книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех
.pdfЛ. А ВАЙНШТЕЙН, В. Д. ЗУБАКОВ
ВЫДЕЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
НА ФОНЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОМЕХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО „СОВЕТСКОЕ РАДИО*
МОСКВА I960.
Книга содержит изложение статистической теории оптимальных приемников, обнаруживаю щих сигналы с различными свойствами на фоне случайных помех, а также измеряющих парамет ры этих сигналов. В качестве введения изложена теория линейных фильтров, которые оптимальным образом отфильтровывают «полезные» случайные процессы от мешающих или же выделяют сигналы
.известной формы из случайных помех. Основное внимание уделено задачам, представляющим ин терес для радиолокации. В книге отражены неко торые новые результаты, полученные авторами.
Книга предназначена для радиофизиков и ра диоинженеров, имеющих дело С флюктуациями и помехами, и может служить в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов, изучающих статистическую радиофизику, теорию информации или случайные процессы в радиотехнических уст ройствах.
бибдиотека_Сй2£—г |
yOOl | |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга посвящена проблемам выделения сигна лов на фоне помех, имеющих случайный характер. Под «выделением» мы понимаем как полное восстановление
неизвестного (случайного) сигнала, так и обнаружение сигналов известной формы вместе с измерением некото рых неизвестных параметров таких сигналов. Основное внимание уделено проблемам, представляющим интерес для радиолокации, поэтому наряду с обычными помеха
ми, аналогичными собственным шумам приемника, учтены и помехи, обусловленные хаотическими отражениями от многочисленных местных предметов. Это заставляет с са мого начала не ограничиваться помехами типа «белого шума», а рассматривать коррелированные помехи, что при дает изложению большую общность и даже простоту, по
скольку математическая трактовка «чистого» |
белого |
шу |
|
ма связана с некоторыми трудностями. |
|
было |
|
Исторически дело сложилось так, |
что сначала |
||
изученр поведение сигналов и помех в |
конкретных схемах, |
||
т. е. накоплен большой материал по |
анализу |
различных |
систем. В частности, было детально исследовано прохож дение сигналов и помех через линейные и некоторые нели нейные звенья радиоприемных устройств и в связи с этим рассмотрены разнообразные возможности отделения сиг
налов от помех. Лишь в сравнительно недавнее время ста ли решаться проблемы синтеза оптимальных систем, осу
ществляющих выделение сигналов из их смеси с помеха ми благодаря максимальному использованию различий в
их свойствах. Рассмотрение таких проблем и составляет основное содержание данной книги.
Интересно, |
что часто оптимальные схемы, получаемые |
в результате |
решения задач о синтезе, совпадают или |
весьма близки к схемам, используемым на практике и
разработанным на основе простых интуитивных сообра-
3
жений. Это обстоятельство, с которым мы будем неодно
кратно сталкиваться на протяжении всей книги, ни в коей мере не умаляет значения проблем синтеза: только послед ние могут нам дать гарантию того, что при данных пред посылках лучшего устройства создать нельзя. Иначе гово ря, в этих случаях теоретически оптимальные схемы избав ляют нас от рассмотрения многочисленных вариантов по-
щбно тому, как закон сохранения энергии делает излиш ним разбор различных конструкций вечного двигателя.
При отборе материала для данной книги мы старались ограничиваться вопросами, решение которых можно счи тать в какой-то степени завершенным. В силу этого
пришлось поступиться многими интересными и практиче ски важными задачами, достаточно полное и строгое реше ние которых в настоящее время привести нельзя.
Книга состоит из трех частей. Первая часть, посвящен ная оптимальным линейным фильтрам, начинается с изло жения теории оптимальной фильтрации, предложенной Н. Винером и являющейся первой «синтетической» теори ей интересующего нас типа. Хотя этот круг идей в значи тельной степени близок к автоматике, тем не менее как сама постановка задачи, так и ряд получаемых в этой теории результатов представляют существенный интерес для радиотехники. Другие фильтры, исследованные в этой части книги, также являются оптимальными среди линей ных фильтров, причем в качестве критерия оптимума ис пользуется отношение сигнал/помеха. Характеристики оп тимальных линейных фильтров полностью определяются корреляционной функцией помех и корреляционными свой
ствами или формой сигналов.
Во второй части систематически изложены основные
понятия и результаты теории оптимальных приемников.
Это — центральная часть книги, так что первая часть яв
ляется, в сущности, введением, которое должно облегчить
.итателю изучение второй части. Во второй части рассма триваются задачи об оптимальном обнаружении полезно го сигнала на фоне помехи — нормального (гауссова) ста ционарного случайного процесса. Здесь приходится решать целый ряд задач, представляющих интерес для радиоло кации, начиная с самых простых и кончая самыми слож ными, в соответствии с предположениями, какие мы де лаем относительно сигналов. Некоторые задачи об изме
рении параметров полезного сигнала при наличии "омех кже включены во вторую часть книги; они довольно не
многочисленны, поскольку большая часть возникающих
здесь вопросов еще ожидает адэкватной математической
трактовки.
Во избежание недоразумений отметим, что оптималь
ные фильтры и |
оптимальные |
приемники исследованы |
в книге лишь с |
точки зрения тех |
математических опера |
ций, которые фильтры и приемники должны производить
над принимаемой смесью сигналов и помех; вопросы, свя занные с практическим осуществлением соответствующих схем, остаются за пределами данной книги.
Третья часть книги содержит вспомогательный матери
ал — как математический, так и Физический, — использу емый в предыдущих главах книги. Более детальное пред ставление о тематике книги дает ее оглавление.
Хотя авторы стремились всюду, где это возможно, уп рощать теоретический аппарат, чтение книги потребует от читателя серьезной математической подготовки, в частно сти знания основ теории вероятностей. Можно, однако,
надеяться, что принятое нами изложение, в котором труд ность рассматриваемых задач возрастает постепенно, об легчит читателю работу над книгой. Авторы ставили также своей целью в процессе рассмотрения отдельных стати стических задач выявить значение и точный смысл пара метра, являющегося обобщением обычного отношения сиг-
нал/помеха.
Первая и третья части книги, а также гл. VII, написаны
Л. А. Вайнштейном, |
вторая часть |
(кроме гл. VII) — |
В. Д. Зубаковым. Глава VIII написана совместно. Общее |
||
редактирование книги |
произведено Л. |
А. Вайнштейном. |
В книгу включены некоторые новые результаты, получен ные авторами.
Авторы приносят свою благодарность Ю. Б. Кобзареву, беседы с которым привлекли их внимание к ряду новых проблем и в значительной степени стимулировали работу над данным кругом вопросов.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ФИЛЬТРОВ
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача об отделении полезных сигналов от помех раз личного типа может быть поставлена по-разному. В этой и следующей главах мы будем рассматривать сигнал и по меху как случайные процессы. Тогда наибольший интерес
для нас представляет задача о фильтрации, |
т. е. |
задача |
о выделении сигнала в наиболее «чистом» |
виде |
из его |
«смеси» с помехой. Физически ясно, что полное отделение сигнала от помехи может быть достигнуто лишь при ра дикальном различии их свойств; в общем случае, как мы увидим далее, даже оптимальный фильтр воспроизводит полезный сигнал с некоторой ошибкой.
Иногда задачу о фильтрации целесообразно понимать шире. Например, часто представляет интерес не сам сиг нал, а его производная или интеграл по времени; тогда со ответствующий фильтр следует подобрать таким образом,
чтобы он воспроизводил (с наименьшей ошибкой) продиф ференцированный или проинтегрированный полезный сиг нал. Представляет также интерес задача о прогнозирова нии или экстраполяции сигнала, т. е. задача о предсказа
нии будущих значений сигнала на основе его поведения в прошлом и его статистических свойств. Задача об экстра поляции сигнала имеет смысл как при наличии помех, так и при их отсутствии.
Математически задача фильтрации может быть сфор
мулирована следующим образом. |
Пусть на вход некоторой |
|
системы К (фильтра) поступает |
смесь |
полезного сигнала |
m(t) с помехой n(t), так что |
|
|
= m (0 + /?(/), |
(1.01) |
где f(t) — данный процесс (сумма сигнала и помехи), или входная функция времени t. Как полезный сигнал m(Z), так и помеха п (/) предполагаются случайными процесса ми (случайными функциями О-
Система К производит над функцией f(t) некоторые
математические операции, в результате чего на выходе получаем функцию x(t) (вы ходная функция). Схематичеоки это изображено на рис. 1.
Можно сказать, что выход-
J |
ная функция х(/) есть |
ре |
|
зультат 'применения некоторо |
|
Рис. 1. Схематическое изобра |
го оператора К к входной |
|
жение фильтра К. |
функции f(t). Возникает |
за |
дача о таком подборе операто ра К, чтобы на выходе получить некоторую функцию h(t)
с наименьшей ошибкой воспроизведения. Функция h(О есть полезный сигнал в некоторой преобразованной форме,
так что можно записать
h (0 = L [m(0], |
(1.02) |
где L — известный математический оператор. В |
задаче |
о простой фильтрации нужно воспроизвести полезный сиг нал; в этом случае
|
h (t) — т (/), |
(1.03) |
и L есть «единичный» |
оператор, оставляющий |
функцию |
без изменений. |
|
|
Разность |
|
|
e(f) = X(0 —Л(0 |
(1.04) |
|
можно назвать мгновенной ошибкой воспроизведения. |
||
Ясно, что значения |
е(0 будут колебаться с |
течением |
времени. «Интенсивность» этих |
колебаний можно |
харак |
|
теризовать средним |
значением |
(математическим ожида |
|
нием) ее квадрата, |
обозначаемым через в2 (0- Тем самым |
||
в теорию вводятся |
статистические (вероятностные) |
пред-, |
ставления, причем статистически рассматривается не толь ко помеха, но и полезный сигнал.
Когда помеха отсутствует |
= |
то |
представляет |
интерес лишь задача о прогнозировании — о |
предсказании |
сигнала через некоторый промежуток времени s |
В этой |
|
задаче |
|
(1-.05) |
— |
4-5). |
3