книги из ГПНТБ / Березкин А.М. Задачи по стрельбе и их решения учебное пособие
.pdf.МИНСКОЕ ВЫСШЕЕ ИНЖЕНЕРНОЕ ЗЕНИТНО-РАКЕТНОЕ • УЧИЛИЩЕ ПРОТИВОВОЗДУШНОЙ о б о р о н ы
л. М. БЕРЕЗКИН, Н. М. ТАБАТАДЗЕ
ЗАДАЧИ ПО СТРЕЛЬБЕ И ИХ РЕШЕНИЯ
Учебное пособие
1 969
_____________________\
ГОС ПУБЛИЧНАЯ |
1| |
|
мл* |
* г е х м « ч е с и А Я |
|
а и ь / |
гЮТЕНД СССР |
I |
l$5 g |
Ь - |
|
V? |
||
|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обычно при решении задач слушатели испытывают опре деленные затруднения из-за слабых навыков в умении само стоятельно приложить общие принципы теории вероятностей к другим дисциплинам. Особые трудности вызывают такие вопросы, как нахождение единственно возможного события, составление ряда распределения, правильное применение сим волики для перехода от общих смысловых формул к конкрет ным рабочим формулам, вычисление числовых характеристик случайной величины, определение невозможных и достовер ных событий в стрельбовых задачах, вычисление числа ком бинации событий и т. д.
Из-за недостатка времени невозможно уделить этим воп росам должного внимания при чтении лекций и на практиче ских занятиях. При этом особенно в затруднительном поло жении оказываются слушатели заочного факультета.
Целью настоящего учебного пособия является оказание помощи слушателям в приобретении навыков правильно и с полным пониманием решать чисто стрельбовые задачи.
Исходя из этого в пособии даны очень кратко теоретиче ские положения, необходимые для решения данного круга задач. Решение наиболее характерных задач дается подроб но, а для остальных задач даны только ответы.
Материал сгруппирован по видам наиболее часто встреча ющихся в практических -приложениях законов распределений случайных величин, а также по соответствующим разделам курса стрельбы, например, законы поражения цели, стрельба по наземным целям и др.
Книга' может быть использована как для самостоятель ной работы, так и во время практических занятий со слуша телями.
3
ВВЕДЕНИЕ
Вероятность — мера возможности появления случайного события или число, дающее количественную оценку возмож ности появления случайного события.
Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений, но не всяких, а только таких, которые возникают в некоторых определенных условиях, могущих повторяться не ограниченное число раз.
Поэтому математической вероятностью называют число вую характеристику степени объективной возможности появ ления какого-либо определенного случайного события в неко торых фиксированных условиях при неограниченном их по вторении.
Вероятность — это объективная характеристика случай ного явления. Она выражает связь между закономерностью (необходимостью) и случайностью, между условиями и собы тием.
В основе определения вероятности событий лежит стати стическая вероятность. Статистической вероятностью называ ется число, вокруг которого колеблется частость появления случайного события при фиксированной совокупности усло вий и при большом числе независимых испытаний в серии, когда этих серий достаточно много. Существует классическое определение вероятности, как отношение числа благоприят
ных событию случаев к числу всех возможных случаев. Од нако в последнем случае необходимо обеспечить условия симметричности (равной возможности) и взаимной исклю чаемости (попарной несовместимости) случаев.
5
Математически это можно записать следующим образом:
РИ> = | , |
№1) |
рде Р (А ) — вероятность события А;
~ N — -полная группа равновозможных попарно несов местимых событий;
М— число случаев появления события А (число бла гоприятствующих событию А случаев).
Следует подчеркнуть, что понятие вероятности является исходным, основным понятием, и в общем случае его нельзя определить через более простые понятия.
Таким образом, для классического определения вероятно сти существенным является допущение о равной возможности исходов испытания. Все задачи, к которым применимо клас сическое определение (0.1), укладываются в следующую схе му случайной выборки: из совокупности N элементов (пред метов, явлений и т. п.) выбирается наудачу один элемент, причем каждому элементу обеспечивается одинаковая с ос тальными возможность быть выбранным; событие .4 заклю чается ;в выборе элемента, обладающего определенным при
знаком, |
причем этим |
признаком |
обладают |
точно |
М |
из |
|||
N элементов рассматриваемой совокупности. |
|
|
|
||||||
|
Основные |
свойства |
вероятностей |
|
|
|
|||
1. |
Вероятность случайного |
|
события есть число неотрица |
||||||
тельное: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Р (А) > |
0. |
|
|
(0.2) |
|||
2. Достоверное |
событие, |
то |
есть событие, |
которое |
при |
||||
данном |
комплексе |
условий |
непременно должно произойти, |
||||||
имеет вероятность, |
равную |
единице: |
|
|
|
||||
|
|
|
Р (ростов)—1- |
|
(0.3) |
||||
3. Если событие С состоит в осуществлении одного из двух |
|||||||||
несовместимых событий А или В |
(безразлично, |
какого |
нмен- |
6
но), то вероятность события С равна сумме вероятностей со бытий А и В:
Р ( С ) = Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) . |
(0.4) |
Это свойство называют правилом сложения вероятностей, или свойством аддитивности вероятностей.
Первые два свойства вытекают из формулы (0.1), так как М > 0, N > 0 и для достоверного события М = N.
Третье свойство доказывается для схемы выборки элемен тарно.
■ Пусть в урне находится N шаров, из них К красных,
Z синих, остальные белые. Испытание состоит в вынимании из урны одного шара. События состоят в вынимании:
К
А — белого шара с вероятностью Р(А) = ^ ;
В — синего шара с вероятностью |
|
Z |
|
|
Р{В) — |
|
|||
С — цветного |
шара (цвет безразличен) с вероятностью |
|||
Р ( С ) = ? |
|
|
|
|
Число случаев, |
благоприятствующих |
событию |
С = А + В |
|
стремится к K + Z. Тогда по формуле |
(0.1) |
имеем |
|
|
Р(С) = Р(Л + £ ) = - ^ Ь ? = ^ + ! |
= Р(Л) f ОД . |
(0.5) |
■ Следствия, вытекающие из основных свойств вероятностей (приводим без доказательств):
1. Если события А ь Л2,..., Лп попарно несовместны, то
Р ( А + -[- А3 -f ... + Л„) — Р(Л1)Т-Р(Л3) + |
+ |
|
1 |
|
|
+ Р(ДП) = 2 |
P(Ai). |
(0.6) |
i |
л |
|
2. Если события Аъ Аъ ..., Ап попарно несовместны и об разуют полную группу событий N. то
7
|
р(/1, + /1* + ... + Л ,) - |
2 / w = l. |
(0.7) |
|
|
i--l |
|
3. |
Вероятности двух взаимно |
противоположных |
событий |
(попадание и промах при одном выстреле)' в сумме дают еди
ницу: |
|
|
|
|
Я(Л) + Р(Л) = 1. |
|
|
(0.8) |
|
Противоположными событиями называют два несовмести |
||||
мых события, образующих полную группу. |
Их |
обозначают: |
||
А — прямое событие,- А — событие, |
противоположное |
А |
||
(не А). |
|
|
|
|
Невозможным событием называют |
событие, |
которое |
не |
|
может произойти ни при каком испытании, |
сколько бы их ни |
повторяли. Поэтому вероятность невозможного события счи тают равной нулю:
Р(Аяевози) -= 0 . |
(0.9) |
Это следует из (0.1).
Однако обратное утверждение: если вероятность равна нулю, то событие невозможно, неверно.
4. Если событие С состоит в одновременном (совместном) появлении событий А и В, то событие С называют произведе нием событий А и В, т. е.
С = АВ.
Вероятность события С Р(С) равна произведению вероят ностей Р(Л) ,и Р(В), если А и В независимые события, т. е.
Р(С) = Р( А В) = Р(А)Р(В). |
(0.10) |
Событие А независимо относительно события В, если ве роятность события Л не зависит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называют зависимым от события В, если ве роятность события А зависит от того, произошло событие В или -нет.
Правило умножения вероятностей зависимых событий вы разится формулами:
Р(С) — Р(А В) - Р(А)Р(В/А), |
I |
Р(^) = Р{Л В) = Р ( В ) Р ( А / В ) . |
(0. 11) |
I |
5.Если событие С заключается в появлении событий А
или В, то событие С называют суммой событий А и |
В, т. |
е. |
||||
|
|
С = А + В. |
|
|
|
|
Вероятность события |
С Р{С) для независимых |
совмест |
||||
ных событий .выразится формулой |
|
|
|
|
||
Р { С ) = Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) —Р ( А ) Р ( В ) . |
|
(0.12) |
|
|||
Правило сложения |
вероятностей совместных |
зависимых |
||||
событии |
выразится формулами: |
|
|
|
|
|
Р ( С ) = Р { А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ) - Р ( А ) Р{В/А), | |
|
|
||||
Р(С) |
Р(А + В ) = Р { А ) + Р ( В ) —Р(В) |
P(AjB). |
| |
|
|
|
Если |
события Л и |
Б независимы, |
то Р (В/А ) = |
Р(В) |
и |
P(AjB) —Р(А) и из (0.11) получаем (0.10), а из (0.13) -по лучаем (0.12).
Вероятности Р(А/В) и Р{В/А) называют условными ве роятностями событий А и В соответственно. Условная вероят ность события А (В) при условии В (А) равна частному от деления вероятности совместного наступления этих двух со бытий на вероятность условия:
Р(А/В) = Р(АВ) |
Р(В/А) Р(Л_В) |
(0.14) |
Р(В) |
Р{А )" |
|
Можно сформулировать -общие правила сложения и ум ножения дтя случайных событий, безразлично, имеем ли мы
9
дело с совместными или несовместными, зависимыми или независимыми событиями.
Общее правило сложения вероятностей случайных собы тий: вероятность случайного события С = А + В ра:вна сумме
вероятностей случайных событий А я В минус произведение вероятности одного события на условную вероятность второ го события (см. формулу 0.13).
Общее правило умножения вероятностей случайных со бытий: вероятность случайного события С = АВ равна произ ведению вероятности одного из событий на условную вероят ность второго события (см. формулу 0.11).
Полезно помнить, что произведение вероятностей несовме стных событий равно .нулю.
Формула полной вероятности. Если случайные события
В [, В 2,...,Вп попарно несовместны и образуют полную группу
событий |
2^ |
\ |
|
1 и если событие А может осуществить- |
|||
|
.1-1 |
|
|
ся только с каким-нибудь одним из этих событий, |
то |
||
Р(А) = |
Р(ВХ) P(A/Bt) -!- Р(В2) Р (А/В2) + ... -у Р ( В п) Р (А/Вп) ~ |
||
|
|
П |
|
|
|
^ ^ P i B J P i A / B , ) . |
(0.15) |
|
|
i =1 |
|
Эта формула носит название формулы полной вероятно сти события А. Она дает возможность вычислить вероятность осуществления события А независимо от того, с каким из со бытий Б; оно осуществилось. Эта формула является след ствием одновременного приложения правил сложения и ум ножения вероятностей случайных событий.
События В, называют гипотезами относительно А, а их вероятности Р(В;)— вероятностями .гипотез.
Вероятности P(A/B t) называют вероятностями события А при данной гипотезе.
10