книги / Расчет трехфазной электрической цепи контрольные задания и методические указания к самостоятельной работе по курсам Основы теории цепей , Общая электротехника , Теоретические о
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, И.Б. Кухарчук
РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Контрольные задания и методические указания к самостоятельной работе
по курсам «Основы теории цепей», «Общая электротехника», «Теоретические основы электротехники»
Издательство Пермского государственного технического университета
2011
Составители: Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, И.Б. Кухарчук
УДК 681.3.01(075.8) ББК 31.21
Р24
Рецензент
кандидат технических наук, доцент А.А. Старков (Пермский государственный технический университет)
Р24 Расчет трехфазной электрической цепи: контр. задания и метод. указания к самост. работе по курсам «Основы теории цепей», «Общая электротехника», «Теоретические основы электротехники» / сост. Т.А. Кузнецова, Е.А. Кулютникова, И.Б. Кухарчук. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 31 с.
Приведены краткие теоретические сведения, задания и примеры расчета трехфазных электрических цепей с различными схемами соединения нагрузки в симметричном и несимметричном режимах.
Предназначено для студентов всех отделений электротехнического, химико-технологического и аэрокосмического факультетов ПГТУ.
УДК 681.3.01(075.8) ББК 31.21
© ГОУ ВПО «Пермский государственный
технический университет», 2011
ВВЕДЕНИЕ
Для передачи и распределения электроэнергии в большинстве случаев используется трехфазная система энергоснабжения, т.е. система, в которой действуют три одинаковые по амплитуде синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, создаваемые одним источником энергии и сдвинутые друг относительно друга по фазе на 120o (2π3) . Такая система была изобретена в 1891 г. выдающимся
русским инженерном М.О. Доливо-Добровольским, разработавшим все ее практические приложения, включая трехфазный трансформатор и асинхронный двигатель.
В трехфазной системе технико-экономические преимущества синусоидальных токов проявляются в наибольшей степени (снижается расход проводниковых материалов в линии электропередач, возрастает КПД устройств и т.п.). Поэтому современные энергетические системы выполняют как трехфазные системы генераторов, линий электропередач и трансформаторов, обеспечивающих трехфазным электропитанием промышленные потребители, которые в основном являются трехфазными, например: асинхронные и синхронные двигатели, мощные электрические печи, электромагниты и т.п. Однофазные потребители также получают питание от трехфазных сетей.
Для эффективной эксплуатации таких сетей необходимо знать их возможности и ограничения, существующие при подключении к ним потребителей.
Цель самостоятельной работы студентов по данной теме – изучение основных свойств трехфазных цепей и закономерностей распределения линейных и фазных токов и напряжений, исследование схем подключения трехфазных и однофазных потребителей к трехфазной системе электропитания в рабочих и аварийных режимах.
3
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Трехфазные цепи являются одним из видов цепей синусоидального тока, и, следовательно, для них в полной мере применимы методы расчета и анализа цепей в символической форме. Анализ трехфазных цепей удобно осуществлять с использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять фазовые сдвиги между токами и напряжениями. Однако существующая определенная специфика трехфазных цепей вносит характерные особенности в их расчет.
Основным признаком классификации трехфазных систем ЭДС, напряжений и токов является их симметричность.
Симметричные трехфазные системы
Условиями симметричности является равенство мгновенных (комплексных) значений ЭДС фаз генератора. Мгновенные и комплексные значения ЭДС трехфазного симметричного генератора имеют вид:
eA = Em sin (ωt +ψ) → eB = Em sin (ωt +ψ−120o ) eC = Em sin (ωt +ψ−240o )
E&A = EAe jψ;
→ E&B = E&Ae− j120o = E&Ae j 240o = a2 E&A ; (1) → E&C = E&Ae− j 240o = E&Ae j120o = aE&A ,
где a – оператор поворота, причем |
|
|
|
|
|
||||||
a = e j120o = − |
1 |
+ j |
3 |
, |
a2 = e j 240o = − |
1 |
− j |
3 |
, |
a3 =1, a4 = a и т.д. |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Условием симметричности трехфазного приемника является равенство комплексных сопротивлений соответствующих фаз, т.е. если Z a = Z b = Z c (фазы нагрузки соединены звездой, рис. 1, а) или
Z ab = Z bc = Z ca (фазы нагрузки соединены треугольником, рис. 1, б). В противном случае приемник является несимметричным.
4
Существуют трехфазные системы, в которых нулевые точки генератора О и нагрузки о1 соединяются проводом с сопротивлением Z N = 0 или Z N ≠ 0 (рис. 1, в). Такой провод называют нулевым или нейтральным проводом.
Рис. 1
Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная трехфазная система напряжений генератора, то в ней будет действовать симметричная система токов. Такой режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме токи и напряжения соответствующих фаз равны по модулю и сдвинуты по фазе на ±120o . Расчет таких цепей проводится для одной (базовой) фазы, в качестве которой обычно принимают фазу А. При этом соответствующие величины в других фазах получают формальным добавлением к аргументу переменной фазы А фазового сдвига ±120o при сохранении неизменным ее модуля.
5
Для симметричной трехфазной системы при соединении нагрузки звездой (см. рис. 1, а) существуют следующие зависимости между действующими значениями линейных и фазных напряжений и токов:
Uл = 3Uф; Iл = Iф , |
(2) |
между комплексными значениями токов фаз
& |
E&A |
|
jϕ |
|
& |
& |
− j120o |
|
|
j(ϕ−120o) |
|
|
IA = |
Z a |
= I Ae |
|
; IB = IAe |
|
|
= IAe |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
|
j120o |
= IAe |
j(ϕ+120o) |
. |
|
(3) |
||
|
|
IC = IAe |
|
|
|
|
При наличии нейтрального провода ток в этом проводе определяется по первому закону Кирхгофа
I&N = I&A + I&B + I&C , |
(4) |
при отсутствии нейтрального провода |
|
I&A + I&B + I&C = 0 . |
(5) |
Для симметричной трехфазной системы при соединении нагрузки треугольником (см. рис. 1, б) действующие значения линейных и фазных напряжений и токов связаны соотношениями:
|
|
|
|
|
|
Uл =Uф; |
|
Iл = |
|
3 Iф , |
|
|
|
(6) |
|||||||||
комплексные значения токов фаз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
& |
|
U&ab |
|
jϕ |
& |
|
|
& |
|
− j120o |
|
|
|
j(ϕ−120o) |
|
|
|
||||
|
|
Iab = |
Z ab |
= Iabe |
|
; Ibc |
= Iabe |
|
|
|
= Iabe |
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
& |
& |
|
j120o |
= Iabe |
j(ϕ+120o) |
, |
|
|
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ica = Iabe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
комплексные значения линейных токов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
& |
& |
|
− j30o |
= 3Iabe |
j(ϕ−30o) |
; |
|
|
& |
|
|
& |
|
− j120o |
= 3Iabe |
j(ϕ−150o) |
; |
||||||
IA = |
3Iabe |
|
|
|
|
|
|
|
IB |
= I Ae |
|
|
|
||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
j120o |
= 3Iabe |
j(ϕ+90o) |
. |
(8) |
IC |
= IAe |
|
|
Комплексная, полная, активная и реактивная мощности в симметричной трехфазной системе определяются соответственно по указанным ниже формулам:
– для схем «звезда – звезда»:
S%λ =3U& |
* |
ф I ф; Sλ =3UфIф = 3UлIф; |
U 2
Рпотрλ =3UфIф cosφ = 3UлIф cos φ =3Iф2 Rф = Rф ; (9)
ф
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 |
|
Q |
=3U |
I |
ф |
sin φ = |
3U I |
ф |
sin φ =3I 2 X |
ф |
= |
ф |
. |
|
|||||||||||
потрλ |
|
ф |
|
л |
ф |
|
Xф |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– для схем «треугольник – треугольник»:
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S%∆ =3U&ф I ф; S∆ =3UфIф = 3UфIл; |
|
|
|
|
|
||||||||||
Р |
=3U |
I |
ф |
cosφ = |
3U |
ф |
I |
л |
cosφ =3I 2 R |
= I 2 R ; |
(10) |
||||
потр∆ |
|
ф |
|
|
|
|
ф |
ф |
л ф |
|
|
||||
Q |
=3U |
I |
ф |
sin φ = |
3U |
ф |
I |
л |
sin φ =3I 2 X |
ф |
= I 2 X |
ф |
. |
|
|
потр∆ |
|
ф |
|
|
|
ф |
л |
|
|
Несимметричные трехфазные системы
Если хотя бы одно из условий симметрии не выполняется, трехфазная цепь работает в несимметричном режиме. Такие режимы при подключении статической нагрузки рассчитываются любым из известных методов расчета линейных электрических цепей с источниками гармонических воздействий. Как правило, падением напряжения на внутреннем сопротивлении генератора пренебрегают и фазные напряжения генератора заменяются соответствующими идеальными источниками ЭДС. Поскольку в трехфазных цепях помимо значений токов обычно представляют интерес также величины потенциалов узлов, в большинстве случаев для расчета применяется метод узловых потенциалов.
7
Если заданны линейные напряжения, удобно рассчитывать трехфазные цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник. Пусть в схеме (см. рис. 1, б) нагрузка несимметрична и Z ab ≠ Z bc ≠ Z ca .
Тогда при известных комплексах линейных напряжений в соответствии с законом Ома фазные токи
& |
U&ab |
& |
U&bc |
|
& |
|
U&ca |
|
|
Iab = |
Z ab |
; Ibc = |
Z bc |
; Ica = |
Z ca |
. |
(11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
По найденным фазным токам приемника на основании перво- |
|||||||||
го закона Кирхгофа определяются линейные токи: |
|
|
|||||||
I&A = I&ab − I&ca ; |
I&B = I&bc − I&ab ; |
|
I&C = I&ca − I&bc . |
(12) |
|||||
Если к трехфазному |
генератору, |
фазы |
которого |
соединены |
звездой (рис. 2), подключен приемник электрической энергии, фазы которого также соединены звездой, то в случае несимметричной трехфазной системы между нейтральными (нулевыми) точками приемника и генератора возникает напряжение смещения нейтрали
|
|
|
|
|
|
|
|
E& |
A |
Y |
a |
+ E& |
B |
Y |
b |
+ E& |
Y |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U&N = |
|
|
|
|
C |
|
, |
(13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Y a +Y b +Y c +Y N |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
E& |
A |
, |
E& |
B |
, E& |
– комплексы ЭДС соответствующих фаз генерато- |
|||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ра; Y a , |
Y b , |
Y c , |
Y N – комплексные проводимости соответствующих |
фаз нагрузки и нейтрального (нулевого) провода.
|
E&A |
A |
a |
Z a |
|
О |
E&B |
B |
b |
Z b |
о1 |
|
E&C |
C |
c |
Z с |
|
|
|
|
Z N |
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
8
Напряжение на фазах нагрузки:
U&a = I&A Z a = E&A −U&N ; |
U&b |
= I&B Z b = E&B −U&N ; |
(14) |
||||||||||||
U& |
|
= I& |
Z |
|
= E& |
−U& |
|
. |
|
|
|||||
c |
c |
N |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
C |
|
C |
|
|
|
|
|
|
||||
Токи в фазах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I&A =U&a |
Y |
a ; |
I&B |
=U&b |
Y |
b; I&C =U&c |
Y |
c . |
(15) |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
Ток нейтрального провода: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I&N =U&N Y N = I&A + I&B + I&C . |
(16) |
При расчете трехфазной системы «звезда – звезда» с нейтральным проводом с сопротивлением Z N = 0 нет необходимости рассчи-
тывать напряжение смещения нейтрали, поскольку U&N = 0 . В этом
случае трехфазную систему можно рассматривать как совокупность трех независимых контуров и рассчитывать каждый контур известными методами расчета цепей синусоидального тока. Целесообразно использовать векторные диаграммы при расчете таких цепей.
В случае отсутствия нейтрального провода в формуле (13) проводимость нейтрального провода Y N принимают равной нулю.
При этом если генератор симметричный, а симметрия нагрузки нарушена сопротивлением нагрузки, подключенным в одной из фаз (например, Z b = Z c = Z ≠ Z a ), удобно для определения напряжения
смещения нейтрали воспользоваться формулой
|
|
|
& |
& |
|
Y a −Y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
UN = EA |
Y a + 2Y |
, |
|
|
(17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для оставшихся случаев Z a = Z c = Z ≠ Z b |
|
и Z a = Z b = Z ≠ Z c , |
соот- |
|||||||||||
ветственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
Y b −Y |
|
|
& |
|
|
& |
|
Y c −Y |
|
|
U |
|
= E |
B Y b + 2Y |
; U |
|
= E |
Y c + 2Y |
. |
(18) |
|||||
|
N |
|
|
|
N |
|
|
C |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Если нагрузка соединена звездой без нейтрального провода и известны линейные напряжения U&AB , U&BC , U&CA , то фазные напряжения U&a , U&b , U&c нагрузки находятся по формулам:
& |
U&AB Y b −U&CAY c |
& |
U&BC Y c −U&AB Y a |
|
|||
Ua = |
Y a +Y b +Y c |
; Ub = |
Y a +Y b +Y c |
; |
|||
|
|
|
|||||
|
U&c |
= |
U&CAY a −U&BC Y b |
. |
(19) |
||
|
|
||||||
|
|
|
Y a +Y b +Y c |
|
Для любой трехфазной системы сумма комплексных значений линейных напряжений равна нулю:
U&AB +U&BC +U&CA = 0 . |
(20) |
10