книги из ГПНТБ / Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений

ПРЕДИСЛОВИЕ

Векторный анализ находит широкое применение во многих профилирующих инженерных дисциплинах (ос­ новы радиотехники, теплотехники, электротехники и др.)« Предлагаемое пособие по векторному анализу пред­ назначается, преимущественно, для студентов заочных вузов. В соответствии с этим в нем устанавливается,

прежде всего, физический смысл основных понятий век­

торного анализа, а чисто математическая сторона этих

вопросов, без ущерба точности, отодвинута на второй план. В пособии приведены решения типичных задач

(примеры) и подобраны задачи для самостоятельного

решения (упражнения).

В упражнениях приведено лишь минимальное число задач. Поэтому в целях приобретения необходимых на­

выков в вычислениях и прочного закрепления основных фактов теории рекомендуется решить все задачи из уп­ ражнений.

При работе с настоящим пособием мы настоятельно рекомендуем составление конспекта. Составление кон­ спекта способствует активному усвоению материала, по­ могает установить связи между основными фактами.

От читателя требуется знакомство с общим втузов­ ским курсом высшей математики. Перед изучением век­

торного анализа целесообразно повторить основные по­ нятия и факты из курса высшей математики. Это можно сделать, например, по краткому справочнику, помещен­ ному в конце настоящего пособия в качестве приложе­ ния. В тексте книги делаются ссылки на соответствую­ щие формулы справочника. Эти ссылки снабжены зна­ ком «С».

3

ВВЕДЕНИЕ

Предметом исследования векторного анализа являет­

ся понятие поля, заимствованное из механики и физики.

Понятие поля, как и другие математические понятия,

представляет собой выражение определенных количест­ венных отношений и пространственных форм материаль­ ного мира.

1° Определение. Скалярным или векторным полем называется часть пространства, каждой точке которой от­ несено значение некоторой скалярной или векторной ве­ личины. Из этого определения очевидно, что с логиче­ ской стороны понятие скалярного поля ничем не отлича­ ется от понятия скалярной функции ф (х; у, z), а век­

торного поля—от понятия векторной функции А (х; у, z).

Таким образом, задание скалярного поля сводится к за­ данию некоторой скалярной функции <р (х; у; z). Зада­ ние векторного поля сводится к заданию некоторой век­

торной функции А (х; у, г), что в свою очередь эквива­ лентно заданию тройки скалярных функций; Ах(х; у; z),

Ау (х; у; z), A z (х; у, z) —проекций вектора на оси де­ картовой системы координат.

Приведем примеры скалярных и векторных полей.

Пусть в некоторой декартовой системе координат нахо­ дится неравномерно нагретое тело и температура в каж­ дой точке его нам известна: t= ф (х; у; z). Тогда часть пространства, занятую этим телом, можно рассматри­

вать как скалярное поле температур данного тела.

Так же можно рассматривать поле плотности массы данного неоднородного тела. Другим примером скаляр­ ного поля является поле атмосферного давления.

Векторными полями являются, например:

5

I. Электрическое поле точечного заряда q. Здесь каждой точке пространства ставится в соответствие век­

тор напряженности Е = ~ г, представляющий силу взаимодействия данного заряда q с единичным зарядом

вданной точке М (г).

2.Поле сил тяготения: каждой точке пространства

ставится в соответствие сила тяжести единичной массы, помещенной в этой точке.

3.Важным примером векторного поля является поле

магнитной напряженности.

Пусть, например, по прямолинейному проводнику L

течет постоянный ток плотности J (см. рис. 1); тогда согласно опытным данным, в любой точке М, не лежа­

щей на L, элемент тока Jdl порождает вектор магнитной напряженности dH. Согласно закону Био-Савара:

d/у = 1у1 dl.

К*

А вектор магнитной напряженности Н в точке М, по­ рожденный всем током проводника L, очевидно, опреде­ лится криволинейным интегралом

Н = *j HJQ-dl.

'l

2°. Для наглядности представления полей пользуются графическим изображением их.

ляет, вообще говоря, в пространстве некоторую поверх­ ность. Эта поверхность называется эквипотенци­ альной, или поверхностью равного уровня. Таким же

образом строятся поверхности равного уровня для чисел:

с-ф/i, с'4-2Л, ..., c-\-nh, где h — произвольно выбранное

число.

Совокупность (семейство)' этих поверхностей и слу­ жит геометрическим изображением скалярного поля.

6

Например, поле функции <р (х; у, г) — V х2-|-(/2-фг2

изображается геометрически семейством концентриче­

ских сфер с центром в начале координат радиусов о, h, 2h, .... nh, ...

Если функция ср зависит только от двух координат,

например от х и у, то поле функции <р называется плоскопараллельным. Поверхностями уровня в

ными в плоскости хоу. Эти линии и могут служить гео­

метрическим изображением плоскопараллельного поля.

На рис. 2 изображено семейство направляющих линий плоскопараллельного поля:

'f(x; у;) == х’ «г- у* . .

Пример. Построить семейство поверхностей равного уровня поля:

параболоиды вращения . Величина с определяет «раст­ вор» параболоида (см, рис. 3),

7

Семейство поверхностей равного уровня дает нагляд­ ное представление о скорости изменения поля: где эти поверхности располагаются близко друг от друга, там скорость изменения поля будет больше, чем там, где э?и поверхности располагаются дальше друг от друга. Так,

из рис. 2 видно, что скорость изменения поля <р = х2—у2

в точках, расположенных у асимптот, будет больше,

чем в точках, расположен­ ных у координатных осей.

Графическое изо-

ния, во всякой точке ко­

торой вектор А направлен по касательной к этой

линии. Векторные линии характеризуют только направ­

ление поля в каждой точке.

Для графического изображения векторными линиями модуля вектора А поступают обычно следующим обра­

зом: через площадку AS, перпендикулярную к вектору А в данной точке М, проводят векторные линии в количе­

стве N, пропорциональном модулю вектора А в точке М

ивеличине площадки A S:

М= /<|А| • AS .

8