретное множество есть объединение элементов с каким-то общим признаком, общим свойством, которое иногда указывается в самом названии множества.

Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов (см. указанные выше примеры 1, 2, 7).

В математике допускаются к рассмотрению множества, число элементов которых равно единице, а также множество, вовсе не содержащее элементов — «пустое» множество.

П р и м е р 1. Рассмотрим множество А окружностей, проходящих через данные точки. Если этих точек две, то А есть бесконечное множество. Если этих точек три и они не лежат на одной прямой, то имеется лишь одна окружность, проходящая через эти точки. Множество окружностей, проходя­

множества В; в этом случае говорят, что А содержится в В, и обо­

корней уравнения х 2 — Ъх + б = 0 равны. Порядок расположе­ ния элементов в множестве безразличен.

Суммой множеств А жВ называется множество, состоящее из всех элементов множества А и всех элементов множества В; она

состоящее из тех элементов множества А , которые не принад­ лежат В.

Пересечением множеств А жВ называется множество, состоя­ щее из элементов, общих обоим множествам А жВ; оно обозна­ чается символом AB, или А гл В.

П р и м е р 2. Рассмотрим множество А всех студентов, присутству­ ющих на данной лекции. Пусть А і — множество тех из них, кто моложе 20 лет, а А 2 — множество тех присутствующих на лекции студентов, рост которых больше 165 см. 4 і и і 2 есть подмножества множества А.

Сумма А г + А 2 есть множество, в которое войдут только все студенты моложе 20 лет и все студенты, рост которых больше 165 см.

Пересечение А \А г есть множество всех студентов моложе 20 лет, рост которых больше 165 см.

Разность А 1—А 2 есть множество студентов моложе 20 лет, рост которых

не больше 165 см. Разность А 2—А 1 есть множество студентов, рост которых больше 165 см и которые не моложе 20 лет.

Два множества А жВ называются эквивалентными, если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соот­ ветствие. Это значит, что каждому элементу а множества А можно

Ъ из В окажется соотнесенным одному и только одному а из А. Эквивалентные множества обозначаются символом А — В.

П р и м е р 3. Пусть А жВ суть множества точек двух концентрических окружностей. Если сопоставить точки этих окружностей, лежащие на одном луче, исходящем из центра, то тем самым будет установлено взаимно-одно­ значное соответствие между множествами А и В (рис. 1). Поэтому А — В. Если мы «распрямим» наши окружности, то одна из них превратится в более короткий прямолинейный отрезок. Казалось бы, что на более длинном отрезке точек «больше». Мы убедились, что это не так.

П р и м е р 4. Пусть А — множество точек числовой оси и В — множе­ ство всех вещественных чисел. Эти множества эквивалентны. Вспомним, что числовой осью называется прямая, на которой выбраны направление, начальная точка и отрезок единичной длины. Числовая ось служит для изо­ бражения вещественных чисел. Из курса элементарной математики известно, что каждая точка М числовой оси имеет свою абсциссу х и что каждому веще­ ственному числу X соответствует своя единственная точка М числовой оси. Это и значит, что множества А и В эквивалентны.

Пример 4 объясняет принятую в высшей математике условность языка — вместо слов «рассмотрим (возьмем, найдем) число х» можно сказать «рассмотрим (возьмем, найдем) точку х». Здесь как в пер­

разом упорядочивается, если расположить эти числа в порядке возрастания (или убывания). В геометрической форме этот пример можно представить так: любое множество точек на горизонтальной прямой упорядочивается, если из двух точек считать следующей ту, которая лежит правее (или левее).

Пусть А — счетное множество, среди элементов которого мо­ гут быть одинаковые. Сопоставим каждому элементу а из А свое натуральное число п и напишем это п в виде индекса у соответству­ ющего элемента а; получим ап. Примем число п за порядковый номер элемента ап. Упорядоченное счетное множество, элементы которого занумерованы и расположены в порядке возрастания номеров

®2» • • •> • • •>

называется п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю и обозначается символом ,{ап}.

понятий высшей математики является понятие величины, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. Понятие скалярной величины является непосредственным обобще­ нием более конкретных понятий: длины, площади, объема, веса

и т. п. Характерное свойство каждой конкретной величины состоит

втом, что она может быть измерена путем сравнения с выбранной единицей измерения того же рода, что и измеряемая величина. Например, за единицу времени можно принять секунду, за еди­ ницу длины — метр и т. д. В результате измерения конкретной величины получается число, выражающее отношение рассматрива­ емой величины к величине, принятой за единицу меры. Каждой конкретной величине соответствует измеряющее ее число, которое

зависит от выбора единицы меры. Таким образом, мы приходим к понятию отвлеченного числа.

Если измеряемая величина изменяется (например, при нагрева­ нии изменяется длина металлического стержня), то изменяется и со­ ответствующее ей число. Заметим, что в традиционной математичес­ кой терминологии говорить о «переменных числах» не принято. В подобных случаях говорят о переменной математической величине.

В более общем смысле слова под математическими величинами

Всякий закон природы дает соотношение между конкретными величинами или вернее между соответствующими им математиче­ скими величинами. Предметом исследования математики и яв­ ляются как раз числа и другие математические величины и различ­ ные соотношения между ними независимо от конкретного характера тех величин или законов, которые привели нас к этим математиче­ ским величинам и соотношениям.

Числа, получающиеся в результате измерения, могут быть целыми (если единица содержится целое число раз в измеряемой величине), дробными, или рациональными (если измеряемая вели­ чина и единица измерения имеют общую меру) и, наконец, иррацио­ нальными (если такой общей меры нет).

Все рациональные и иррациональные числа (положительные и отрицательные) образуют множество вещественных, или действи­ тельных, чисел. В результате выполнения арифметических опера­ ций над вещественными числами (исключая деление на нуль) получаются числа вещественные.

Из курса элементарной математики известно, что всякое рацио­ нальное число можно представить в виде отношения двух целых чисел, а также в виде десятичной дроби — конечной или бесконеч­

ной периодической. Иррациональное же число так изобразить нельзя, но можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Между двумя любыми разными рациональными числами содер­ жится одно рациональное число — полусумма этих чисел; следова­ тельно, их содержится бесконечное множество. Между двумя лю­ быми различными иррациональными числами также содержится бесконечное множество иррациональных чисел.

П р и м е ч а н и е . В практике измерений можно обойтись без ирра­ циональных чисел, потому что всякое иррациональное число можно прибли­ женно представить с любой степенью точности соответствующим рациональ­ ным числом. Однако в теории, например при формулировке общих законов, иррациональные числа необходимы. Так, площадь круга равна яг2, где я —

иррациональное число.

4.Абсолютная величина вещественного числа. Абсолютной

Отсюда непосредственно следует, что при любом вещественном X имеют место неравенства

И—8 sg X ^ 8.

Сл е д с т в и е . При любых вещественных а и е > 0 равно­ сильны неравенства

согласно доказанному выше; поэтому равносильны и неравенства

(4). Геометрическое истолкование неравенств (4) состоит в том, что каждое из них определяет множество точек числовой оси, ограни­ ченное точками а — 8 и а + е.