книги / Моделирование систем управления. Исследование нелинейных моделей

*J

Рис. 4

Все графики являются масштабируемыми, т.е. пользователь может изменять масштаб изображения, вырезая фрагменты графика курсором мыши. Для этого необходимо курсор мыши установить в верхний левый угол фрагмента графика, который нужно увеличить, нажать левую кнопку мыши и, удерживая эту кнопку, выделить фрагмент графика в направлении нижнего правого угла. Если выделять фрагмент в другом направлении, то график примет первоначальный вид.

Если удерживать правую кнопку мыши, то можно двигать графики в пределах окна (эта функция особенно полезна при увеличении).

Кроме того, нажав закладку соответствующего метода, можно по­ смотреть, как изменялись параметры модели в процессе итерации.

В программе можно выбрать четыре типа моделей:

1.Y =а + ЬХ - линейная зависимость.

2.Y = аХъ - характерна для датчиков с нелинейной зависимостью.

чЬ

3.Y = ае х - экспоненциальная зависимость (термосопротивление).

4. Y = а +ЬХ +сХ2 + dX3 - разложение в степенной ряд.

Здесь X - входные экспериментальные данные; У-выходные экспе­ риментальные данные; a,b, с, d - искомые параметры.

Во всех вариантах требуется:

1. Определить уравнение модели, наилучшим образом описывающее указанный процесс (оценку произвести по величине дисперсии), используя метод прямого поиска и симплексный метод.

2.Оценить количество итераций в зависимости от метода решения, начального приближения параметров и заданной точности решения.

3.На рисунке показать процесс уточнения параметров при поиске в зависимости от числа итераций.

4.Определить точностные характеристики для параметров модели и

построить доверительные интервалы (для доверительной вероятности 1 - X = 0,95) для найденных параметров в соответствии с приведенной ни­ же методикой.

Методика определения точностныххарактеристик параметров

Пусть эмпирическая модель оценивается в виде т] = PQ+ $\Х и ц =

= ро + $\(Х- X ). Для определения точностных характеристик необходимо сделать следующие расчеты:

1.Определить средние значения: X,Y .p t- число повторных измере­

ний зависимой переменной при данном значении Xf. Пусть p t = 1, тогда

у Л р,х,	rJLpfi
2. Определить дисперсии	и средние квадратические отклонения
S 2r = ^ - W r Yt)2, где
< п -2

Yl=b0 + bi(X-X)=b'0+blX;

				i	,	(X)2		.
			î'.Pt		t P i W i - X ) 2
			.	1	1
	s\r s\		1	,	( X j - x f			■
			t p i		é p , ( x , - x f
		L
s i -функция ОТ Xi.			î		î
r i
3.	Построить доверительные интервалы для заданной доверительной
вероятности. Для определенных в результате выполнения лабораторной
работы параметров моделей Ро,				Ро, Pi		и rj строятся неравенства. При этом
задаются статистикой t		(из справочника) и (п - 2) степеней свободы.
		2
		b - t	„Sb £fi<b + t				aSb;
			2				l~2
		r - t ^ s r £r\£Y + t					в	Sÿ.

Вариант 1

Проводится анализ реальных экспериментальных данных, которые собирались для обнаружения связи между показаниями X поплавкового расходомера и скоростью потока Y.

Показания расходомера отмечаются с большой точностью и ста­ бильно поддерживаются на заданном уровне, так что X можно считать де­ терминированной переменной.

№ п/п	X	Y	№ п/п	X	Y
1	1.14	112	9	3,19	233
2	1,37	115	10	3,09	259
3	1,89	152	.11	3,05	287
4	2,09	199	12	3,10	240
5	2,45	161	13	3,34	281
6	2,04	209	14	3,75	311
7	2,73	237	15	4,19	392
8	3,04	231	16	4,59	357

Приведенные ниже данные между перепадом давления в трубах и

расходом газа описываются уравнением 5— = ф(Х0,Р’,Х1), где	Ô— -
п	п

случайная переменная; V - детерминированная переменная; АР - перепад давления; 6 - относительная плотность (по отношению к плотности воз­ духа); п - число труб (постоянная величина).

Оценить Хо и Х\ прямым и симплексным методами в модели. Результаты эксперимента приведены в таблице:

V, м/мин	ЯДР
	о— , мм рт.ст.
	п
400	0,0125
470	0,0165
590	0,0215
610	0,0225
620	0,0235
840	0,0420
950	0,0530
1200	0,0750
1400	0,0970
1550	0,120
Вариант 3
Приведенные ниже данные	описываются уравнением Y = ср(Л\д).
Восстановить модель по следующим экспериментальным данным:
X	Y
0,5	0,618
1,5	9,645
2,0	19,799
2,3	28,078
3,7	92,166
5,4	327,166
8,2	673,91

Приведенные ниже данные описываются уравнением У = (р(Х,а). Восстановить модель по следующим экспериментальным данным:

X	Y
-1,5	0,026
- 0,8	0,304
- 0,2	2,483
0,2	10,07
0,4	20,276
0,9	116,78
1,3	473,16

Вариант 5

Приведенные ниже данные описываются уравнением Y = 9^ , а). Восстановить модель по следующим экспериментальным данным:

X	Y
-0,4	-0,5943
- 0,1	-0,1851
0,2	0,4648
0,5	1,4511
1,3	6,4532
1,7	10,683
2,3	19,835

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДОМ ГАУССА - ЗАЙДЕЛЯ

Цель работы: исследование метода определения оценок параметров нелинейных моделей; определение меры рассеяния этих оценок, а также меры рассеяния предсказываемых значений зависимой переменной.

Теоретические положения

Идея метода: минимизировать модель с помощью отрезка ряда Тей­ лора для того, чтобы применить линейный анализ и получить искомый ми­ нимум суммы квадратов отклонений посредством итерационных расчетов.

Вводят начальные предположения о параметрах. Вычисления повто­ ряют до тех пор, пока критерий сходимости не будет удовлетворен.

Проведем разложение соотношения для модели т| в ряд Тейлора, от­ носительно значения Ь®\ начального приближения вектора р.

Исходное значение Ру обозначается через 6(0)у.

/=1

где W,- - вес измерений; r\i - соответствует вектору z-го набора данных X,; У/- измеренные значения зависимой переменной.

Минимизируя F, можно найти улучшенную оценку Ру (если функция Л действительно линейна, то для достижения минимума F необходимо осуществить лишь один этап расчета).

Разложим функцию Г| следующим образом:

à b f ^ V j - b f K

т|о означает, что эта функция вычисляется в точке 6(0)i ,..., b(0)m.

dF

= 0 ,

3(Дb f )

d(Abf})

+

Эту систему нужно решить относительно &bj.

Более компактная форма:

рад =

,i= 1.2.... и;.у - 1.2,....т;

эр,-

Z ,0,= (XT W E )<0

(XTW X)(0,B<0,= (XT W Е)(0);

А (°>в <0)= Z (0);

В(0)= (A*0')'1Z<0>.

После того как вычислен вектор В<0), можно получить новые оценки для каждого из параметров ру, повторяя предыдущие вычисления, причем вместо 6(0Уподставляются &(1)у, улучшенные оценки ру.

Для вычисления 6(,)у используется рекуррентная формула:

где hj - ускоряющий множитель, для ускорения поиска минимума F. Действительно, значения Д6у определяют направление поиска ми­

нимума F в пространстве параметров.

В методе Гаусса - Зайделя полагают hj = 1. Можно подсчитать более эффективное йу. Введение корректирующего множителя объясняется тем, что определение минимума можно автоматически ускорить или замедлить, увеличивая скорость приближения к минимуму F на начальной стадии по­ иска, а так же уменьшая ее в конце, чтобы избежать излишних колебаний.

Выполнение работы

Для выполнения лабораторной работы разработана специальная про­ грамма на языке Borland C++ Builder 5.

После запуска исполняемого файла откроется основное окно про­ граммы* (рис. 5 ).

* Примечание: данное описание написано для текущей версии. В дальнейшем в программе возможны некоторые изменения и улучшения.

Рис. 5

Основное окно включает в себя следующие элементы:

1- кнопки, отвечающие за открытие и сохранения файлов с данными (программа поддерживает формат файлов *.1г2, который был специально разработан для нее);

2 - таблица для ввода исходных данных с клавиатуры, а также для их отображения;

3 - блок, в котором вводятся значения количества измерений, значе­ ние ускоряющего коэффициента, необходимая точность коэффициентов, максимальное значение дисперсии (точность), а также ограничение на ко­ личество шагов, по достижению которого программа останавливает расчет;

4 - смоделированные значения на выходе объекта;

5 - панель, на которой отображаются результаты выполнения про­ граммы и подсказки, а также часы с индикацией (во время расчета индика­ ция приобретает красный цвет, следовательно, по цвету можно судить о состоянии программы: зеленый - ожидание, красный - расчет);

6 - значения начальных и промоделированных коэффициентов; 7 - вид модели с подсказкой о количестве переменных (входов) и ко­

личестве параметров модели; 8 - информация о количестве шагов и дисперсии, полученных в ре­

зультате выполнения программы; 9 - кнопки управления.

Вид окна при нажатии на кнопку >>> I показан на рис. 6.

Рис. 6

Теперь появилась возможность производить расчет пошагово. Кноп­ кой <<с I основное окно сворачивается до стандартного.

В расширенном основном окне при расчете отображаются матрицы А, А'1, Z и В.

Окно с графиками вызывается нажатием кнопки Г|>И1МI при уеловии, что выполнен хотя бы один шаг (иначе появится соответствующее предупреждение) (рис.7).

Рис. 7