книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов
.pdf
Ф. А. ШЕЛКОВНИКОВ, К. Г. ТАКАЙШВИЛИ
СБОРНИК
УПРАЖНЕНИЙ
ПО
ОПЕРАЦИОННОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ
Издание второе
Д о п у щ е н о Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов втузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫ СШ АЯ Ш КОЛА »
МОСКВА — 1968
i н* учЁЬ!т е х £ чн* н
У ^ к,О
“ " б
Аннотация
Шелковников Ф. А., Такайшвили К. Г. «Сборник упражнений по операционному исчислению. Изд. 2-е. Изд-во «Высшая шко ла», 1968.
В сборнике имеется около 500 задач. Типовые задачи снабжены решениями, да ются некоторые указания к решению задач, необходимые операционные соотношения приводятся без доказательств. Имеются за дачи на линейные дифференциальные уравнения, вычисления несобственных ин тегралов, интегральные уравнения. Рассмат риваются ступенчатые функции, уравнения
вконечных разностях, суммирование рядов.
Вэтом издании переработаны следую щие разделы: основные операционные со отношения, линейные дифференциальные уравнения, несобственные интегралы и ин тегральные и интегро-дифференциальные уравнения. Включены новые разделы: сум мирование числовых и тригонометрических рядов, дискретное преобразование Лапласа, задачи с физическим содержанием. Ко всем задачам даны ответы.
Всборнике имеется 23 иллюстрации.
2—2—3
35—68
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание этой книги вышло в 1961 году.
В |
настоящем |
издании книга выходит в переработанном виде. |
|
Основные отличия |
от |
первого издания заключаются в следующем: |
|
1. |
Разделы книги, |
составлявшие содержание первого издания, |
|
значительно расширены.
2. Добавлены два новых раздела:
а. Суммирование числовых и тригонометрических рядов.
б. Дискретное преобразование Лапласа и конечно-разностные уравнения.
3.Включены задачи конкретного физического содержания, кото рых не было в первом издании.
4.Уменьшено число однотипных задач.
5.Исключена теоретико-справочная часть. Это сделано потому, что в настоящее время имеется достаточное число книг по операци
онному исчислению. Кроме того, вышло в свет учебное пособие В. А. Диткина и А. П. Прудникова «Операционное исчисление». М., «Высшая школа», 1966, в котором имеются все нужные опера ционные соотношения.
В первых пяти разделах используется одностороннее преобразо вание Лапласа.
3
В шестом разделе используется дискретное преобразование Лап ласа. При подготовке этого раздела использована книга Я. 3. Ципкнна «Переходные и установившиеся процессы в импульсных цепях». М., Гостехиздат, 1951.
В каждом разделе имеются задачи различной трудности, начи ная от простых до достаточно сложных, поэтому книга может ока заться полезной для широкого круга читателей с различной матема тической подготовкой; она может быть использована студентами технических вузов, инженерами, а также студентами физико-мате матических факультетов университетов.
Все примеры снабжены ответами, а типичные и более труд ные — указаниями и решениями.
Часть примеров заимствована из литературы по операционному исчислению, список которой приведен в конце книги, а также из за дачников по математическому анализу.
Мы глубоко признательны профессору В. А. Диткину, профессо ру А. Ф. Леонтьеву, профессору Б. А. Фуксу, доценту И. С. Аршону и коллективу кафедры высшей математики МИЭМ за внимательный просмотр рукописи и ряд ценных советов и указаний, значительно способствовавших улучшению книги.
Авторы
Р А З Д Е Л П Е Р В Ы Й
ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1. Используя интеграл Лапласа, найти изображения функций:
1) ех \ |
2) cos х; |
3)sh лг; 4) х а (а > — 1);
5)In а:.
2.Пользуясь теоремой дифференцирования оригинала, найти изо бражения:
1) sin х ; 2) ch а:.
3. Пользуясь теоремой подобия и результатами предыдущих задач, найти изображения:
1) |
еах; |
2) е~ах\ |
3) |
sh ах\ |
4) chax; |
5) |
sin ал:; |
6) cos ал. |
5
4. Используя формулы Эйлера, найти изображения:
1) sin4л:; 2) cosex.
5. Пользуясь теоремой смещения, найти изображения функций;.
1) еал sin Ьх; |
2) |
ch ax-cos ах; |
|
3) |
1 |
4) |
1 |
— (ch ax-sin ах + sh ал'-cos ах); |
— sh ax -sin ах; |
||
5) |
e ~ iX sin З х -cos 2x; |
6) |
sh x-cos 2x-cos 3x. |
6. Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования! изображения, найти изображения:
1) |
х cos Ьх\ |
2) |
х2sin bx\ |
3) |
x s h a x -s in a x ; |
4) x c h a x -c o sa x . |
|
7. Пользуясь теоремой запаздывания, найти изображения: |
|||
1) |
е ~ {х~ а) cos (х — а): |
2) еа{х~ а) sin (х — а); |
|
3) |
cos (ах — Ь); |
|
4) / ( а х — Ь), полагая, что <р(р) -U |
|
|
|
f i x ) . |
8. Пользуясь теоремой интегрирования изображения, найти изобра жения функций:
1) |
sin X |
» |
2) |
е~ах sin kx |
|
д: |
X |
|
|||
|
|
|
|
||
3) |
cos Ьх — cos ах |
4) |
1 — еах |
|
|
|
X |
хех |
* |
||
|
|
|
|||
S) |
sin 7x-sin Зх |
6) |
е~ах sin2Ьх |
||
|
X |
X |
|
||
|
|
|
|
||
(). Пользуясь первой теоремой разложения, найти; а) степенные ряды для функций:
Г) ch x-cos х; |
2) s h x - s in x ; |
б) изображения |
функций: |
6
|
cos z |
у ax |
4) |
Sin Z v dX |
3) — У |
|
------— — ■ |
||
SIX |
|
Vал |
||
5) |
ch 2 У ax |
6) |
sh 2 У ax |
|
y n z — ; |
у an |
|||
|
У л х |
|
||
|
П |
|
|
|
7) |
xТ У„ ( 2 V a x f - , |
8) |
x 2 I„ (2У ax )**; |
|
9) |
M * Y , |
|
10) |
Jo (ax). |
10.Пользуясь изображением функции J0(x) и соотношениями:
x f n (х) = nJn (х) — x J n4 i (х) , |
(1) |
2Уп (х) = Jи—! (х) — У,г ] t (х), |
(2) |
найти изображение функции J п(х).
11.Найти изображения функций:
М х ) - |
|
Jn {x) _ |
О |
|
2) |
|
|
X |
sh 2 У а х |
sin 2 У ах |
sh 2 У ах — sin 2 У ах |
3) |
|
4) |
2 У ал. |
2 У ал |
|
ch 2 Уах + |
cos 2 У йх |
ch 2 У ах — cos 2 V^ax |
5) |
|
6) |
2 V л х |
2 У^ях |
|
12. Пользуясь теоремой обращения, найти оригиналы, соответствую щие изображениям:
1) |
; |
2) ------------------- ; |
|
( Р - 1 ) ( Р - 2) |
Р Ч Р + I)3 |
* Jn (х) — функция Бесселя 1-го рода порядка п.
** I n (x) = i~ nJn (lx); где i = У — 1.
7
i |
|
|
|
3) |
1) |
’ |
4) (/>a + l ) ( p a + 4) ; |
p ( p 3 + |
|||
5) - ^ ( 0 < a |
< |
1); |
6) |
P |
|
|
Vp |
13. Пользуясь второй теоремой разложения, найти оригиналы, со ответствующие изображениям:
Р2 + 1 |
Р + 1 |
|
Р (Р + 1) (Р + 2) (р + 3) ’ |
2) |
2) |
Р3( Р ~ 1)(р + |
||
1 |
1 |
|
(Р — I)2 (Р — 2)3 ’ |
4) |
‘ |
( Р + 1 ) * ( Р + 3) |
14. Используя операционные соответствия и изображения тригоно метрических и гиперболических функций, найти оригиналы, соответ ствующие изображениям:
зР |
|
2) |
Р2 |
+ я2 |
1) |
’ |
( р 2 |
— а2)2 ’ |
|
( р 2 + 1)2 |
|
|||
р |
|
|
Ар + В |
|
3) ( Р2~ а 2)2 |
’ |
4) р 2 -j- lap + |
||
15. Используя разложение дробей на простейшие, найти оригиналы, соответствующие изображениям:
р 2 + 3р + 4 |
_ |
р 2 + 1 |
|
|
' р ( р — 1) ( р - 2) |
|
рЧ р - I)2 1 |
|
|
-----------5P j j ---------- |
р 2 + |
14 |
_ |
|
( р ~ Щ р 1 + 2 р + 5 ) ’ |
4) |
|
|
|
( р 2 + 4 )( р 2 + 9) ! |
||||
|
|
/>а + 2 |
|
|
( р 2 -у 6р + 13) (/>2 + 6/» + 10) |
Р4 + р 2 -f |
1 |
|
|
8
16. Пользуясь теоремой умножения (теоремой о свертке), а) найти оригиналы, соответствующие изображениям:
|
|
1 |
|
1 |
|
1) ( р - 1 ) ( р - 2 ) |
' |
2) ( p -Y 1)(/> + 2)»’ |
|
|
3) |
Р |
|
Р“ |
|
(Р 2 + 1 )(р 2 + 4) ’ |
4) ( р 2 + 4) ( р 2 + 9) |
||
б) |
Доказать следующие формулы: |
|||
5) |
Формулу Коши |
|
|
|
|
|
|
! f ( x ) d x n Ti = ~ ~ ^ ( x — t)nf{ t) dt. |
|
|
|
0 0 |
о |
о |
6)Известное соотношение между гамма и бэта функциями:
B { a i b ) = l № V L .
КТ(а + Ь)
17.Пользуясь теоремой умножения оригиналов, найти изображения:
1)~1хеах-, |
|
2) |
x2-cos3t ; |
|||
3) |
e~xJ0(x); |
|
4) |
Ji(x)- sh x; |
||
5) |
J0 (x)-sin |
x: |
6) |
J0 (x)-cos x. |
||
18. He |
прибегая |
к |
теореме |
умножения оригиналов, найти изобра |
||
жения: |
|
|
|
|
|
|
1) |
|
sin |
ах |
|
2) |
— cos ах ; |
|
|
|
|
|
1 |
их |
3) |
ех cos 2 У х |
4) |
У х |
cos 2 У х |
||
|
|
|||||
Ух
19.Используя правило дробных показателей и обобщение второй теоремы разложения, найти оригиналы, соответствующие изобра
жениям:1
1) — |
cos — |
; |
2) — |
s i n ---- ; |
Р |
Р |
|
Р |
Р |
9